Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Поскольку 48 ) 36,4, то основная гипотеза отвергается. Следовательно, станок не обеспечивает необходимой точности. Задача б. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и = 31. В следующей таблице представлены сгруппированные данные. Вариант х, 10,1 10,3 10,6 11,2 11,5 11,8 12,0 Частота и,. 1 3 7 10 6 3 1 згз ЧАСТЬ». Математическая статистика Требуется на уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н;. ат = 0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н,: о'> 0,18.
Решение. Перейдем к условным вариантам и,. = 10х, -110. -9 — 7 — 4 2 5 8 1О », 1 3 7 10 6 3 1 Получаем 2 и . 2 (» 1)» 30х0,27 45 100 ои 0 18 По таблице критических точек распределения хи-квадрат по уровню значимости сс = 0,05 и числу степеней свободы А = = » — 1 = 30 находим 72„9(0,05; 30) = 43,8. Поскольку 45 > 43,8, основная гипотеза Н, отвергается. Задача 7. Партия изделий принимается, если доля брака составляет не более 2%. Среди случайно отобранных 500 изделий оказалось 13 бракованных. Следует ли принять партию (на уровне значимости 0,05)? Реше»ие. Относительная частота брака составляет ти = 13/500 = = 0,026.
Найдем значение статистики критерия »= ' ' »500 090. 0,02 0.98 И 9 И И»0 5»;. Р>рк Из соотношения Фе(и„и) = 0,45 находим и = 1,65 и получаем (7 < и„и, так что основная гипотеза прийимается. Таким образом, партию изделий можно принять. Задачи 8. Торговец утверждает, что он получает заказы в среднем, по крайней мере, от 30% предполагаемых клиентов. Можно ли при 5%-ном уровне значимости считать зто утверждение неверным, если торговец получил заказы от 20 из 100 случайно отобранных потенциальных клиентов? ! 326 ! глава 1з й) Решение. В данном случае нулевая гипотеза будет выглядеть как Н;. р = р, = 0,3, а конкурирующая — как Н,: р < 0,3.
Найдем значение статистики критерия, учитывая, что относительная частота для данной задачи равна ш = 20/100 = 0,2: (» — рд4п (0,2 — 0,3) х 10 ДО-~.),/Гз.о.т Из соотношения Ф,(и ) = 0,45 находим и = 1,65, и У < -и, так что нулевая гипотеза отвергается и с утверждением торговца согласиться нельзя. Задача 9. По выборке объема», извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а, найдено выборочное среднее. При уровне значимости а требуется найти функцию мощности критерия проверки нулевой гипотезы Н,: а = а, при конкурирующей гипотезе Н,: а = а, ~ а,.
Решение. Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид а ~ а„ критическая область двусторонняя. Она определяется неравенством: ~Ц > и, где и„, находится из соотношения Ф,(и ) = = 1/2 — а. Найдем мощность рассматриваемого критерия, что по определению есть вероятность попадания статистики критерия в критическую область при допущении, что справедлива конкурирующая гипотеза: 1 — 0=Р~ >и ~»=а. ((х — а,) /» е Зф Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля: (х — а,)~» (х — а,)/л (а, — а)/» + — Ь+Л, а а а (х — а, )~/» где Ь= о (а,-а,) Г~ а ззг Используя данные соотношения, найдем мощность критерия: ! — б = Р~~Ь + Ц > и„,) = Р(Ь + Л > и ) + Р(Ь + Л <.— и„) = = Р(Ь > и„, — Л) + Р('Ь < — и„,— Л) ="~1 — Р(Ь < и — 4 + ЧАСТЬ !!.
Математическая статистика + ЦЬ < — и — Х) = [1/2 — Ф (и — 7)] + [1/2 + Ф,(-и — Х)] = = 1 — Ф,(и„, — А) — Фе(и„я + тс). Поскольку каждому значению а, будет соответствовать свое значение мошности критерия (в силу того, что А есть функция от а,), то мошность критерия также является функцией от аг Обозначив мощность критерия через тт, получим: я(а,) = 1 — [Ф (и„я — Х) + Ф,(и„, + )с)]. 9 зч.а. Проверка гипотез для двух выборок.
Зависимые выборки: парные наблюдения Под случаем «зависимых выбороке обычно имеют в виду ситуацию, когда речь идет об одном и том же наборе объектов до и после какого-либо воздействия на ннх. Предполагается, что воздействие может повлиять на признаки, сдвинув их средние значения в ббльшую или меньшую сторону, и это необходимо проверить. Вначале признаки объектов принимают значения хи после воздействия — значения ус Такие наблюдения называются парными.
Вычислим их разности Ы,. = у,.— хс Тогда ставится следующая задача: по наблюдениям ст„ст„..., Н„проверить гипотезу о равенстве нулю генерального среднего (Н;! а, = О) при неизвестной дисперсии о,'. Предполагается, что случайные изменения признаков распределены нормально.
Тогда гипотезу можно проверить, как это описано в предьщутцем параграфе. Задача ХО.Физическая подготовка 9 спортсменов была проверена при поступлении в спортивную школу, а затем после недели тренировок. Итоги проверки в баллах приведены в таблице (в первой строке указано число баллов, полученных каждым спортсменом при поступлении в школу; во второй строке — после обучения). Требуется на уровне значимости 0,05 проверить, существенно ли улучшилась физическая подготовка спортсменов (используя нормальное приближение).
з2а Глава 1л ф Решение. Вычислим разности Ы,. = у,. — х, Е, 5 14 -5 3 О -6 7 18 3 Получаем в ~е, = 5+ 14 — 5 + 3 — 6 + 7 + 18 + 3 = 39; ~=! е,' = 25 + 196 + 25 + 9 + 36 + 49 + 324 + 9 = 673. Отсюда находим выборочное среднее и исправленное среднее квадратическое отклонение: 9 Ы= — ') Н,= — -433; 9,, ' 9 673 -169 7,94.
8 Проверяем гипотезу Н;. а,= 0 против Н,: а, > О. Найдем значение статистики критерия: Т Й [и 433х3 лл 7,94 По таблице критических точек распределения Стьюдента для односторонней области по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы к = п — 1 = 8 определяем глв(0,05; 8) = 1,86. Поскольку Т < г„л, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Таким образом, нельзя утверждать, что подготовка спортсменов существенно улучшилась. $ зБ.Б. Проверка гипотез дяя двух выборок. Независимые выборки Пусть имеются две независимые выборки: х„х„..., х„и у„ у„..., у, имеющие нормальное распределение с параметрами (а„, о„') и (а,, о„') соответственно. Обычно ставится задача проверки их однородности, т.е.
равенства обоих параметров, либо надо проверить равенство параметров по отдельности. За9 ! Вн ЧАСТЬ и. Математическая статистика 1. Гипотеза о равенстве дисперсий двух выборок Предположим, что известны исправленные выборочные дисперсии для обеих выборок — ~„з и ~,з. Проверяем гипотезу Н;. о„г»» аут А рнативная о за Н, может б рех видов: а) аг ~о', б) ог> о', в) о'< о', однако случай в) сводится к б) перестановкой х й у и не будет рассматриваться отдельно. В случае а) делят большую выборочную дисперсию на меньшую: г г ~па» Обозначим через и и объем выборки с меньшей выборочной дисперсией и через п — с большей.
По таблице для распределения Фишера находим критическую точку с уровнем значимости сс/2 и числами степеней свободы и — 1 и л и†1. Если Р < Г~, то основная гипотеза принимается, иначе отвергается. В случае б) делят первую выборочную дисперсию на вторую: У= — ", . Я По таблице для распределения Фишера находим критическую точку с уровнем значимости а и числами степеней свободы и — 1 и ул — 1.
Если Г < Г„,, то основная гипотеза принимается, иначе отвергается. 2. Гипотеза о равенстве средних прн известных дисперсиях Проверяем гипотезу Н;. а„= а,. Альтернативная гипотеза Н, может быть трех видов: а) а„~ и;, б) а„> а„; в) а„< а,, однако случай в) сводится к б) перестайовкоййи х й у и не будет рассматриваться отдельно. Во всех случаях вычисляют статистику критерия х-у В случае а) критическая точка и„, выбирается из условия Фе(ика) = (1-а)/2. Если Щ < и„,, гипотеза Н, принимается, если Щ > и„, — отвергается. ) зэе ! Глава лз ® В случае б) критическая точка и выбирается из условия Ф,(и„,) = 1/2 — сл. Если У < и„,, то гипотеза Н, принимается, если У > и — отвергается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
