Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Решение. 1) Вычислим вначале числитель й' критерия Барглетга: с ч !'= с!пе' — ) lс,!пе,.', где тс= 'т lс, =16+19+14+15=64. Имеем 4 а' = — С/у,.' = — (1бх2,5+19х3,6+14х4,1+15х5,8)=3,95. /с,, '' 64 Следовательно, 1'= 64 х!п3,95 — (16 х 1п2,5 + 19 х 1п3,6 + + 14 х 1п4,1 + 15 х 1п5,8)) = 2,79. По таблице критических точек распределения хи-квадрат для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы М вЂ” 1 = 3 находим критическую точку х'„, = 7,8. Так как К < х'~, то 338 Глава тз а»» 1» = = »7С < х', и принимаем нулевую гипотезу о равенстве средних. 2) При условии равенства дисперсий в качестве оценки генеральной дисперсии принимаем среднее арифметическое исправленных дисперсий, взвешенное по числам степеней свободы: У= 3,95.
Задача 16. По четырем независимым выборкам одинакового объема н = 17 найдены исправленные выборочные дисперсии: 0,21; 0,25; 0,34; 0,40. Требуется: 1) на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве дисперсий; 2) оценить генеральную дисперсию. Решение.
1) Находим значение статистики критерия Кокрена: б= 0,4 — 0,33. 0,21+ 0,25+ 0,34+ 0,4 По таблице критических точек распределения Кокрена по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы 16 и числу выборок 4 находим б = б (0,05; 16; 4) = 0,437. Поскольку 6 < 6~, нулевая ппютеза принимается. 2) При условии равенства дисперсий в качестве оценки генеральной дисперсии принимают среднее арифметическое исправленных дисперсий: г 0 21+0 25+0'34+0'4 — 0 3 3 Ф 4 Задачи для самостоятельного решения Теоретические задачи ь Пусть случайная величина г, е И(а, о*), причем значение параметра а известно, а дисперсия о' неизвестна. Требуется на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н;.о = ое если альтернативная гипотеза Н;. о = о,> ое Построить критерий отношения правдоподобия.
339 ЧАСТЬ Н. Математическая статистика г. Пусть имеется последовательность независимых испытаний Бернулли с неизвестной вероятнооъю «успеха» р. Требуется на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н;> р ры если альтернативная гипотеза Н;. р = р, > р, Построить критерий отношения правдоподобия, используя нормальное приближение для числа успехов. Вычислить объем выборки л, необходимый для достижения заданных ошибок первого и второго рода а и [). З. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром Л. Требуется на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н,: Л = Л,, если альтернативная гипотеза Н;. Л Л,> Л,. Построить критерий отношения правдоподобия, используя нормальное приближение.
Вычислить объем выборки л, необходимый для достижения заданных ошибок первого и второго рода а и [>. 4. Пусть случайная величина имеет показательное распределение с параметром Л. Требуется на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н;. Л = Л,, если альтернативная гипотеза Н;. Л = Л, > Л.. Построить критерий отношения правдоподобия. ч. Проверяется нулевая гипотеза о том, что случайная величина равномерно распределена на отрезке [-ъ т[ против гипотезы, что она имеет нормальное распределение И[о, о'). Построить критерий отношения правдоподобия в общем виде и в частном случае при и г,а<я/4. Вычислительные задачи 6. По выборке объема и = д, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о = 4, на уровне значимости сс = о,о5 проверяется нулевая гипотеза Н;> а = а, = тч. Требуется: т) найти мощность критерия для проверки гипотезы Н;> а = а,= >7; г) найти объем выборки л, при котором мощнопь критерия равна о,8.
7. По выборке объема и гч, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = то, найдено выборочное среднее, равное >8. При уровне значимости о,о5 требуется: т) найти критическую область для проверки нулевой гипотезы Н;. а = а,= >6 при конкурирующей гипотезе Н;. а = а, > тб и провести проверку; г) найти мощность критерия при а, = го. 34о Глава 1з 8. Крупная торговая фирма желает открьпь в новом районе города филиал. Известно, что фирма будет работать прибыльно, если средний месячный доход жителей района превышает Зоо долл. Также известно, что среднее квадратическое отклонение дохода о составляет чо долл.
Проводится выборочное обследование населения по величине доходов, чтобы принять решение об открытии филиала. т) Определите правило принятия решения, с помощью которого, основываясь на выборке п = аоо (человек) и уровне значимости а = о,оч, можно установить, что филиал будет работать прибыльно. з) Рассчитайте вероятность того, что при применении правила принятия решения, полученного при ответе на вопрос и.
т, будет совершена ошибка второго рода, если в действительности средний доход достигает Это долл. З) Считая альтернативное значение генерального среднего месячного дохода равным Ззо долл., рассчитайте объем выборки, при котором ошибка первого рода не превысит з,5%, а ошибка второго рода не превысит 5%.
9. Путем выборочного опроса проверяется гипотеза о том, что стиральным порошком фирмы Я пользуется Зо% населения, против гипотезы, что им пользуется только зо%. Оценить объем выборки, необходимый для проверки гипотезы с ошибкой первого рода не более 8% и второго рода — не более з,5%. то. Выборочные испытания то изделий показали, что их средний срок службы составляет 9чо час. В предположении, что срон службы изделия распределен показательно, проверить гипотезу о том, что генеральное среднее составляет топо час. (против гипотезы, что оно меньше) на уровне значимости 5%.
ы. По выборке объема и Зб, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о б на уровне значимости а о,от проверяется нулевая гипотеза Н;. а а, тч при конкурирующей гипотезе Н;. а и а.. Найти мощность двустороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для а, тз. тз. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и = т7, и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия з' = о,з».
Требуется на уровне значимости о,о5 проверить нулевую гипотезу Н: Ф= о = од8, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н;. а' > од8. ЧАСТЬ Н. Математическая статистика ТЗ. В результате длительного хронометража времени сборки узла различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени о,*= з мин*. Результаты зо наблюдений за работой новичка приведены в таблице Ь, — время сборки одного узла в минутах, середины интервалов; пт — частота). Можно ли на уровне значимости о,об считать, что дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков? т4. Независимому статистику поручено проверить информацию маркетинговой службы некоторого туристического бюро о том, что?оЧЬ клиентов выбирают в качестве формы обслуживания полупансион.
Статистик провел опрос т5о случайно выбранных туристое, нз них полупансион предпочли 84 человека. К какому выводу пришел статистик при проверке гипотезы Н;т р = о,? при альтернативе Н;. р тя о,? на уровне значимости критерия а = о,о5? т5. По тоо независимым испытаниям найдена относительная частота ит од5. На уровне значимости о,о5 проверить нулевую гипотезу Н;. р = од? при конкурирующей гипотезе Н;. р и од?. тб. Статистику необходимо проверить экспертную оценкутого, что?Ч% отечественных предприятий уклоняется (частично) от уплаты налогов.
По результатам неофициального опроса руководителей предприятий тдо из зоо случайно отобранныхдирекюров подтвердили, что используют различные схемы для ухода от уплаты налогов. Можно ли при уровне значимости о,о5 согласиться с приведенной экспертной оценкой? т?. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает о,оз. Среди случайно отобранных 4оо иэделий оказалось Т8 бракованных. Можно ли принять партию на уровне значимости о,о5? т8. Фирма разослала топо новых рекламных каталогов и получила тзо заказов. Можно ли утверждать (на уровне значимости о,о5), что эффективность рекламы повысилась, если ранее она составляла в среднем то%? т9.
Средний доход фирмы в день составлял того единиц. После реорганизации выборочный средний доход в день за Зо рабочих дней составил то?о единиц с выборочным средним квадратическим отклонением (исправленным) до единиц. Можно ли утверждать (на уровне значимости о,оч), что реорганизация привела к увеличению среднего дохода? 342 Глава в5 го. Средний дневной объем продаж в магазине составлял 5оо единиц. После реорганизации выборочный средний дневной объем продаж за з5 рабочих дней составил 5зо единиц с выборочным средним квадратическим отклонением (исправленным) 4о единиц.
Можно ли утверждать (на уровне значимости одо), что реорганизация привела к увеличению среднего дохода? гъ Инвестор считает вложения в активы с дисперсией доходности более о,о4 слишком рискованными. За последние зо лет выборочная дисперсия (исправленная) доходности актива А составила о,об. Следует ли делать вложения в актив А, принимая решение на уровне значимости о,о5? зз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
