Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Доказательство (обоснование метода функционального преобразования). Если оценка В„асимптотически нормальна и верно 6 — Ф(6, а'(6)/л), то для любой функции я, гладкой в окрестности 6, верно л(6) — Ф(Л(0),(8'(6))'а'(6)/л) . Чтобы дисперсия не зависела от 6, необходимо функцию я подобрать так, чтобы выражение о(6)6'(6) было постоянным, например, положив с(0)л'(6) = !. зог ЧАСТЬ и.
Математическая статистика Задача свелась к выбору такой функции 8, чтобы она являлась решением дифференциального уравнения 8'(0) = 1/а(0). и (0 Решение этого уравнения имеет вид 8(0) = ~ —, при этом проо(0) извольная постоянная в неопределенном интеграле выбирается из соображений простоты окончательного выражения и обычно полагается равной нулю. Тогда получается 8(0) — тт'(8(0), 1/и) при и -+ е.
Задача свелась к построению доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии с заданной надежностью т. Согласно ранее доказанному, такой интервал имеет вид 1 1 я(0„)- — и„< я(0) < я(0„)+ — и„. (и т/и Задача 5.
Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления события А постоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95. Решение. Число испытаний и = 300 достаточно велико, поэтому можем воспользоваться следующими формулами для границ доверительного интервала: Значение и находим из соотношения Фе(и„) = т/2 = 0,475 по таблице функции Лапласа, в данном случае и = 1,96. Относительная частота события А составляет в = 250/300 и 0,83, Подставим зто значение ш в формулы для р, и р;.
Итак, получаем искомый доверительный интервал: 0,79 < Р < < 0,87. Задача 6. Построить доверительный интервал для вероятности «успеха» в испытаниях Бернулли методом функционального преобразования. 302 Глава лл ф Решение. Необходимо построить функцию и(и) = / —, где г ии (и) о(р) =4Я- р). Для рассматриваемого случая имеем г(р)=~ =~р=га,йр=2Ыг~=2~ =2~ 4 Я - Р) 4г'(1 — г') ~/1 - !' = 2агсяпг = 2агсаш,/р. С учетом вида функции я(р) асимптотическое неравенство примет вид 2агсяв /ю — — < 2агса(п4р < 2агсяп~/ю+ —. 7 7 /и ~/и Для функции у = я(х) = 2агсз1п~/х при О < х < 1 обратной функцией будет х = я '(у) = ап'(у/2), где О ~ у ~ и.
Поэтому если выполняются неравенства и и, 2агса(и4ы — — '>О, 2агсяп /и + — '<~г, ,Я ',/и то, применив обратное преобразование я ', получим довери- тельный интервал яп (агса)пса~ — — )<р<яп (агсз(пчи~+ — ). и, 2 .
1 "7 2~/и 2с/и Замечание. Очевидно, первым способом получается гораздо более простой и удобный в применении доверительный интервал, хотя и менее точный. Задача 7. Построить асимптотический доверительный интервал для параметра л. показательного закона распределения (двумя способами). Решение. В данном случае удобно перейти к новому параметру О = 1/Х. Эффективной оценкой для него является выборочное среднее О=х. Имеем МО=О, ВО=О'/и, откуда (О)=О. зсз Е ЧАСТЫ Ь Математическая статксткка Первым способом, подставляя оценку в формулу для дисперсии, получаем х х х — — и, <О <х+ — ит. Я' Я"' Возвращаясь к параметру А = 1/О, приходим к неравенству — 1+ —" <Х< — 1- —" Вторым способом, определив функцию х(и) = 1 — = 1пи, ости получаем асимптотическое неравенство и, и 1пх — — '< 1пО < 1пх+ — ', ,Я,Я' откуда следует хехр —" <О<хехр — ' — ехр —" <Х< — ехр —" Заметим, что по ходу решения задачи получены доверительные интервалы для математического ожидания О показательного распределения.
Этот результат имеет и самостоятельную ценность. В дальнейших задачах асимптотические интервалы по умолчанию строятся методом функционального преобразования (кроме задач на вероятности «успехове). 5 и1.а. Интервальная оценка коэффициента корреляции Пусть (х„у,), (х„у,), ..., (х„, у„) — независимые наблюдения над двумерной нормальной случайной величиной.
Построим асимптотический доверительный интервал для козффициента корреляции р, соответствующий надежности Т. ЗОА Глава»» Точечной оценкой методом моментов для коэффициента корреляции является выборочный коэффициент корреляции 1 — (х» — х)(у, — у) П,, Известно, что оценка асимптотически нормальна со следующими параметрами: и Отсюда следует, что с(Р) = 1 — р' и К(Р) = / —, = — 1л — = агй Р. /1 р» 2 1 — р Получено так называемое ~-преобразование Фишера для коэффициента корреляции. Это преобразование хорошо исследовано, и для него известны следующие соотношения: М(агйР„) =агйр+, 23(агйР„) = —. Р 1 2(п — 1) и — 3 Построим доверительный интервал для апЬР. Заменив и на и — 3 и пренебрегая в математическом ожидании при достаточно большом п величиной, получаем 2(л — 1) Р(агйЄ— — и, < агй р < агйр„+ и,) = т. 1 1 /и — 3 /л — 3 Функция йх = „, (гиперболический тангенс), обрат- е*+е * ная функции агй х, существует, однозначна и монотонно возрастает, поэтому после преобразования доверительный интервал имеет вид 1 1 й(агйр — и„) < р < й(агйр„+ и„) ~й — 3 " /и — 3 где и„определяется соотношением Ф,(и„) = т/2.
Найденный приближенный доверительный интервал настолько мало отличается от истинного, что может применяться уже для выборок объема и > 10. зс5 ЧАСТЬ и. Математическая статистика Задачи для самостоятельного решения Теоретические задачи т. Построить асимптотический доверительный интервал для параметра )с распределения Пуассона: РЯ = )с) = — е тс! з.
Построить асимптотический доверительный интервал для параметра О случайной величины С, равномерно распределенной на отрезке [о, О]. Точечную оценку параметра 0 найти методом моментов. З. Построить асимптотический доверительный интервал для неизвестного параметра )с при известном а, если случайная величина С имеет гамма-распределение: с е Т(а, А). Указание: перейти к новому параметру 6 сс/я.. Л.
Построить асимптотический доверительный интервал для неизвестного параметра а при известном )ч если случайная величина С имеет гамма-распределение: С е Т(сс, Х). 5. Построить асимптотический доверительный интервал для числа степеней свободы распределения хи-квадрат. 6. Построить асимптотический доверительный интервал для вероятности р при наблюдениях биномиальной случайной величины с известным числом испытаний пи Р г)с)=С"р"('г — р) ' гдвумя способами).
Вычислительные задачи 7. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема и = соо вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью о,д5 точность 6, с которой выборочное среднее оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение о = з мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально. 8.
Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью о,ртч точность оценки математического ожидания а по выборочному среднему равна б = о,З, если известно среднее квадратическое отклонение о = Ьз нормальной генеральной совокупности. Зоб Глава тл 9. Случайная величина С имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением а = З. Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а по выборочному среднему, если объем выборки и Зб и задана надежность оценки у = о,95. зо.
Фирма коммунального хозяйства желает на основе выборки оценить среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 99% и погрешностью не более зо денежных единиц ~д.е.). Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, не превышающим З5 д.е., найдите минимальный объем выборки. зъ Из генеральной совокупности извлечена выборка объема и = зо. Оценить с надежностью о,95 математическое ожидание а по выборочному среднему при помощи доверительного интервала. зз. Для отрасли, включающей ззоо фирм, составлена случайная выборка из з9 фирм. По выборке оказалось, что в фирме в среднем работают х = 77,5 человек при среднем квадратическом отклонении з = з5 человек.
Пользуясь 955Ь-ным доверительным интервалом, оцените среднее число работающих в фирме по всей отрасли и общее число работающих в отрасли. Предполагается, что число работников фирмы имеет нормальное распределение. з5. По данным тб независимых равнаточных измерений некоторой величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение, равные соответственно 4г,8 и 8.
Построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с надежностью у о,999. з4. По данным выборки объема и из нормальной генеральной совокупности найдено исправленное среднее квадратическое отклонение з. Найти доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение о с надежностью о,95, если: а) и = зо, 5 = 5,1; б) п = 30, з = 14. з5. По данным выборки объема и = зб из нормальной генеральной совокупности найдено исправленное среднее квадратическое отклонение з з.
Найти доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение а с надежностью о,95. зоу ЧАСТЬ и. Математическая петистика зб. Произведено тз измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематической ошибки), причем исправленное среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерения оказалось равным о,б. Найти точность прибора с надежностью о,9ч. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально. з7. По выборке из гЗ упаковок товара средний вес составил тот г с исправленным средним квадратическим отклонением З г. Построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии с вероятностью 9оть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
