Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Вычислить математическое ожидание, моду и дисперсию распределения Фишера. тд. Пусть хи хи ..., х„, уи уи ..., у — случайные выборки объема и и т из нормально распределенной генеральной совокупности И(о, о') с исправленными выборочными дисперсиями з„', зт. Доказать, что зт = ((и-1)ат+(т-1)зт] и+си — 2 У является эффективной в классе всех линейных несмещенных оценок параметра з', построенных по наблюдениям з,', з„'. з54 Глава 1з в(в зо. Пуоь имеется М случайных выборок объемов ин ин .., и„из нор. мально распределенной генеральной совокупности гу(а, о') с исправленными выборочными дисперсиями г 2,~ . Построить эффективную оценку (в классе всех линейных несмещенных оценок) для дисперсии а*.
зъ Доказать, что смещенная выборочная дисперсия нормального распределения является асимптотически эффективной (согласно определению для асимптотически нормальных оценок). аз. Для показательно распределенной случайной величины г„заданной функцией плотности р,(х,х)=хе, хмО, доказать несмел-1 щенность и асимптатическую эффективность оценки Х== паях раметра л..
зз. Для оценивания параметра о нормального распределения яГ(о, а*) с сл намереваются использовать оценку вида а*= — э (х(. Найти кони,! станту с, при которой оценка а* является несмещенной. Вычислить ее эффентивность. з4. Для оценивания параметра о нормального распределения ЯГ(о, о') намереваются использовать оценку вида а с„з, где з — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.
Найти последовательность чисел с„, при которых оценка а является несмещенной. Проверить ее на асимптатическую эффективность. з5. ПУсть хс хи ..., х„, Ун Уи ..., У вЂ” слУчайные выбоРки объема и и ги из нормально распределенной генеральной совокупности я((а, а') с исправленными выборочными дисперсиями зг, з,'. Доказать, что оценка г ( ((„() г+( () т) и+т-2 У является эффективной в классе всех линейных несмещенных оценок параметра о*, построенных по наблюдениям зх, з,'. зб.
Пусть имеется М случайных выборок объемов и, и,, ..., и из нормально распределенной генеральной совокупности гу(а,а*) с исправленными выборочными дисперсиями з,',з,',...,з„',. Построить эффективную оценку (в классе всех линейных несмещенных оценок) для дисперсии а*. з55 ЧАСТЬ и. Математическая статистика з7. Доказать, что смещенная выборочная дисперсия нормального распределения является асимптотически эффективной (согласно определению для асимптотически нормальных оценок).
з8. Для показательно распределенной случайной величины г„ заданной функцией плотности г'(х,Л) = Ле ~, х > о, доказать не- и-1 смещенность и асимптотическую эффективность оценки Л == параметра Л. гд. Для оценивания параметра о нормального распределения с и И(о, от) намереваются использовать оценку вида о = — ~ (х, ). пни Найти константу с, при которой оценка о' является несмещенной. Вычислить ее эффективность. Зо. Для оценивания параметра о нормального распределения И(а, о ) намереваются использовать оценку вида о с„з, где з — исправленное выборочное среднее квадратическое отнлонение. Найти последовательность чисел с„, при которых оценка о является несмещенной.
Проверить ее на асимптотическую эффективность. ГЛАВА ~з МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК 5 акал. Метод моментов Пример. Функция ! х— — е", Р(х) = 0 О, х>0, х<0 задает плотность распределения Рэлея случайной величины г„ представляющей собой расстояние от точки на плоскости до етр р а Метод моментов, предложенный английским статистиком Карлом Пирсоном в 1894 г., заключается в приравнивании опрелеленного числа выборочных моментов к соответствующим теоретическим, которые являются функциями неизвестных параметров 0„0„..., Ог Рассматривая количество моментов, равное числу Й неизвестных параметров, подлежащих определению, и решая полученные уравнения относительно этих параметров, получаем искомые оценки.
Иначе говоря, оценки параметров 0„6„..., О„являются решениями систем уравнений сс,(6,,6„...,6„)=а,. или р,.(6,,0,,...,0„)=р,. для некоторых ~=с„~р> ... ~,. Метод моментов содержит неопределенность, поскольку можно получить уравнения для неизвестных параметров 0„6„..., 6, используя как начальные, так и центральные моменты, а также некоторые их модификации типа асимметрии или эксцесса. ЧАСТЬ П. Математикеская статистика начала координат, при условии, что координаты этой точки независимы и имеют стандартное нормальное распределение.
Требуется оценить параметр ст по выборке х„х„..., х„. Найдем оценку параметра В, приравнивая начальные выборочные и теоретические моменты. Первый начальный момент имеет вид: а, м,/лО/2. Приравнивая, получаем первую оценку 2х параметра: Т~Ю„/2 = х, откуда тт. = — . Я Приравнивая вторые начальные моменты„можем получить 1 другую оценку: ст.= — ~хт', а из уравнения, которое получит2п,м ся при использовании второго центрального момента (диспер- 28' сии), — третью оценку: В.= —.
4-я Часто полагают, что для нахождения оценки одного параметра следует брать первый момент, для двух — первые два момента и т.п. По возможности, действительно имеет смысл поступать так, поскольку это проще всего. Однако такой подход годится не всегда. Он не проходит, например, если некоторые моменты равны нулю или не зависят от нужных параметров. В общем случае система уравнений для моментов может не иметь решения в элементарных функциях (и тогда можно искать решение приближенными методами) или вообще оказаться неразрешимой (несовместной). Оценки, полученные методом моментов, часто оказываются смещенными. К достоинствам метода моментов следует отнести его простую вычислительную реализацию, а также то, что оценки являются функциями от выборочных моментов.
В силу теоремы Слуцкого любая непрерывная функция от выборных моментов сходится по вероятности к постоянной, получаемой подстановкой в эту функцию теоретических моментов, если они существуют и если получаемая таким образом постоянная конечна. Для определенности рассмотрим функцию Н(а„а,) от двух моментов (начальных или центральных), хотя ее можно обобщить на любое конечное число аргументов, в том числе и на случай, когда Н зависит только от одного аргумента. язв Глава лз ч~» Теорема 1. (льрамера). Пусть в некоторой окрестности точки (ао а,) функция Н(а„а,) непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка.
Обозначим дН(а, а,) дН(а„а,) да ' да 1 2 Тогда случайная величина Н(аьа2) ассимптотически нормальна при и - лл со следующими параметрами: МН = Н, + 0(1/и); Н(аьа2) — ' — ь Н(Н„Юа~ Н, '+ 2Н Н~ соч(аьаг)+ Юа2 Н,') ° (1) Иногда оценки, получаемые с помощью метода моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которому можно построить другими методами оценки более высокого качества. Оценки метода моментов используются также, когда существует необходимость оценить не сами параметры распределения (которые часто представляют собой некие абстракции), а определенные практически значимые показатели, зависящие от этих параметров функционально: С = я(О„О„...„О„).
Самый простой (хотя и не самый точный) способ такого оценивания— подставить полученные оценки в соответствующую функцию: О=я(воО,,...,О„). Если распределение определяется одним параметром, то для построения опенки один теоретический момент прнравинвавгг к одному эмпирическому моменту того же порядка (обычно первого). Задачи 1. Случайная величина 1 (число появлений события А в т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Далее приведено эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом (в первой строке указано число х,.
появлений события А в одном опыте; во второй строке указана частота и,. — количество опытов, в которых наблюдалось столысо появлений события А). Найти методом моментов точечную оценку параметра р биномиального распределения. Оценить вероятность р, = Р(~ = 0). Решение. Математическое ожидание биномиального распределения известно: Лес = тр. Приравняв математическое ожидание к выборочному среднему, получим уравнение: итр=х, откуда р = х/лт. Для рассматриваемого примера имеем: х = (О 5+1 2+ 2 1+3 1+4 1)/10 = 1,1; Р = 1,1/5 = 0,22; Ре=(1 — 0,22)'=0,29. Если распределение определяется двумя параметрами, то для построения нх оценок два теоретических момента приравнивают двум соответствуюнТнм эмпирическим моментам тех же порядков (обычно первым двум). Задача 2. Случайная величина Х (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами а и о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
