Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 18
Текст из файла (страница 18)
5.42, б).в)тх=0;Д * = у ! о*=Щ-> Из(*1 = 0.г)Р Х € | - | , аНО78'5.43. Случайная величина X распределена по закону Коши:а/(*):1 + х2а) Найти коэффициент а; б) найти функцию распределенияF(x); в) найти вероятность попадания величины X на участок(-1, +1); г) существуют ли для случайной величины X числовыехарактеристики: математическое ожидание и дисперсия?О т в е т , а) а = - ; б) F(x) = -arctgz + i ; в) P ( - l < X < 1) = - ;-к-к22г) характеристики га^ и Dx не существуют, так как выражающие ихинтегралы расходятся.5.44.
Случайная величина X подчиненапоказательному закону распределения с параметром |i:-\1Х/(*)=Оприприх>0,х<0.а) Построить кривую распределения;Рис. 5.44б) найти функцию распределения F(x);в) найти вероятность того, что случайнаявеличина X примет значение меньшее, чем ее математическоеожидание.О т в е т. а) См. рис. 5.44;6)F(X):[О1в)шх=-;_0-v*прих < О,прих > 0;\Р\Х<- = F\! 0,632.5.45.
Случайная величина X подчинена закону Лапласа:/(х) = ов _х|х|(Х>0).а) Найти коэффициент а; б) построить графики плотности распределения и функции распределения; в) найти тхи Dx.О т в е т . а)а = —;2б) F(x) =1е-хх2прих < 0,прих > 0.111Рис. 5.45Графики плотности распределения и функции распределенияданы на рис. 5.45, я, б.в)тя=0;DX=-^.5.46. Случайная величина R — расстояние от точки попаданиядо центра мишени — распределена по закону Рэлея (рис. 5.46):т-приприг >0,г <0.Найти: а) коэффициент А; б) моду М случайной величины Л,т.е. точку максимума ее плотности распределения; в) тг и Д.;г) вероятность того, что в результате вы\f{x)стрела расстояние от точки попаданиядо центра мишени окажется меньше, чеммода.О т в е т .
а ) А = 2/г 2 ;б)Ж; в)тг == Ml l ^;D7тс2„,2 4--М'^V22 2А2А'4/i2г ) Р ( Д < Ж ) = 0,393.5.47. Случайная величина X с вероятностью рх имеет плотность распределения Д (ж), а с вероятностью р2 — плотность распределения f2(x) (рг + р2 = 1). Написать выражение для плотности распределения и функции распределения величины X. Найтиее математическое ожидание и дисперсию.Р е ш е н и е . По формуле полной вероятности (с гипотезамиЕ{ — величина X имеет плотность распределения /• {х\ i= 1, 2)получаемРис. 5.46XF(x) = Р(Х < х) =Р1В Д + p2F2(x), где J".
(ж) = J ft (x) dx;-00/(*) = Pi/i(a:) + p 2 /a(x);112mxh (ХУХ + Р2 f xh (x)dx = P i ™ ^ + P2mi2) >x=Pifгде т^\т^— математические ожидания для распределенийООООDx -p1Jx2fl(x)dx+p2Jx2f2(x)dx-ml—ОО=—00гдеа^а(22) — вторые начальные моменты для распределений fx (x)и/ 2 (х).5.48. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром dv но проходит через отверстие диаметром d2 > dl, то егоразмер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметршарика D есть нормально распределенная случайная величина сdx +d2d2 - dxLхарактеристиками md = —- и od = —.
Определить веро24ятность p того, что шарик будет забракован.Решение.\d2 -тА | ф* ы, тАф*p ^ l - P ^ <d<d2) = ld= 1 - ф* К ~ l)2aAл.*ф*К ~d2)2aAтак как Ф* (-х) = 1 - Ф* (ж), тор =12Ф*(d2 - dx)2а,-12 - 2Ф*(d2 - dl )2а,и по таблицам функции Ф* (х) (см. прил. 1 табл. 2) находимр = 2 - 2Ф* (2) = 0,0456.5.49. Известно, что размер D шарика для подшипников является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Браковка шарика производится так же, как указано в задаче 5.48. При этом известно, что средний размер шарика равенИЗdx + d2т, =, а брак составляет 10 % всего выпуска. Определитьсреднее квадратическое отклонение диаметра шарика od.Р е ш е н и е . Вероятность бракаР = 2 - 2Ф*откуда Ф*I d о — cLfd 2 - dx)2а,= 0,1,: 0,95.
По таблицам функции Ф* (х) (см. прил. 12ст,. nxd0 — d,^^dc, — d,Lтабл. 2) находим —= 1,25; ои = —-.2od2,55.50. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 мин горит зеленый свет и 0,5 мин — красный, затем опять1 мин горит зеленый свет, 0,5 мин — красный и т.д. Некто подъезжает к перекрестку на автомобиле в слуЛ*)чайный момент, не связанный с работой2/3светофора.
Найти: а) вероятность того,что он проедет перекресток, не останавливаясь; б) закон распределения и числовые характеристики времени ожида013/12ния у перекрестка.Р е ш е н и е . Момент проезда автомоРис. 5.50биля через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периодусмены цветов в светофоре. Этот период равен 1 + 0,5 = 1,5 [мин](рис. 5.50).Для того чтобы автомобиль проехал через перекресток, неостанавливаясь, достаточно, чтобы момент проезда перекресткапришелся на интервал времени (0; 1). Для случайной величины,подчиненной закону постоянной плотности в интервале (0; 1,5),вероятность того, что она попадет на интервал (0; 1) равна- • 1 = - .
Время ожидания Тож есть смешанная случайная величиоо21на; с вероятностью - она равна нулю, а с вероятностью - принимает с одинаковой плотностью вероятности любое значение между 0 и 0,5 мин.Среднее время ожидания у перекресткаM[roJ = o J + 0,25.iДисперсия времени ожидания114: 0,083 [мин].Д ож =« 2 [г ож ]-(М[г ож ]) 2 =0,5=0 2 • - + -ft2о• —dt - (0,083)2 « 0,0208 [мин2];'ot «ОД44 [мин].5.51.
Кривая распределения случайной величины X представляет собой полуэллипс с полуосями аиЬ (рис. 5.51, а).тА1-а0аРис. 5.51Величина а известна. Требуется определить величину Ь, найти тх1 Dx, найти и построить функцию распределения F(x).Р е ш е н и е . Величина Ъ находится из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения:ъаЪ,_ 2ттаПлотность распределения— у/а2—х2прихе(—а\а),/(*)=прих^(-а;а).Математическое ожидание тх = 0. ДисперсияооDx=2fx2f(x)dx = ?-;4j—сюfoпри1F(x)= ff(x)dx= \ тга[1хуа2-х*приприх < —а,,2. х+ а arcsm—Iа— а < х < а,х > а.а -к2График функции F(x) приведен на рис. 5.51, б.1155.52*.
Показать, что функция видаaxseа хОприх > О,прих < О,где а > 0 и а > 0 — некоторые постоянные и s — натуральное число( 5 = 1 , 2 , 3 , . . . ) обладает свойствами плотности распределения. Определить параметры а и а, исходя из заданного математическогоожидания тх, и найти Dx.Р е ш е н и е . Параметры о и а находятся из условийооооJaxse~^x)2dxоJaxs+le~^x)2dxо= 1,Данные интегралы заменой (arc)2 =tма-функции Эйлера:00xse~(ax)2dxt2приводятся к гам8 + 1)2 J5-1s l9™2a 5 ++ i JJQ= тх.dt2a 5 + 1г д е Г ( т ) = / e 4™ 1dt (m > 0),причемГ(т + 1) = га Г (га) и для цеoлых п = 1, 2, ...
получаем Т(п + 1) = п!, Г т + - = --—-^,(2п-1)!! = 1-3-5...(2п-1).Из заданных условий находим5+ 25+ 1= 1; а-2а s+l2а™*|5+ 2откудаа =2а5+15+ 1а =1то.2 J{ 2(s + lI 2Второй начальный моментооа2[Х] = faxs+2e-(ax)2dxо116(s + 3)s + lpfs + 1= a- { s 2+ 3 J — a2a1„ s+l„ 2zaas+ l2a 2откудаDx =QL2[X]-ml=(5 + 1)Г2s+1m„2a2m„'5 + 1]'s + 2'> 2 ,2Г2Некоторые из законов вида fs (х) имеют определенные названия: Д (х) называется законом Рэлея, а / 2 (х) — законом Максвелла.Для закона Рэлея ( 5 = 1 )Л(*) =прих > О,приа; < О\ахеимеем соотношенияa =1 лАгa = 2aTV=2т2х™* 2 '£>=т;i-1ТСДля закона Максвелла ( 5 = 2 )2/ 2 (*) = ах е-aVОприх > О,прих<Оимеем соотношенияa =2гахл/тстс4а"32V-rcтгт::п2 ГЗтсЛI8JЗ а м е ч а н и е .
Все законы вида2 2ax e0приприx > 0,х<0при заданном 5являются однопараметричными, т.е. зависят только от одного параметра, в качестве которого можно задать, например, математическое ожидание (или дисперсию).5.53*. Имеется случайная величина Ху распределенная по нормальному закону с параметрами т и о. Найти выражение для величины a s [X] — начального момента 5-го порядка.Р е ш е н и е . Выразим начальные моменты aS[X] =M[XS]черезsцентральные моменты \is [X] = М[(Х — т ) ]:aa[X} = M[(X-m+ my}=Y2CsH[X}™s-k,Ио[*] = 1-Jb=0117Для центральных моментов при нечетном s = 2п + 11(х-т)22оо[Ls[X}s 2= —!==f(x-m) eот/2гк1°dx =}_у2ОО= —L= [yse*°2dy=0,а при четном s — 2п — по формулам предыдущей задачи1ООV.t[X] = -L=fy'eстл/2тг\_у22 2°dy =—00[2п + 12aV2^JQaV2^22n= (2n-l)!!a .)(v/Г\2"+1'Например,|i 2 [X] = a 2 ;a2[X] = га2 + a 2 ;a 3 [X] = m 3 + 3a 2 m;щ[Х] = За 4 ;a 4 [X] = m 4 + 6 a 2 m 2 + 3 a 4 ;a 5 [X] = m 5 + 10a 2 ra 3 + 5-15a 4 ra;^x6[X] = 15a 6 ;a6[X] = m6 + 15a 2 m 4 + 15-3a 4 m 2 = 15a 6 .5.54.
Случайная величина Х подчинена нормальному закону сматематическим ожиданием тх — 0. Вероятность попадания этойслучайной величины на участок от - а до а равна 0,5. Найти ах инаписать выражение нормального закона.Решение.Р {-а < X < а) = 2Ф* [-) - 1 = 0,5; Ф* [-] = 0,75.По таблицам функции Ф* (х) имеем - « 0,675, откуда a = 1,48a,a118/(*)=4,4ал1,48a V5TV5.55*.ФункцияраспределенияF(x) неотрицательной случайной величины .X* задана графиком (рис. 5.55).
Математическое ожидание случайной величины X равно тпх. Показать, что гпхгеометрически может быть представлено площадью фигуры, заштрихованнойна рисунке (ограниченной кривойу = F(x), прямой у = 1 и осью ординат).Р е ш е н и е . Имеемтх = Jxf(x)dx = fxF'(x)Рис. 5.55dx = - J x[l - F{x))'dx.Применяя интегрирование по частям, получим| оооо+• fт, = -х[1 - F(x)}|о[1 -F(x)]dx.оДокажем, что первое слагаемое равно нулю:I 00х[1 - F(x)}\= lim x[l - F(x)) = 0.Действительно, для случайной величины X > 0, имеющей конечное математическое ожидание, из сходимости интеграла0000I xf (x) dx следует, что / xf (x) dx —> О (М —> оо), и так какомооооМ Г f(x)dx<мfxf(x)dx,мполучаемM[1-F(M)]^>0(М->оо).Следовательно,lim х[1 - F(x)] = 0.Отсюдатх=f[l-F(x)]dx,а это есть площадь, заштрихованная на рисунке.5.56.
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием га и средним квадратическимотклонением а. Определить абсциссы xv х^ и ординату у точек перегиба кривой распределения у = f(x) (рис. 5.56)._0,241О т в е т. хл т а; х2 = т + о*; ?/aV^a5.57. Случайная величина X подчинена нормальному закону сматематическим ожиданием тх = 0 (рис.
5.57).Задан интервал (а, (3), не включающий начало координат. Прикаком значении среднего квадратического отклонения а вероятность попадания случайной величины X в интервал (а, (3) достигает максимума?Р е ш е н и е . Значение а найдем, дифференцируя по а вероятность попадания в интервал (а, (3) и приравнивая производнуюнулю. ИмеемР ( а < Х < ( 3 ) = Ф*[£]120aа(a Jf[P(a<X<(3)] =отсюдаф*_t_ол/2к^2а"С .11_22а'а2<ft= 0;.2Ре2<j22 2= ае°,и следовательно,*2а =Л2а2(1п(3-1па)1(3 + а (3 — ау 2ЬР-1паДля малого интервала (а - е, а + е)\21-1: а.6Например, при - < 0,24 формула а « а имеет погрешность меанее 1 %.5.58. Имеется случайная величина X, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием тх и средним квадратичным отклонением ах. Требуется приближенно заменить нормальный закон законом постоянной плотности в интервале (а, (3);границы а,(3 подобрать так, чтобы сохранить неизмененными основные характеристики случайной величины X: математическоеожидание и дисперсию.Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
