Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Имеется электроприбор, который может выходить изстроя (перегорать) только в момент включения. Если приборвключался до сих пор к — 1 раз и еще не перегорел, то условная ве­роятность ему перегореть при А;-м включении равна Qk. Найти ве­роятности следующих событий:А — прибор выдержит не менее п включений;В — прибор выдержит не более п включений;С — прибор перегорит точно при n-м включении.Р е ш е н и е . Вероятность события А равна вероятности того,что при первых п включениях он не перегорит:р(Л) = П(1-д 4 ).Чтобы найти вероятность события Д переходим к противопо­ложному:В — прибор выдержит более п включений.Для этого достаточно, чтобы при первых (п + 1) включенияхприбор не перегорел:P(B)=Y[(1-Qk);P(B) =l-fl(l-Qk).*=1Чтобы прибор перегорел точно при n-м включении, надо, что­бы он не перегорел при первых (п - 1) включениях, а при n-м перегорел:Р(С7) = д п П ( 1 - д 4 ) .г=12.80.

Прибор состоит из четырех узлов; два из них (I и II)безусловно необходимы для исправной работы прибора, а два(III и IV) дублируют друг друга (рис. 2.80). Узлы могут выхо­дить из строя только при включе­нии. При А:-м включении исправныйIII Пузел I (независимо от других) выхо­k—\IИдит из строя с вероятностью q[ ^;IV Нузел II — с вероятностью q$; узлыIII и IV — с одинаковой вероятноРис.

2.8045стъюд[^qk. Найти вероятности тех же событий А> Ву С,Ч. IVчто в задаче 2.79.Р е ш е н и е . Задача сводится к предыдущей, но здесь находимусловную вероятность Qk выхода из строя исправного приборапри к-м включении:<г4=1-(1-*Г)(1-вГ)(1-*п2.81. В урне а белых и Ь черных шаров. Два игрока поочередновынимают из урны по одному шару, каждый раз вкладывая егообратно и перемешивая шары. Выигравшим считается тот, ктораньше вынет белый шар. Найти вероятность Р(1) того, что выиг­рает первый игрок (тот, кто вынимал шар первым).Р е ш е н и е . Выигрыш первого игрока может осуществитьсяили при первом же вынимании, или при третьем (для чего первыедва вынимания должны дать черные шары, а третье — белый), ит.д.Р(1):(Ь2к•+...=• + ...+a + Ъ+ [а + Ь) а + Ъ[а -Ь Ъ) а + Ьч2&1а+Ъa f.а+Ъа + 2Ъа + b к=0[а + Ъ)Ь \1а + Ъ)(очевидно, Р(1) >при любых а и 6).2.82.

В урне два белых и три черных шара. Два игрока пооче­редно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Вы­игрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятностьР(1) того, что выиграет первый игрок.Р е ш е н и е . Р(1) = - Н= -.5 5 4 3 52.83. Производятся испытания прибора. При каждом испыта­нии прибор выходит из строя с вероятностью р. После первого вы­хода из строя прибор ремонтируется; после второго — признаетсянегодным. Найти вероятность того, что прибор окончательно вый­дет из строя в точности при к-м испытании.Р е ш е н и е . Для того чтобы произошло данное событие, нуж­но, во-первых, чтобы прибор вышел из строя при к-м испытании —вероятность этого р. Кроме того, нужно, чтобы за предыдущиек - 1 испытаний прибор вышел из строя ровно один раз; вероят­ность этого равна (к — 1)р(1 — р)к~2 • Искомая вероятность равна(А;-1)р2(1-^-2.462.84.

Самолет, по которому ведется стрельба, состоит из трехразличных по уязвимости частей: 1) кабина летчика и двигатель,2) топливные баки и 3) планер. Для поражения самолета достаточ­но одного попадания в первую часть или двух попаданий во вто­рую, или трех попаданий в третью.

При попадании в самолет од­ного снаряда он с вероятностью рх попадает в первую часть, с ве­роятностью р2 — во вторую и с вероятностью ft — в третью.Попавшие снаряды распределяются по частям независимо друг отдруга. Известно, что в самолет попало т снарядов. Найти услов­ную вероятность поражения самолета ~Р(А \т) при этом условиидля т = 1, 2, 3, 4Р е ш е н и е . Чтобы самолет оказался пораженным при одномпопадании, нужно, чтобы снаряд попал в первую часть:Р(Л|1) = Р 1 .Для того чтобы найти_Р(Л |га) при т > 1, перейдем к противо­положному событию Р(А\т) — непоражение самолета при га по­паданиях.Чтобы самолет не был поражен при двух попаданиях, надо,чтобы оба снаряда попали в планер или один — в баки, а другой —в планер:Р(А\2) =J>(A\2) =р*+2р2р3;l-(p2z+2p2p3).Аналогично получаемР(А\3) = 1-Зр2р2;Р(Л|4) = 1.2.85. Те же условия, что в предыдущей задаче, но первая частьзабронирована и сделана неуязвимой для попадающих в нее сна­рядов.

Найти Р(Л|1), Р(Л|2)и Р ( Л | г а ) п р и т > 2.О т в е т . Р(Л|1) = 0; Р(А\2) = р22; Р(А\т) = 1 - [Plw +mp 1 m " 1 x32С£РГ~ 2 (РЗ 2 + 2р2р3) + С1рГ Зр2р 3}.2.86. Прибор СОСТОИТ из трех узлов. При включении прибора сx(ft + ft) +вероятностью рх появляется неисправность в первом узле, с веро­ятностью р2 — во втором узле, с вероятностью ft — в третьем узле.Неисправности в узлах возникают независимо друг от друга.

Каж­дый из трех узлов безусловно необходим для работы прибора. Длятого чтобы узел отказал, необходимо, чтобы в нем было не менеедвух неисправностей. Найти вероятность того, что прибор благо­получно выдержит п включений.Р е ш е н и е . Чтобы прибор работал (событие А), нужно, что­бы работали все три узла.

Вероятность того, что первый узелвыдержит п включений, равна вероятности того, что при п вклю47чениях в нем окажется не более одной неисправности (0 или 1):(1-рх)п+пр1(1-р1Г-1.Вероятность того, что все три узла выдержат п включений,равна+npl(l-pi)n-1\P(A) = fl[(l-Piyг=12.87. Лвиабомба, предназначенная для бомбометания по назем­ной цели, снабжена радиовзрывателем, работающим по сигналу отповерхности земли.

Взрыватель срабатывает на высоте к Эффек­тивное действие бомбы по наземной цели имеет место тогда, когдаhx < h < h2. При h > h2 наблюдается преждевременный разрыв;при h <hl— запоздалый разрыв; оба неэффективны. Вероятностьнормального разрыва равна р7 преждевременного — pv запоздало­го - р2; рг + р2 + р = 1.С целью повысить вероятность нормального разрыва на бомбеустанавливается второй взрыватель, имеющий те же характери­стики, что и первый, но работающий независимо от него.При каком условии эта мера повысит вероятность нормально­го разрыва бомбы?Р е ш е н и е .

При одном взрывателе вероятность нормальногоразрыва р = 1 — рг — р2. При двух взрывателях вероятность нор­мального разрыва равна р' = р2 + 2рр2 (либо оба взрывателя сра­ботают нормально, либо один нормально, другой запоздает). Ре­шая неравенство р' = р2 4- 2рр2 > р} получаем требуемое условиедля р ' > р:р + 2р2 > 1 ,т.е.р2>рг.ГЛАВА 3ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИИ ФОРМУЛА БЕЙЕСАЕсли об обстановке опыта можно сделать п исключающих друг другапредположений (гипотез)Ни # 2 , ..., Нпи если событие А может появиться только при одной из этих гипотез, товероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:Р(А) = P ( ^ ) P ( ^ ) + Р(Я 2 )Р(Л|Я 2 )+...+Р(Я п )Р(А|Я п )илиР(Л) = £Р(Я,.)Р(Л|Я 1 .) 1i=lгде P ( # t ) — вероятность гипотезы Н^ V{A\Hi) — условная вероятностьсобытия А при этой гипотезе.Если до опыта вероятности гипотез были Р(Я а ), Р(Я 2 ), ...,Р(Я П ), ав результате опыта появилось событие Л, то с учетом этого события«новые», т.е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формулеБейеса:Р(Я,И)=,Р№)РМЯ'' ('-••'£Р(Я,)РМ!Я,)»>•1=1Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипо­тез с учетом наблюденного результата опыта.Если после опыта, закончившегося появлением события А, произво­дится еще один опыт, в котором может появиться или не появиться собы­тие В, то вероятность (условная) этого последнего события вычисляетсяпо формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние ве­роятности гипотез Р(Я г ), а новые Р(Я,-1 А):P(B\A) =£;i>(Hi\A)P(B\HiA).493.1.

Имеются три одинаковые с виду урны. В первой а белыхшаров и Ъ черных; во второй с белых и d черных; в третьей толькобелые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает изнее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.Р е ш е н и е . Пусть событие А — появление белого шара. Фор­мулируем гипотезы:Нх — выбор первой урны;Н2 — выбор второй урны;# 3 — выбор третьей урны.Р(Я 1 ) = Р ( Я 2 ) = Р ( Я , ) = 1;Р(Л|Я 1 ) = - 2 _ ; Р(Л|Я 2 ) = - Н - ; Р(А\Н3) = 1.а+ос +аПо формуле полной вероятностиP(i i)= I - ± - + I - £ - + i .

i = I f - i - + - £ - + ilЗа + Ь Зс + d 33{a + b с + d)3.2. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80 % всехслучаев работы прибора; ненормальный — в 20 %. Вероятностьвыхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна0,1; в ненормальном — 0,7. Найти полную вероятность р выходаприбора из строя за время LР е ш е н и е. р = 0,8 • ОД + 0,2 • 0,7 = 0,22.3.3.

Группа самолетов в составе: один ведущий и два ведомых,направляется на бомбометание по объекту. Каждый из них несетпо одной бомбе. Ведущий самолет имеет прицел, ведомые — неимеют и производят бомбометание по сигналу ведущего. По путик объекту группа проходит зону противовоздушной обороны, в ко­торой каждый из самолетов, независимо от других, сбивается с ве­роятностью р. Если к цели подойдет ведущий самолет с обоимиведомыми, они поразят объект с вероятностью Рг „.

Характеристики

Список файлов книги