Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Каждый снаряд поражает цель независимо от других с вероятностью р. Какоечисло снарядов щ следует направить в пункт I для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?Р е ш е н и е . Событие А — поражение цели при направлении щснарядов в пункт I. Гипотезы:Нх — цель в пункте I;# 2 — цель в пункте II.Р(Я 1 ) = р 1 ; Р ( Я 2 ) = 1 - Р 1 ;61р1[1-(1-рГ}+(1-р1)[1-(1-р)п-^}.Р(А) =Рассматривая Р(А) как функцию непрерывного аргумента nvнаходим^ 1^^= [-рг(1 _ „ ) " ' + (1 -Л) ( 1 - р ) — «]1п(1 - р),= -b1(i-p)ni+(i-^)(i-p)"~"1]b2(i-p)<o)откуда видно, что эта функция имеет единственный максимум вточкеn711• = .—2+ELdP{A)P\где21n(l- •P)dn.^0.Заметим, что пл1 > — при р1л > - .22Если полученное число пх целое и < п, то это и есть искомоечисло; если оно не целое (но < п), то нужно вычислить Р (А) длядвух ближайших целых значений и выбрать то из них, для которого Р (А) больше; если полученное число окажется больше п, тоследует направить все п снарядов в пункт I (это случится при1— р1lIn- < nln(l - р),т.е.
при Рг > —).Л1 + (1-р)п3.28. Рассматривается посадка самолета на ВПП аэродрома.Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за состоянием ВПП визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки равна pv Если аэродром затянут низкой облачностью,летчик сажает самолет вслепую по приборам. Надежность (вероятность безотказной работы) приборов во втором случае Р. Еслиприборы «слепой» посадки сработали нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью рх, что и при «визуальной» посадке.
Если же приборы «слепой» посадки не сработали,то летчик может благополучно посадить самолет только с оченьмалой вероятностью р[.Найти полную вероятность благополучной посадки самолета,если известно, что в к % всех случаев посадки аэродром затянутнизкой облачностью.Р е ш е н и е . Гипотезы:Щ — низкой облачности нет;62#2 — низкая облачность есть.Р(Я 11) = 1 - — ; Р ( Я 2 ) = — ; Р(Л|Я 1 ) = р 1 ;100100Р(Л|Я 2 ) находим снова по формуле полной вероятности:р(Л|я 2 ) = Рр1 + (1-Р)К;Р(А) = (l - -*-LхI 100 J+J_[Ppl100+(1 - Р)К].1J3.29. Цель, по которой ведется стрельба, состоит из двух различных по уязвимости частей.
Для поражения цели достаточноодного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую.Для каждого попавшего в цель снаряда вероятность попадания впервую часть равна pv во вторую р2 — 1 - рг. По цели производится три выстрела; вероятность попадания при каждом выстрелеравна р. Найти вероятность того, что данными тремя выстреламицель будет поражена.Р е ш е н и е . Гипотезы:Н{ — в цель попал один снаряд;Я2 — в цель попало два снаряда;Я3 — в цель попало три снаряда.Р(Н1) = Зр(1-р)2;Р(Н2) = Зр2(1-р);Р ( # 3 ) = р3.Р(Л|Я 1 ) = р 1 ; P(A\H2) = l-(l-Pl)2+p22;Р(Л) = Зр(1 - р)2Рг+ Зр 2 (1 - р)[1 - (1 -P(A\H,) = 1;2Pl)+ р22] + р 3 -1.3.30. Группа из трех самолетов совершает налет на объект.Объект защищен четырьмя батареями зенитных ракет. Каждаябатарея простреливает угловой сектор размерами 60°, так что изполного угла 360° вокруг объекта оказываются защищенными240°.
Если самолет пролетает через защищенный сектор, его обстреливают и поражают с вероятностью р; через незащищенныйсектор самолет проходит беспрепятственно. Каждый самолет,прошедший к объекту, сбрасывает бомбу и поражает объект с вероятностью Р. Экипажи самолетов не знают, где расположеныбатареи. Найти вероятность поражения объекта для двух способов организации налета:1) все три самолета летят по одному и тому же направлению,выбираемому случайно;2) каждый из самолетов выбирает себе направление случайнонезависимо от других.Р е ш е н и е . 1) Гипотезы:Нх — самолеты выбрали незащищенное направление;63#2 — самолеты выбрали защищенное направление.Р(Я г ) = 1; Р ( Я а ) = | ;Р(Л|Я Х ) = 1 - (1 - Pf; Р(Л|Я 2 ) = 1 - [1 - (1 - p)Pf;Р(А) = I[1 - (1 - Pf) + | { 1 - [1 - (1 -p)Pf}.2) Находим для каждого самолета полную вероятность pt поразить объект: рг = -Р + - ( 1 — р)Р.ооДля трех самолетов вероятность поражения объекта будетP(A) =131-(1-Plf=lI323VМожно показать, что полученная вероятность больше, чем дляспособа 1).3.31.
Имеются три урны: в первой из них а белых шаров и Ъчерных; во второй с белых шаров и d черных; в третьей — к белыхшаров (черных нет). Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятностьтого, что шар вынут из первой, второй или третьей урны.Р е ш е н и е . Решаем задачу по формуле Бейеса.Гипотезы:Ht — выбор первой урны;# 2 — выбор второй урны;# 3 — выбор третьей урны.Априори (до опыта) все гипотезы равновероятны:Р(Я 1 ) = Р ( Я 2 ) ^ Р ( Я 3 ) = ^ .Наблюдалось событие А — появление белого шара. Находимусловные вероятности:РЩН,)^-^-;а+ оР(Л|Я 2 ) = - ^ - ; Р(Л|Я,) = 1.с+аПо формуле Бейеса вероятность того, что шар был вынут изпервой урны:\P(A\HI)Р(Н1\А)= 31^-УР(А\Н{)64- ^-rа +Ьог+сТ +1АналогичноР ( # 2 | Л ) = ——JL±A; Р(Я3|4) = .+7+ 1-+ 1Г +а+Ь с+ dа+Ъ с+d3.32.
Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) первого узларавна рх, второго р2. Прибор испытывал ся в течение времени t, врезультате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал).Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второйисправен.Р е ш е н и е. До опыта возможны четыре гипотезы:# 0 — оба узла исправны;Н{ — первый узел отказал, а второй исправен;# 2 — первый узел исправен, а второй отказал;# 3 — оба узла отказали.Вероятности гипотез:P(H0) = Plp2;P ( ^ ) = ( l - P l ) p 2 ; Р(Я2) =Р1(1-р2);Р(Я,) = ( 1 - Р 1 ) ( 1 - р 2 ) .Наблюдалось событие А — прибор отказал.Р(А\Н0) = 0; Р(Л|Я Х ) = Р(Л|Я 2 ) = Р(А\Н3) = 1.По формуле БейесаР(Я 1 |Л)={ 1(1 - рг)р2~ Р ^_(1-Л)*2+ рг(1 - р2) + (1 - рг)(1 - р2)1 - ргр23.33.
В условиях задачи 3.28 известно, что самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что летчик пользовалсяприборами «слепой» посадки.Р е ш е н и е . Если летчик пользовался приборами «слепой» посадки, то, значит, облачность была (гипотеза Я 2 ). По данным задачи 3.28 находимJL[PPl + (г - Р)Р;}Р(Я 2 |Л) =10°fi - — k + —[pPl + (1 - Р)Р1]и{100 J 1 1001 13.34. У рыбака имеется три излюбленных места для ловлирыбы, которые он посещает с равной вероятностью. Если он заки-65дывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью рх; навтором — с вероятностью р2; на третьем — с вероятностью р3.
Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочкуи рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что онудил рыбу на первом месте.О т в е т . Р(Нг\А)=з^(1~^)21ЕМ -л).2г=13.35. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностьюосматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью pv второй — с вероятностью р2. Если в цехе изделие не забраковано, оно поступаетна ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р0. Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано: 1) первым контролером; 2) вторым контролером; 3) ОТК завода.Р е ш е н и е .
Априори возможны четыре гипотезы:# 0 — изделие не забраковано;Нх — изделие забраковано 1-м контролером;# 2 — изделие забраковано 2-м контролером;# 3 — изделие забраковано ОТК завода.Событие А — изделие забраковано. Гипотеза Я0 нам не нужна,так как Р ( Л | # 0 ) = 0;Р(Нг) = ^Р(Я 2 ) = ^ ; Р ( Я , ) = р1Pi + V2Ро-Вероятности гипотез после опыта:DPiHM)2)P(H2\A)-P{Hl)P ( ^ ) + P ( ^ 2 ) + P(ff 8 )~Pl2p0+(Pl+p2)(l-p0yP2p 0 + ( P i + P 2 ) ( 1 - P o )Po[2-(Pi+J»2)]3)Р(Я,И) =2p 0 + (Pi +Р2)(1~Ро)3.36. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо.В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов.
Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошоподготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5.Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных66вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен:а) отлично; б) плохо.Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — студент подготовлен отлично;# 2 — студент подготовлен хорошо;# 3 — студент подготовлен посредственно;Я4 — студент подготовлен плохо.До опыта:P ( ^ ) = 0,3; Р ( Я 2 ) = 0,4; Р(Я 3 ) = 0,2; Р ( Я 4 ) = 0,1;РЩН,) = 1; Р(А\Н2) = ^ • Н . 1 |и0,491;Р(Л|Я,)3 = — • — • — « 0,105; Р(Л|Я 4 ) = — • — • — » 0,009.20 19 1820 19 18После опытаа) Р(Я, \А) =1^ ^и 0,58;0,3-1 + 0,4-0,491+ 0,2-0,105+ 0,1-0,0096)Р(Я 4 |Л) = ^ , ° ^ 0 9 ^ 0 Р 0 2 .3.37. На вход радиолокационного устройства с вероятностью рпоступает полезный сигнал с помехой, а с вероятностью (1 — р) —только одна помеха.
Если поступает полезный сигнал с помехой,то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью рх; если только помеха — с вероятностью р2. Известно, чтоустройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найтивероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.1Ответ.PPi + (1 - Р)Р23.38. Пассажир может обратиться за получением билета в однуиз трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят отих местоположения и равны соответственно рх> ръ ръ. Вероятноститого, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билетыбудут распроданы, равны: для первой кассы Р1? для второй Р 2 , длятретьей Р 3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
