Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 41
Текст из файла (страница 41)
По известным наблюдениям хи»е ..., х„методом максимального правдоподобия оценить параметр О. К (х) (и«>-«>' 29. Распределение Кзптейна имеетплагность вида р(х) = — е % где д(т) — дифференцируемая функция. Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку параметра а, если параметр о известен. 280 Глава >з ф~ Зо. Для распределения Кэптейна найти методом максимального правдоподобия точечную оценку параметра о, если параметр а извепен.
Эь Случайная величина подчинена гамма-распределению, плотность которого определяется параметрами а > о и Ь > о и функцией «-1 « х плотнопи р(х) = е ', х > о. Найти методом максимального Ь'Г(а) правдоподобия оценку Ь (при известном значении а). чз. По результатам независимых наблюдений хе х,, ..., х„за случайной величиной Ь„распределение которой задано плотностью 1 р(х) =-е ", где х й о, р > о, найти методом максимального прав- Н доподобия оценку параметра р.
ЗЗ. Функция распределения случайной величины ~ имеет вид в Р(х) = е ", х > о, О > о. Найти оценку параметра О методом максимального правдоподобия. З4. Для сдвинутого показательного распределения с плотностью «-л е р(х) = — е ', х > р, О > о, и ь о, методом максимального правдо- О подобия найти оценки О и р параметровО и р соответственно. З5. По наблюдениям случайной величины с распределением Парето вида О, х<1, Г(х) =~ '(1-х ", х>1, оценить параметр сг методом максимального правдоподобия.
Зб. По наблюдениям случайной величины с распределением Ях) хв, о < хам оценить параметр )) методом максимального правдоподобия. Зу. По наблюдениям логнормальной случайной величины г, е ехр(ЛГ(а, о*)) найти оценки параметров а и о' методом максимального правдоподобия. гвт ЧАСТЬ 11. Математическая статистика ЗВ.
По наблюдениям случайной величины, равномерно распределенной на отрезке (а, Ь], найти оценки параметров а и Ь методом максимального правдоподобия. Вычислить их математическое ожидание и попроить несмещенные оценки. Зд. Доказать эффективность оценки, полученной методом максимальноп1правдоподобия, для параметра 0 гамма-распределения (с фиксированным параметром а), параметризованного в виде а-! р(х,а,0)= е "~', х>0. В" Г(а) до. Доказать, что оценка методом моментов для параметра р биномиального распределения Р(с = т) = С„"р"д" является эффективной (при извепном й). Лт. Доказать, что не существует эффективных оценок для параметра тс показательного распределения г'(х)с) м) е ~, х >О. аз.
Доказать, что не существует аффективных оценок для параметра А гамма-распределения (с фиксированным параметром а), параметризованного в виде Х"х" ' г"(х,а,В)= е ~, х>0. Г(а) ач. Доказать, что не существует эффективных оценок для параметра о* нормального распределения И(а, о*). Вычислитвльиьгв задачи ад. Случайная величина 8 (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона: Р(г)м — е . Ниже приведено )с с распределение семян сорняков в и топо пробах зерна (в первой строке указано количепво х,. сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота и, — число проб, содержащих х, семян сорняков).
Найти методом моментов точечную оценку параметра )с. Оценить вероятность того, что в пробе зерна не будет сорняков. 282 Глава >з ~ф 45. Случайная величина 4 (срок службы изделия) имеет показательное распределение Г(х) = Ае и (Х > о). В таблице приведены сгруппированные данные по срокам службы (в часах) для и = эоо иэделий. Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра Х показательного распределения. Оценить время, которое изделие прослужит с вероятностью дочЬ. 46. Случайная величина С (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению, платность которого определяется параметрами а и В, в(х)= — е (а > о, р > о, р"х" ' Г(а) х~ о).
В таблице приведены сгруппированные данные по уровням воды, см, для л = 45 паводков. Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и р рассматриваемого гамма-распределения. 47. Проведено исследование посещаемости популярного интернетсайта. Много часов подряд регистрируется число посетивших сайт в течение данного часа. Результаты исследования представлены в таблице ЧАСТЬ 11. Математическая статистика В предположении, что случайное число посетителей описывается распределением Пуассона, оценить параметр )с методом моментов. Определить вероятность того, что в течение часа на сайте не будет ни одного посетителя.
48. Проведено исследование посещаемости популярного интернетсайта. Много часов подряд регистрируется число посетивших сайт в течение данного часа. Результаты исследования представлены в таблице. В предположении, что случайное число посетителей описывается биномиальным распределением с числом испытаний гп = то, оценить параметр р методом моментов. Определить вероятность того, что в течение часа на сайте будет не более одного посетителя. 4р. В поселке Червонцево все жители имеют доход не менее тоо тыс.
руб. в месяц. Выборочное обследование доходов то человек дало средний доход зоо тыс. Руб. В предположении, что случайная величина дохода имеет распределение Парето вида О„ х<хе, Г(х) = 1-(х/хе), х>хе, где х, тоо (тыс. руб.), оценить параметр а и средний доход жителей методом моментов. Определить долю жителей с доходами свыше Воо тыс. рублей с использованием метода моментов. Глава тэ чо. Известно, что некоторая работа занимает время, состоящее из обязательного периода и и случайной задержки, распределенной показательно со средним В. Хронометраж рабочего времени в то испытаниях показал среднее время З7 мин при исправленной выборочной дисперсии 4д мин*. Оценить параметры р и О методом моментов.
Определить срок, за который работа будет выполнена с вероятностью дуть, на основе оценки методом моментов. 5т. Прибор состоит из двух блоков: основного и резервного. Если основной блок выходит из строя, включается резервный. Времена службы блоков показательно распределены со средними значениями 8, и 8,. Выборочные испытания для ао приборов показали средний срок службы Зч час. и среднее нвадратическое отклонение зч час. Оценить среднее время службы основного и резервного блоков методом моментов в предположении, что 6, > В,.
чз. В группе людей, имеющих доходы с логнормальным распределением ехр(Ща, о*)), проведено выборочное обследование. По выборке нз ао человек получен средний доход чово руб. при среднем квадратическом отклонении эоо руб. Найти оценки параметров а и о* методом моментов. Оценить долю людей с доходами от 4чоо до 5чоо рублей на основе оценок методом моментов.
чЗ. В таблице приведены сгруппированные данные о коэффициентах соотношения заемных и собавенных средств на тоо малых предприятиях региона. Оценить долю малых предприятий с коэффициентом не более 8,8 на основе оценок методом моментов (используя нормальное приближение) и непосредственно по таблице. гак ЧАСТЬ 1!.
Математическая стзтнстика 54. В ОТК были измерены диаметры Воо валиков из партии, изготовленной одним станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала, нм, даны в таблице. Оценить долю изделий, для которых отклонение не превосходит тб нм по абсолютной величине, с применением метода моментов (используя нормальное приближение) и непосредственно по таблице. 5ч. В таблице представлены данные по числу сделок на фондовой бирже за квартал для 4оо инвесторов: В предположении, что случайное число сделок описывается распределением Пуассона, оценить параметр А методом моментов. Определить вероятность того, что число сделок за квартал будет не менее двух, применяя метод моментов, и непосредственно по таблице.
56. Для изучения распределения заработной платы работников определенной отрасли обследовано тоо человек. Результаты представ- лены в таблице. Глава |з 4~9 Определить долю работников с зарплатой менее гоо долл. США на основе оценок методом моментов (используя нормальное приближение) и непосредственно по таблице. 57. При измерении веса зо шоколадных батончиков (с номинальным весом 5о г) получены следующие значения, г: 49 си 5о о' 49,7' 5о 5' 48д' 5о 3' 49,7' 5цб; 49,8; 5од' 49,7' 48,8; 5ц4; 49,з; 49,6; 5о,9; 48,5; 5з,о; 5о,7; 5о,б.
Определить долю батончиков с весом менее 49 г на основе оценок методом моментов (нспользуя нормальное приближение) н непосредственно по их доле в выборке. 58. Пассажир, приходящий в случайные моменты времени на автобусную остановку, в течение 5 поездок фиксировал свое время ожидания автобуса: 5,И З,7; цз; 9,з; 4,8 мин. Известно, что автобус ходит с интервалами по 0 минут.
Оценить 8 методом моментов. 59. В июне ежедневный спрос на мороженое в киоске составляет в среднем 7оо порций со средним квадратическим отклонением 5о порций. Оценить количество порций, удовлетворяющих потребность на один день, с вероятностью 95' (используя нормальное приближение). бо. Ежедневный спрос на некоторый товар имеет распределение Симпсона на отрезке [а.
Ь). За з5 рабочих дней спрос составлял в среднем зоо кг с исправленной выборочной дисперсией 54 кг'. Определить параметры а и Ь методом моментов. Оценить, сколько нужно товара, чтобы удовлетворить ежедневный спрос с вероятностью 9з%. бц Рукопись проверяют два редактора, независимо друг от друга. Один нашел 7о ошибок, другой — 5о, причем з5 найденных ошибок были одни и те же (т.е. обнаружены обоими редакторами).
Оценить число ошибок, которых они еще не нашли. бз. Известно, что доля возвратов по кредитам в банке имеет распределение Р(х) хв, о а х в ы Наблюдения показали, что в среднем она составляет 9очЬ. Методом моментов оценить параметр () и вероятность того, что она опустится ниже 75%. 6З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
