Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Известно, что некоторая работа занимает время, состоящее из постоянного периода и случайной задержки, распределенной показательно. Хронометраж рабочего времени показал, что работа занимает в среднем 45 мин со средним квадратическим отклонением т5 мин. С помощью метода моментов оценить вероятность, что работа будет закончена за т час. з87 ЧАСТЬ П. Математическая статистика 64.
Ежедневный спрос на некоторый товар имеет равномерное распределение на отрезке (а, Ь). За период наблюдения спрос составлял в среднем зоо кг с исправленной выборочной дисперсией туг кг'. С помощью метода моментов оценить, сколько нужно товара, чтобы удовлетворить ежедневный спрос с вероятностью до%. бч. Срок службы некоторого изделия имеет распределение Вейбулла с параметром а = г.
Наблюдения показали, что в среднем он составляет топо ч. Найти вероятность того, что иэделие прослужит более тбоо ч. 66. Случайные относительные изменения цены акции за день описываются распределением Лапласа. Наблюдения показали, что среднее квадратическое отклонение составляет т%. Найти границы, в которых относительное изменение цены акции за день находится с вероятностью до%. 67. Случайная величина с (число появлений события А в гл независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. В таблице приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в соо наблюдениях (в первой строке указано число х, появлений события в одном опыте иэ гл = то испытаний, во второй строке дана частота и,, — число опытов, в которых наблюдалось столько появлений собьпия А).
Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биномиального распределения. 68. Случайная величина ~ (время безотказной работы изделия) имеет показательное распределение: р(х) )се-м, гдехг о. В следующей таблице приведены сгруппированные данные по времени работы (часов) для топо изделий. Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра Х показательного распределения. Оценить вероятность того, что изделие может прослужить более 6о часов.
г88 Глава тз ® 6 9. В поселке Полтинниково все жители имеют доход не менее Зо тыс. руб. в месяц. Выборочное обследование доходов со человек дало следующие результаты: 34; бо; 39; 79; 7ц 9г; 33; 34; 78; 36 тыс. руб. В предположении, что случайная величина дохода имеет распределение Парето вида О, Х<ХИ, с(х) = 1-(х/хв), х > х„ где х, = Зо тыс. руб., оценить параметр а и средний доход жителей методом максимального правдоподобия. Вычислить долю жителей с доходами свыше тоо тыс. руб. на основе оценки максимального правдоподобия.
7о. Известно, что некоторая работа занимает время, состоящее из обязательного периода и и случайной задержки, распределенной показательно со средним значением О. Хронометраж рабочего времени в во случаях дал следующие результаты: Зг; 30; 37; 35; 4г: 39' 34; Зг' ЗИ 33 мин.
Определить параметры р и 0 методом максимального правдоподобия. Найти срок, за который работа будет выполнена с вероятностью 99ЗЬ, на основе оценки максимального правдоподобия. 7т. В группе людей, имеющих доходы с логнормальным распределением ехрОУ(а, о*)», проведено выборочное обследование. По выборке из со человек получены следующие результаты: 47гг; г9о7; 4974' г763' 3639' 3493; Зтбт; ЗИ73; 43гц 3698 руб. Найти оценки параметров а и а* методом максимального правдоподобия.
Вычислить долю людей с доходами от 4ооо до Зооо руб. на основе оценок максимального правдоподобия. 7г. Пассажир, приходящий в случайные моменты времени на автобусную осиновку, в течение 3 поездок фиксировал свое время ожидания автобуса: З,тг 3,7; т,г; 9,г; 4,8 мин. Известно, что автобус ходит с интервалами по 0 мин. Оценить параметр 0 методом максимального правдоподобия. Определить несмещенную оценку. 73. Ежедневный спрос на некоторый товар равномерно распределен на отрезке (а, Ь». За 6 рабочих дней спрос составлял: то4; Во; 96; Иго; ИИЗ; Вг кг. Вычислить а и Ь, используя несмещенные оценки на основе оценок максимального правдоподобия.
Определить, сколько товара нужно для удовлетворения ежедневного спроса с вероятностью 9оЗЬ. г89 10 таааия ааааятнаатал ч АС Ты Ь математкческаю статистика 74. Известно, что некоторая работа занимает время, состоящее из постоянного периода и случайной задержки, распределенной поназательно. Хронометраж рабочего времени показал, что рабата занимает, как минимум, Зо мин, а в среднем — «ч мин.
С помощью метода максимального правдоподобия оценить вероятность, что работа будет закончена за 1 час. ух. Случайные относительные изменения цены акции за день описываются распределением Лапласа. Наблюдения показали, что выборочное среднее абсолютное значение (модуль) составляет 1%. Оценить границы, в которых относительное изменение цены акции за день находится с вероятностью 9о%. 76.
В таблице представлены данные о производстве злентрознергии в России за 1998-2003 гг. Провести линейную регрессию производства по годам и сделать прогноз на зоо4 г. 77. В таблице представлены данные о производстве всех зерновых культур и производстве пшеницы в России за 1998-зооз гг. Провести линейную регрессию и сделать прогнозы на аоод г. для: а) производства зерновых по годам; б) производства пшеницы по годам. у8.
В условиях предыдущей задачи провести линейную регрессию производства пшеницы по производству всех зерновых культур в виде:а)ума+Ьх; б)у Ьх(а о). В обоих случаях оценить производство пшеницы, если производство всех зерновых составит 9о млн т. 29о Глава тз ф 79. В таблице представлены данные о годовых доходах и расходах на личное потребление, долл. США, длл зо семей. Провести линейную регрессию расходов по доходам в виде у Ьх.
Оценить параметр Ь. Определить величину расходов длл семьи с годовым доходом збоо долл. США Во. В таблице представлены данные об урожайности зерновых культур, ц/га, в СССР за т99с-з97о гг. Провести линейную регрессию урожайности по годам. ЧАСТЫ !. Магематическаи статистика Вь В таблице представлены данные о производстве молока, тыс. т, в России с января !992 по онтябры996 г., по месяцам. 1992 1993 1995 1996 1994 2015 1510 1759 1172 1038 Январь Февраль 2123 1773 1226 1484 1104 2624 2361 !651 1439 1988 Март 2891 2649 2211 1859 Апрель 1521 Май 3335 3203 2559 2392 1827 2446 3209 3936 4071 Июнь 2864 2369 3204 27!4 3861 Июль 2081 2687 2420 3321 3392 Август Сентябрь 1577 2031 1925 2438 2467 1506 1081 1338 1760 2092 Октябрь 1050 984 1299 1494 Ноябрь !020 1562 1054 1345 Декабрь Провести линейную регрессию производства молока по годам для следующих месяцев: а) март; б) июнь; в) сентябрь.
Построить для них прогноз на т997 г. Вз. Годовые прибыли фирмы, тыс. долл. США, за 5 лет представлены в таблице. Провести линейную регрессию и дать прогноз на следующий год. 83. В таблице представлены данные за то лет о трудоемкости производства т т цемента (нормо-смен). Провести линейную регрессию и дать прогноз на тт-й год. ! 292 Глава тз ф Вгг. В таблице представлены средние цены на растительное масло и сахар-песок в та городах Центрального района России на июнь тддб г.
Провести линейную регрессию цены на масло по цене на сахар. 85. В таблице представлены средние цены на говядину и белый хлеб в та городах Центрального района России на июнь тооб г. Провести линейную регрессию цены на говядину по цене на белый хлеб. ГЛАВА 1~ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ $ и1.з. Основные понятия Точечная оценка неизвестного параметра, найденная по выборке объема и, не указывает, какую ошибку допускают, принимая вместо точного значения параметра 0 его приближенное значение. Поэтому вводят интервальную оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, внутри которого с определенной вероятностью находится неизвестное значение параметра Е, причем границы интервала не должны зависеть от искомого параметра.
Доверительным ивтершлом, или иите1вапыюй оценкой, называется интервал (О„О,), который покрывает неизвестный параметр Е с заданной доверительной вероятностью 0 < т < 1 (ее называют также иадежиостъю доверительного интервала). Часто доверительный интервал может быть представлен в виде (Е-Ь, Е+Ь), тогда величина Ь (половина длины интервала) называется точностью оценки (точностью доверительного интервала).
При заданном значении т точность Ь зависит от объема выборки и. Понятно, что чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка. Однако сама интервапьная оценка конструируется вокруг точечной оценки, вид которой определяется законом распределения случайной величины, который зависит от неизвестного параметра, т.е. границы доверительного интервала зависят от значения неизвестного параметра и, следовательно, пользо- 294 Глава ла ф ваться такими границами нельзя.
Существуют два подхода к преодолению этой трудности. 1. Классический метод состоит в искусственном подборе статистик О, = 0,(х„х„", х„), О, = 0,(х„х„..., х„), не зависящих от неизвестного параметра и таких, что О, <О, при любых х„х„...„ х„, О, и Р(0,<0<0,)=т. 2. Метод, основанный на аснмптотических свойствах оценок (как правило, на асимптотической нормальности).
Поэтому такой метод дает приближенные результаты и пригоден только при достаточно больших объемах выборок. В обоих случаях бывает, что границы доверительных интервалов, построенных формально из каких-то теоретических соображений, выходят за рамки возможного (например, становятся отрицательными для положительных по смыслу величин).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
