Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 52
Текст из файла (страница 52)
р, и р,. 49. Компания по производству сахарного песка имеет две производственные линии для наполнения пакетов сахарным песком по т кг. Среднее квадратическое отклонение веса пакетов, поставляемых с первой линии, а, = о,ог кг, а со второй линии — а,= о,о4 кг. С первой линии была взята случайная выборка объема и, = то пакетов и найден средний вес х, =1,018 кг. Подобная выборка л, тг пакетов была взята со второй линии и найден средний вес х, =0,989 кг.
Есть ли основание считать, что средний вес пакетов первой и второй линий различаются? Проверить гипотезу при уровне значимости о,оъ чо. Аудиторы компании интересуются системой обработки счетов доходов. Они взяли случайную выборку объема л = 5о законченных счетов, в которой 4 счета оказались дефектными. Тогда аудиторы предложили некоторые модификации в процедуре и через определенное время провели случайную выборку и, = бо завершенных счетов, где обнаружили З дефектных счета.
Имеется ли основание предполагать на уровне значимости о,оч, что новые процедуры уменьшают ошибку? 348 Глава тз чь Компания «Рекс», производящая батарейки, утверждает, что в среднем период службы их батареек дольше, чем батареек их конкурента — компании «Полкан». Ассоциация потребителей взяла случайную выборку л = то батареек производства компании «Рекс», и, испытав их, определила средний срок службы х = т98 час.
с исправленным средним квадратическим отклонением з„= 8,? час. Такая же проверка продукции компании «Полкан» для выборки объема лг тч дала величины у = т94 и з = 5,8 час. Подтверждают ли эти результаты заявление компании «Рекс»? Уровень значимости — од. кз. В течение зоо рабочих дней магазин А посещало в среднем т98 человек в день„магазин Б — гог. Есть ли основания утверждать на уровне значимости о,оч, что магазин Б более популярен, чем А, если числа покупателей в день имеют дисперсии, равные гчб? чЗ. В течение 64 дней в фирму А обращалось в среднем 8? человек в день, в фирму Б — 99. Есть ли основания утверждать (на уровне значимости о,об), что фирма Б более популярна, чем фирма А, если числа клиентов в день имеют дисперсии тз4 и тЗг соответственно? 44. Для исследования качества определенного вида полимера были сделаны выборки по то единиц из двух серий и определен процент вещества в каждой выборке.
Для первой серии процент составил х = 68,з% с исправленным выборочным средним квадратическим отклонением з„= о,?о%; для второй серии у = бу,а% с исправленным выборочным средним квадратическим отклонением з = о,?4%. Имеются ли основания предполагать, что две серии содержат разный процент химического вещества? Уровень значимости — од. чч. В селах Сидорово и Петрово проведены выборочные обследования доходов жителей. По выборкам из то человек получены следующие результаты: в Сидорово средний доход збзо руб., среднее квадратическое отклонение тчо рубл в Петрово средний доход зЗВо руб., среднее квадратическое отклонение 9о руб.
Можно ли утверждать на уровне значимости о,ц что в Петрово живут в среднем беднее, чем в Сидорово? чб. В городах Сковородкино и Кастрюлино проведены выборочные обследования доходов жителей. По выборкам из зоо человек получены следующие результаты: в Сковородкино средний доход чегго руб., среднее квадратическое отклонение зчо рубл в Кастрюлино средний доход чтбо руб., среднее квадратическое отклонение з9о руб. Можно ли утверждать на уровне значимости о,оч, что в Сковородкино живут в среднем богаче, чем в Кастрюлино? 349 ЧАСТЫ!.
Математическая статистика 57. В городах Усатово и Полосатово проведены выборочные обследования доходов жителей. По выборкам из аоо человек получены следующие результаты: в Усатово средний доход 4о5о руб., среднее квадратическое отклонение то5 руб.; в Полосатово средний доход З97о руб., среднее квадратическое отклонение 85 руб. Можно ли утверждать на уровне значимости о,о5, что в Усатово живут в среднем так же, как и в Полосатово? 58. В книжном магазине проведено исследование продаж детективов писателя Горшкова «Хромой против косого» и «Рябой против Глухого».
В течение то рабочих дней первый роман продавался ежедневно в среднем по 57 экз. со средним квадратическим отклонением 1з экз.; второй роман — в среднем по бз экз. со средним квадратическим отклонением 15 зкз. Можно ли утверждать на уровне значимости о,1, что второй роман расходится лучше первого? 59. В книжном магазине проведено исследование продаж фантастических романов писателя Бурьяненко «Ночной досмотр» и «Дневной просмотр». В течение 11 рабочих дней первый роман продавалсл ежедневно в среднем по 7о экз. со средним квадра. тическим отклонением 14 экз.; второй роман — в среднем по 6З экз.
со средним квадратическим отклонением 11 экз. Можно ли утверждать на уровне значимости о,т, что второй роман расходится хуже первого? бо. При измерении веса зо шоколадных батончиков (с номинальным весом 5о г) получены следующие значения, г: 49,1; 5о,о„49,7„5о,5; 48,1; 5о,З; 49,7; 51,6; 49,8; 5о,1„49,7; 48,8; 51,4; 49„1; 49„6; 5о,9; 48,5; 5з,о; 5о,7; 5о,б. Согласуются ли полученные данные с номиналом (на уровне значи- мости од)? 61. Урожайность зерновых культур в России в 199г-аоот гг. представлена таблицей.
Можно ли утверждать, что урожайность в 1992-1996 гг. и 1997- аоот гг. была в среднем одинаковая (на уровне значимости од)? З5о Глава гэ бз. Производство пшеницы в России в т999-зооз гг. представлено таблицей. Можно ли угверждать, что производство пшеницы в т99в-з998 гг. и т -зооз гг. было в с еднем одинаковое (на овне значимо- 999 Р УР сти о,т)? бз. Можно ли воспользоваться критерием Бартлетта для проверки гипотезы об однородности дисперсий по выборкам объема и, = т5, и, = гч, и,= то, и, = З? Дайте пояснения. ба. По трем независимым выборкам, объемы которых и = 9, и, = тч, и, = тз, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей. найдены исправленные выборочные дисперсии, равные З,з; З,8; б,Э соответственно.
Требуется: т) на уровне значимости о,оч проверить гипотезу о равенстве дисперсий; з) оценить генеральную дисперсию. б5. Требуется сравнить точность обработки изделий на каждом из трех станков. С этой целью на первом станке было обработано го, на втором — г5, на третьем — зб изделий. Отклонения Х, У, Е контролируемого размера от заданного оказались следующими (в десятых долях миллиметра). Отклонения для изделий первого станка Отклонения для иэделий второго станка Отклонения для изделий третьего станка Можно ли считать, что станки обеспечивают одинаковую точность на уровне значимости о,оч (в предположении, что отклонения распределены нормально)? ЧАСТЬ 11.
Математическая патистика 66. Инвестор имеет данные по доходности актива А за 5 лет, актива Б — за у лет, актива  — за то лет. Исправленные выборочные дисперсии доходности равны о,ом о,ог и о,оЗ соответственно. Можно ли утверждать на уровне значимости о,оч, что риск вложений в зти активы одинаков? бу. Инвестор имеет данные за то лет по доходности активов А, Б, В и Г. Исправленные выборочные дисперсии равны о,отз1 о,озм о,озч1 о,оЗг соответственно.
Можно ли утверждать на уровне значимости о,оч, что риск вложений в эти активы одинаков? ГЛАВА 16 КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ Критерии проверки гипотезы о предполагаемом виде закона распределения случайной величины называют критериями согласия. Следует понимать, что проверяют не то, что случайная величина действительно имеет определенный закон распределения (например, нормальный), а лишь достаточно ли хорошо наблюдаемые данные согласуются с некоторым законом распределения, чтобы можно было использовать этот закон для прогнозирования поведения рассматриваемой случайной величины. Гипотезы могут быть как простыми, так и сложными. Гипотеза называется нросоюй, если проверяется соответствие некоторому закону распределения с заданными параметрами. Гипотеза называется сложной, если проверяется соответствие некоторому закону распределения с произвольными параметрами.
В этом случае параметры оценивают по выборке. Наиболее часто используемые критерии согласия — это критерии Пирсона и критерии Колмогорова. $ зб.з. Критерий согласия Пирсона и Фишера (хи-квадрат) Критерий согласия Пирсона (хи-квадрат) идеально подходит для проверки гипотез в полиномиальной схеме. Пусть проводится н независимых испытаний, каждое из которых может иметь г различных исхолов А„А„... А,.
Требуется проверить гипотезу о том, что вероятности этих исходов равны р„р„..., р„, если в последовательности испытаний они встрети- ззз м 'ьорна всровтнал~~ ЧАСТЬ 11. Математичесиая статипииа 1в Теорема 1 (Пирсона). Если основная гипотеза верна, то рас- пределение статистики хи-квадрат т ч-' (т; "Р) х =2 пр, при и -+ е стремится к распределению хи-квадрат с г — 1 степенями свободы. В противном случае эта статистика стремится к бесконечности. Отсюда получаем критерий (применимый при больших и): если х' <х.', „то основная гипотеза принимается, иначе отвер- гается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
