Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Но R =+ Y2, следовательно, вероятность попадания точки (X, Y) в круг D (ж2 + у2 < г2)может быть записана в двух формах:гP(R<r)= j 2ъ\ге~*Хг2 drоP((X,Y)GD)(r>0),= fff(x,y)dxdy,(1)где/(ж, у) — плотность распределения системы (X, У). В силу симметрии надо считать, что /(ж, у) зависит только от расстояния:/(ж, у) = </(г), где г = д/х2 + у 2 . Переходя к полярным координатам(г, ф), получаем2-гсР((Х, Y)eD)г= fdip fg(r)00гrdr = 2гс J $ ( r ) r dr.(2)0Сравнивая выражения (1) и (2), находим: д{т) = \е~* Хг и, значит, /(ж, у) = \е~*^х+у),что и требовалось доказать.ГЛАВА 7ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНЕсли X — дискретная случайная величина с рядом распределенияХ{Х\Х2ХпРгPiPiРпа величина У связана с X функциональной зависимостью У = ф(Х), то математическое ожидание величины У равнот , = М [ < р ( * ) ] = Х > (*,)*,1=1а дисперсия выражается любой из двух формулDy = D M X ) ] = X > ( o ; i ) - m ! , ] 2 P , - = Х > ( * < ) ] 2 Р , г =1-т].* =1Если {X, У) — система дискретных случайных величин, распределение которой характеризуется вероятностямиР<,=Р((Х=*<)(У= »,)),a Z = tp (X, У), то математическое ожидание величины Нравнотг = М [Ф (X, Y)} = £ Е * (*< • *i) Р*а дисперсия выражается любой из двух формулDZ=D[4>(X,Y))х== 12 Z) fo ( *' ^-) - J ^ - = ]С X) fo (*»•' 2/i)]2^- - т1гJm 2»iЕсли X — непрерывная случайная величина с плотностью распределения /(я), а У = ф (X), то математическое ожидание величины У равноту = М [ Ф ( Х ) ] = f ф)f(x) dx,а дисперсия выражается любой из двух формул152D, = D [Ф (*)] = J [V (x) - my ff{x)dx = J [Ф (x)] 2 / (*) dx - m-002y.-00Если (X, Y) — система непрерывных случайных величин с плотностью/(я, у), a Z = tp (X, У), то математическое ожидание величины Нравносоmz = М[ч> (X, У)] = J J t p (x,y)f(x,y)dx dy,—ooа дисперсия выражается любой из двух формулооDx = D[4> (X, У)] = J / [Ф (*, у) - ml] f(x, у) dx dy =—оо00=II [ф (*' y}}2f ( х ' ^ ^х ^ ~ т*2,-ооЕсли (Х1? ...,Х П ) — система п непрерывных случайных величин сплотностью/(zj, ..., хп), а У = tp(Xj,..., Хп), то математическое ожиданиевеличины У равноооту = M[ip(X1,...,An)] = J J ...
J c p ^ , . . . , ^ ) ^ ^ , . . . , ^ ) ^ ...<fen,-ооа дисперсия выражается любой из двух формулZ>,=D[4> ( * , , . . . , * „ ) ] =00=/ /'" l ^(XlT->Xn)-myTf'(Ъ'-'Хп)dxi ~'dxn=—0000= l l •••/[ф(^,"-^п)] 2 /( Ж 1 ) ---^п)dxl '"dxn - ™>l'-ooЕсли с — не случайная величина, тоМ [ с ] = с ; D[c] = 0.Если с — не случайная величина, а X — случайная, тоМ = [сХ] = сМ[Х]; D[cX] = c2D[X].Теорема сложения математических ожиданийМатематическое ожидание суммы случайных величин равно сумме ихматематических ожиданий:М[Х + У] = М[Х]+М[У];и вообще153Мм Е*« = Е №1Математическое ожидание линейной функции нескольких случайныхвеличинУ = £>,*<+6,где а{ и Ь — не случайные коэффициенты, равно той же линейной функции от их математических ожиданий:гпу = М5>д,+ьS a < m *« +ь»гдетХ1- = М[Х{] (i = 1, ..., п).Короче это правило можно записать так:М [I (Х15 Х2, ..., Хп)] = Д т ^ , т Я 2 , ..., т Х п ),где L — линейная функция.Математическое ожидание произведения двух случайных величин X,У выражается формулойM[XY] = M[X}M{Y} + KX),где Кщ — корреляционный момент величин X, У.
Эту формулу в другомвиде можно записать так:K„=M[XY]-mxmyили, имея в виду, что М[ХУ] = аг г[Х, У],Кху= <*1, l[X> Y] ~ ™>х™>у •Теорема умножения математических ожиданийМатематическое ожидание произведения двух некоррелированныхслучайных величин Х> У равно произведению их математических ожиданийЩХУ) = М[Х] М[У].Если Хг, Х2, ..., Хп — независимые случайные величины, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданийПВД].МL i=iДисперсия суммы двух случайных величин выражается формулойD[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2K„.154Дисперсия суммы нескольких случайных величин выражается формулойDЕ*. = Е ^ + 2 Е * ^ i<Jгде Кх.
х. — корреляционный момент случайных величин Xit Xj.Теорема сложения дисперсийДисперсия суммы двух некоррелированных случайных величин X, Yравна сумме их дисперсийD[X + Y] = D[X] + D [ 7 ] ,и вообще, для некоррелированных случайных величин Х1, Х2, .. •, ХпJ2x, =$>№]DДисперсия линейной функции нескольких случайных величин1=1где Oj, 6 — не случайные величины, выражается формулойД.
= DЕ«л+ 6 =ч аЕ 1°1х<1+2'Еаък*,.гi<jВ случае, когда величины Хг, Х2, ..., Хп не коррелированы,Z>,=DЕ°^+ьE°' D ^]-При сложении некоррелированных случайных векторов их корреляционные моменты складываются, т.е. еслиX = Хг + Х2; Y = Уг + Y2, KXiX2 = KXiV2 = КУхУ2 = КУх%2 = О,тоis_Wisх1у1Л- К"Г" л а г 2 у 2 *Функция ф (Хг, Х2, ..., А"п) нескольких случайных аргументовХг, Х2,..-, Хп называется «почти линейной», если во всем диапазонепрактически возможных значений аргументов она может быть с достаточной для практики точностью линеаризована (приближенно заменена линейной). Это означает, что155i =1 [0 xi )(Xi~тхХчастная производная функциигде ЭХ;ЭХ;Ф {хх, х2,..., хп) по аргументу xif в которую вместо каждого аргумента подставлено его математическое ожидание.Математическое ожидание почти линейной функции У == ф (Хг, Х2,..., Хп) приближенно вычисляется по формуле™у =Ф (™Xi,mX2,...,mXn).Дисперсия почти линейной функции приближенно вычисляется поформулел.=Е#Ф[ дц>ЭХ;ЭХ;дудх1)КХ:Х;1где Д..
— дисперсия случайной величины Х-; Кх.х. — корреляционный момент величин Xi} Xj.В случае, когда случайные аргументы Хг, Х2,..., Хп не коррелированы,$ФDy=ZЭХ;я..7.1. Дискретная случайная величина X имеет ряд распределенияХг-1012Pi0,2ОД0,30,4Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = 2Х.Р е ш е н и е . т у = 2" 1 -0,2 + 2° -0Д + 21 -0,3 + 2 2 -0,4 = 2,4.Dy =a2[Y]-m2y=(2-1)2 .0,2 + (20)2 -0,1 ++(2г ) 2 • 0,3 + (22 ) 2 • 0,4 - 2,42 = 1,99.I Кх)7.2.
Непрерывная случайная величина Храспределена в интервале (0, 1) по закону с плотностью2х/(*)= 0Рис. 7.2156приприа:Е (0,1),х <£ (0,1)(рис. 7.2). Найти математическое ожидание и дисперсию квадрата случайной величины Y = X2.ГР е ш е н и е . т у =а2[Х}=21J х 2xdx = -;2оDy=a2[V}-ml=f(xy2xdx-$= \ - \ = ±-7.3. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону:/(*)=. еоприприх > О,(\>0).а: < ОНайти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = е~х.XJV*Xe -ХХ^Х :Р е ш е н и е , га,X + l.оо^=а2[У]-т,2(\2\=/е^Хе-^-[^А_]=X(Х + 2)(Х + 1)27.4. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону:[Хе~х*/(*) =Оприх > О,ПриГГ < О(Х>0).Установить, при каких условиях существуют и чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y = ех.СО00Р е ш е н и е .
ту = Jex\e'Xxdx= X fe~{x~l)xdx]оопри X - 1 > 0, т.е. при X > 1, этот интеграл существует и равенту =5 П Р И X < 1 он расходится.ооcx2[F] = Je2x\e~Xxdxоо=\Je~^-2)xdx.При X > 2 этот интеграл существует и равен а 2 [Y] —2XХ-2'XX чXХ-2IX-1J(Х-2)(\-1)2X < 2 интеграл расходится, и дисперсии Dy не существует.дисперсияравнаDyпри1577.5. Непрерывная случайная величина Xраспределена по закону:/(*)=1-cosа;2приОПрих£' тс тс#I 2"'"2•х£|-|;|Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = sinX.12Р е ш е н и е . тп у = — / sinxcosxdx = 0;9J121D y = а 2 [У] = - i sin2 xcos:r<iE = - .7.6. Случайная величина X распределена по тому же закону,что и в предыдущей задаче.
Найти математическое ожидание идисперсию случайной величины Y =|sinX|.Решение.1тп „221- / |sin:r|cos:r dx = J sinxcosx dx = - .а 2 [У] = - i |sinx| 2 cosx dx— / (sinx) 2 cosx dx = - .Dy = c x 2 [ F ] - m ;127.7. Случайная величина Храспределена с постоянной плотностью в интервале (1; 2):/(*) =1прия €(1,2),0прих £(1,2).Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y — —.X158Р е ш е н и е . mvу = I — dx = ln2;J хDy = *2\Y]-m2y= f\dx-(ln2)2^x=^-(ln2)2.2,7.8.
Случайная точка (X, Y) распределена равномерно внутрикруга К радиуса г = 1 (рис. 7.8). Найти математическое ожиданиеи дисперсию случайной величины Z= XY.Решение..,ч /(х, у) = Ьг[ОПРИ(я,у)е#,при{х,у)£К.т z = — / / ху dx dy = 0 (см. задачу 6.7).(^)2тт1Dz — — \ \ x2y2dx dy — — \ d ^> \ гъ cos2 у dr = —.24*<*)*oо7.9. Случайная точка (X, У) распределена равномерно внутриквадрата R (рис. 7.9). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z= XY.Рис. 7.8Р е ш е н и е . Так как случайные величины X, Y независимы, то1 1 1mz = mxmy2 2 4Dz =a2[z}-m2z =M[(XY)2}-m2 =M[X2]M[Y2}-M[X2} = a2{X} = ±; М[У 2 ) = А;т2,Dz=—.1597.10. Имеются две случайные величины Хи Y, связанные соотношением Y = 2 - ЗХ. Числовые характеристики величины X заданы: тх = - 1 ; J D X = 4 .Определить: а) математическое ожидание и дисперсию величины Y; б) корреляционный момент и коэффициент корреляциивеличин X, Y.Р е ш е н и е , а) га = 2 - З г а х =5;£> = (-3) 2 -4 = 36.6 ) ^ = M[XY]-mxmyHOM[X2]кху= OL2[X] = DX= •= М[Х(2 - ЗХ)] + 1-5 = 2М[Х]- ЗМ[Х 2 ]+ 5,Л-ml = 4 + 1 = 5;отсюда- 2 - 3 - 5 + 5 = -12; г=•а-12*ау-12л/4-36-1,что и естественно, так как Хи ^связаны линейной функциональнойзависимостью.7.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
