Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Вероятность появления того или другого числа точек в любой области плоскости (пространства) не зависит от того, сколько точек попалов любые области, не пересекающиеся с данной;2. Вероятность попадания в элементарную область двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания однойточки.Число точек пуассоновского поля, попадающих в любую область Sплоскости (пространства), распределено по закону Пуассона:Р = — е"'т!где а — математическое ожидание числа точек, попадающих в область S.Если поле равномерно и имеет плотность X, то а = s\, где s — площадь(объем) области 5.Если поле неравномерно, тоа = II X (гг, у) dx dy (для плоскости),а = III\(x,y,z)dxdydz (для пространства).(S)Для вычислений, связанных с распределением Пуассона, применяюттткся таблицы функций Р ( т , а) = — е ~ а H i J ( m , a ) = V — е~а.
Таблицат!ьо^!функции Q ( т , а) = 1 - R ( т , а) дана в прил. 1 (табл. 1).Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной в интервале (а., (3), если ее плотность распределения в этом интервале постоянна:/(*) = р — aОприs€(a,p),прих & (а, (3),где запись х € (а, (3) означает: «х лежит на участке от а до |3», а х g ( a , (3)означает: «ггне лежит на участке от а до (3».Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распре-/ (3),а\ равны m I =деленной равномерно на участке (а,90a2+ P-;£/n z = (Р-°0-^^-.Непрерывная случайная величина X называется распределенной понормальному закону, если ее плотность распределения равна/(*)=•1(я—га)~32о<JJ2KМатематическое ожидание случайной величины X, распределеннойпо нормальному закону, равно тх = т,а дисперсия Dx = a 2 .Вероятность попадания случайной величины X, распределенной понормальному закону, в интервал (а, (3) выражается формулойР ( а < Х < ( 3 ) = Ф*Ix_1_2где Ф* (х) = —?= Г еfP-ml.
ф*dt — табулированная функция (см. прил. 1 табл. 2).-оо5.1. Может ли при каком-либо значении аргумента быть:1) Функция распределения больше единицы?2) Плотность распределения больше единицы?3) Функция распределения отрицательной?4) Плотность распределения отрицательной?О т в е т : 1) нет; 2) да; 3) нет; 4) нет.5.2.
Какова размерность: 1) функции распределения; 2) плотности распределения; 3) математического ожидания; 4) дисперсии; 5) среднего квадратического отклонения; 6) третьего начального момента?О т в е т . 1) Безразмерна; 2) обратная размерности случайнойвеличины; 3) размерность случайной величины; 4) размерностьквадрата случайной величины; 5) размерность случайной величины; 6) размерность куба случайной величины.5.3. Рассматривая неслучайную величину а как частный видслучайной, построить для нее функцию распределения, найти длянее математическое ожидание, дисперсию и третий начальный момент.О при х < а,О т в е т .
F(x) =М[а] = а; В[а] = 0; а 3 [а] = а3при х > а.5.4. Дан график плотности распределения f(x) случайной величины X(рис. 5.4). Как изменится этот график,если: а) прибавить к случайной величине 1; б) вычесть из случайной величины 2; в) умножить случайную величинуна 2; г) изменить знак величины на обРис. 5.4ратный?91О т в е т , а) Сдвинется влево на 1; б) сдвинется вправо на 2;в) масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат уменьшитсявдвое; г) график переменится на свое зеркальное отражение относительно оси ординат.5.5. Дан график функции распределе.
f(x)ния F(x) случайной величины X (рис. 5.5).Как изменится этот график, если: а) прибавить к случайной величине 1; б) вычестьиз случайной величины 2; в) умножитьслучайную величину на 2; г) изменитьзнак случайной величины на обратный?О т в е т , а) Сдвинется влево на 1;б) сдвинется вправо на 2; в) масштаб поРис. 5.5оси абсцисс удвоится; г) график нужнозеркально отразить относительно осиординат и каждую ординату вычесть из единицы.5.6. К случайной величине X прибавили постоянную, неслучайную величину а. Как от этого изменятся ее характеристики:1) математическое ожидание; 2) дисперсия; 3) среднее квадратическое отклонение; 4) второй начальный момент?О т в е т . 1) Прибавится слагаемое а; 2) не изменится; 3) не изменится; 4) прибавится слагаемое а2 +2атх (так как а 2 [Х] == Dx+m2x).5.7. Случайную величину X умножили на а.
Как от этого изменятся ее характеристики: 1) математическое ожидание; 2) дисперсия; 3) среднее квадратическое отклонение; 4) второй начальныймомент?О т в е т . 1) Умножится на а; 2) умножится на а ; 3) умножитсяна \а\; 4) умножится на а2.5.8. Производится один опыт, в результате которого можетпоявиться или не появиться событие А; вероятность события Аравна р. Рассматривается случайная величина X, равная единице,если событие А произошло, и нулю, если не произошло (число появлений события А в данном опыте). Построить ряд распределения случайной величины Хи ее функцию распределения, найти еем.
о., дисперсию, второй начальный момент, третий центральныймомент.О т в е т . Ряд распределения:Хг01PiQРФункция распределения F(x) представлена на рис. 5.8.тх =0-q + 1 -р=р\92F(x)a 2 [X] = 02.<z + l 2 - p = p;Dx=0i2[X]-m*\LZ[X]2=p-p =p(l-p)= (0 - pfq + (l-pfpт1iА,.= pq;= pq (q - p).5.9. Производится три независимых опыта, вкаждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X — число появлений собыF(x)тия А в трех опытах.1Построить ряд распределения ифункцию распределения случайной 0,936величины X. Найти ее математиче 0,648iское ожидание тх, дисперсию Dx,среднее квадратическое отклонение 0,216их и третий центральный момент01iiц"?01iiРис.
5.8iiiiiiс\Рис. 5.9О т в е т . Ряд распределения:г0123Pi0,2160,4320,2880,064Х2Функция распределения показана на рис. 5.9; тх = 1,2;^=0,72; а, =0,85; !i 3 [^] = 0,1445.10. Монета подбрасывается п раз; рассматривается случайная величина X — число выпавших гербов. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти ее характеристики:^Dx,Gx1\iz[X].т0Рт1ГХОтвет.1тпс\ 2,с:2JпIfш г = - ; Dx = —; ax =; \i3 [X] = 0 (так как распределение сим242метрично относительно тх = —).5.11. Производится п независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А. Написать ряд распределения случайной величины X — числа появлений противо93положного А события А в п опытах — и найти ее математическоеожидание и дисперсию.Ответ.%т0РтРпт1ССпЯРпЯппРЯmeq = 1 - р\ тпх = nq\ Dx = npq.5.12.
Производится п независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А. Рассматриваетсяслучайная величина R — частота появления события Авп опытах,т. е. отношение числа появления события Авп опытах к общемучислу произведенных опытов п. Написать ряд распределения этойслучайной величины; найти ее математическое ожидание и дисперсию.Ответ.1пЗ'тл0РтяптпСЬпРЯпР1рпЯгдед = 1 - р; тх = р; Dx=^-.и5.13*. Производится п независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Определитьнаивероятнейшее число попаданий в мишень га*.Р е ш е н и е . Рассмотрим, при каком условии га* = 0.
Еслипnг*ИЛИq > пр,откудар <.га _ О,тоq > C\pqп+1Если га* = п,тор п >CnqpnИЛИр > nq,откуда— р >п +1Рассмотрим случай, когда 0 < га* < п; в этом случае должнывыполняться совместно два неравенстваW Р Я>0п1C пm* P„m*„ Q n—m* \> s~im*—L n pрqмтп*— 1 лqп— га*+1ЭТИ два неравенства эквивалентны следующим:(га * + l)q > (п — га*)р, {п —га* + 1)р > га * g,94откудага*должно быть целым числом, удовлетворяющим неравенству(п + 1)р - 1 < га* < (п + 1)р.Можно убедиться в том, что это неравенство выполняется и в1пслучае р <(га* = 0) и в другом крайнем случае: р >п +1п+1(ш* = п).Поскольку правая часть неравенства на единицу больше левой,то между ними лежит только одно целое число га*; исключениесоставляет только случай, когда (n -f- 1)р — целое.
В этом случаеимеется два наивероятнейших числа попаданий: (п + 1)р и(п + 1)р — 1. Если пр — целое число, то га* = пр, т.е. наивероятнейшее значение числа попаданий в мишень равно его математическому ожиданию.5.14. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка pv для второго р2. Рассматриваются две случайные величины:Х{ — число попаданий первого стрелка;Х2 — число попаданий второго стрелкаи их разностьZ = Хг — Х2.Построить ряд распределения случайной величины Z и найтиее характеристики га2и Dz.Р е ш е н и е .
Случайная величина Z имеет три возможных значения: - 1 , 0 и +1.P(Z = - l ) = P ( X 1 = 0 ) P ( ^ 2 = + l ) =9lp2;P(Z = 0) = Р(Хг = 0) Р(Х 2 = 0) + Р(ХХ = 1) Р(Х 2 = 1) == Ч\Ч2 + PlP2'>T>{Z = l) = -p(X1=l)P{X2=0)= plq2,где^ =1-р1;q2 = l - p 2 .Ряд распределения величины Z имеет видml= (-l)QiP2*г-1PiQlP20Q1Q2 +1Р1Р2Р\Ь+ % i 9 2 + P i P 2 ) + 1 P i 9 2 =~QiP2 + Р1Я2 =Р\ - Рг-95Дисперсию находим через второй начальный момент:а=2 [^]( - 1 ) 2 'QiP2 + °2-(9i92+PiP2) += Q1P2 + P1Q2 = Pi + Р2 ~Dz= GL22[Z]-m z=рг+p2 ~2pxp2l2'P1Q2 =2PlP2>- ( ^ - p2)2 =Pxqx +P2Q2-5.15. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может появиться некоторое событие А.
Вероятность события А в каждом опыте равна р. Опыты производятся до первогопоявления события А, после чего они прекращаются. Случайнаявеличина X — число произведенных опытов. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти ее характеристики — математическое ожидание и дисперсию.Р е ш е н и е . Ряд распределения имеет видъ123PiрЯРq2piqpгде q = 1 - p.2l lm. = lp + 2qp + ?q p +...iq - p+ ... = p^ig*"" 1 .t=iЗамечаем, что ряд Y^ iqггпредставляет собой результат диф-г=0ференцирования геометрической прогрессии У^д г = —-9г=1аг=1Ч U=l' я '[1-я)>>р.11(I-*)2=J.(i)1Дисперсию определяем через второй начальный момент:ОО00• 2 _1г -100V^ 4 -2<*,[*]= J>?p,= £*У= р£*Уг q г>p=pl^"~г=1г =196г =1г-1P2'(JДля вычисления суммы ряда ^ г 2q г~г умножим ряд (1) на q иг=1продифференцируем по q:1+g^i=ldq ( i - ? ) 2Умножая на р = 1 — q, получима 9 (Л) =?—; Ц_ = а 9 ( л ) —га*=^—- = -—-.Полученное распределение можно связать с распределениемПаскаля:P(Y = k) = qkp(* = 0,1,2,...)с характеристиками: т= —; J5 = - ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
