Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Случайная величина Х распределена по нормальному закону:Л(*)1(*+1Г7п12кНезависимая от нее случайная величина Y распределена равномерно в интервале (0, 2). Найти: а) М[Х + У]; б) D[X + Y\B)M[XY};r)D[XY];iOM[X-Y2};e)M[X-Y+X2Y2}^)D[X-Y}.Р е ш е н и е . т ^ - 1 ; my = 1; JDX =4; Dy = - .«Jа)М[Х + Г] = т 1 + т у = 0:6)D[JT + y] = l ? , + i ) f = Д ;в)М[ХУ] = т , т , = - 1 ;178r)D[XY)=a2[XY}-m2xTn2y=(Dx+m2x)(Dx+m2y)-m2m2y= DxDy +m2xDyд)М[Х-¥2}+=m2yDx=b\;= тх -a2[Y]-m2 =-2^;= mx-DyО2 2e)M[X-Y+ X Y ] = mx -my+ (Dx+m2)(Dy+m2y)ж)В{Х-Y]=22+M[X ]M\Y ]= mx -my+= 4l;DX+Dy=4±.7.44.
Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами тх = —1; ох = 3; случайная величина Y — равномерно в интервале (0, 3); случайная величина Z— равномерно винтервале (-3, 0). Нормированная корреляционная матрица случайных величин X, Y, Z имеет вид111 0,5 - 0 , 2 II10,4 .ХIIIНайти математическое ожидание и дисперсию случайной величины U = 1 - 2Х + 37 - Z.Р е ш е н и е . ти =1 -2тх +3ту — mz = 9 .Du = 4Dx+9Dy+ Dz+2[(-2)3oxayrxy++ ( - 2 ) ( - l ) oxazr„ + 3 (-1) oyozryz} = 41,7 - 10,2 л/3 » 24,0.7.45. Система случайных величин (X, У) распределена равномерно в прямоугольнике R (рис.
7.45). Определить: а) М[Х + Y]; б)M[X-Y]; в) M[XY]; г) D[X+ Y]; д) ЩХ-Y};е) М[(Х - У ) 2 ] ;32ж) М[2Х + ЗУ + 1].Р е ш е н и е. тот = 1, т., —-;; £ > , = — ; £> = — ; K„ = 0 .хv21212^а)М[* + У] = т х + г о , = 1 ± ;6)M[X-Y]=B)M[XY} = mxmymx-my=\;=Л;r)D[A4-r] = D , + ^a)D[X-Y]==A;Dx+Dy=^;»ШШ0|2хРис. 7.45179е) М[(Х -Y)2}+ Dy + m 2= М[Х2} + М[У2] - ЩХ] M[Y] = Dx + m* +о-2mxmy=-;ж) M[2Z3 + ЗУ2 + 1] = 2M[X3 ] + 3M[7 2 ] + 1 = 6, так как М[Х3 ] =,27.46. При работе прибора возникают случайные неисправности; среднее число неисправностей, возникающих за единицу времени работы прибора, равно X; число неисправностей за время тработы прибора — случайная величина, распределенная по законуПуассона с параметром а = Хт. Для ликвидации неисправности(ремонта) требуется случайное время Грем; это время распределено по показательному закону:/(*) =\ie * * приОприt > О,t < 0.Времена ликвидации неисправностей независимы.Найти: а) среднюю долю времени, которую прибор будет исправно работать и среднюю долю времени, которую он будет находиться в ремонте; б) средний интервал времени между двумяпоследовательными неисправностями.Р е ш е н и е , а) Среднее время исправной работы прибора (математическое ожидание времени, которое проработает прибор после пуска до остановки для ремонта)=1i^испрN 'Среднее время ремонта=1tМ-Средняя доля времени а, которую прибор будет исправно работать:а180*испр* испр + «рем_XI + 1X[х_М<Х+ И-Аналогично средняя доля времени (3, которую прибор будет находиться в ремонте:3= 1Xа = \ + \i'б) Средний интервал времени It между двумя последовательными неисправностями_1_ 1.•* * ~~' * испр "Ь * ремXХ|л|х7.47.
В пределы прямоугольника R со сторонами а и Ь (рис.7.47)случайным образом бросается точка (X, У), все положения которой в прямоугольнике R равновероятны.Строится прямоугольник R' с вершиной вточке (Ху У). Найти математическое ожидание и дисперсию площади S R, этогопрямоугольника.Р е ш е н и е . Выберем за начало координат левый нижний угол прямоугольника, а за оси координат — его нижнююи левую стороны; тогда случайные величины Ху У независимы, и S Rf — XY.
Поэтомуabmxmv=^M[SRl] = M[XY) =7'D[SR,] = D[XY] = DXD, + m2Dy + m2yDx =_ a2b212-12{a2 b24 12|b2 a2 __ 7a2b24 121447.48. Случайная точка (X, Y) распределена на плоскости понормальному закону с круговым рассеиванием:т, =™у = 0и ах=ау=а.Случайная величина R — расстояние от точки (X, Y) до центрарассеивания. Найти математическое ожидание и дисперсию величины R.Решение.Д = л/Х2+Г2.mr=M[R] = ffJx2+y''2а21т2а'dx dy.181Переходим к полярной системе координат (г, ф):ооI—2ттУ/г2тг—2cy2еdr / dtp = a /— « 1,25 а.Я = D[£] = a 2 [#]-m r 2 =еЯ (ж + У )-^г2а*-к222 2° dx dy - т2г =Огг2тгоо_ J _= / r32ite 2°2dr I du> — o2 — =2o4oo= Zo lieat — a — — laJо—a —=aо7.49.
Событие А состоит в выпадении ровно двух гербов прибросании трех монет. Опыт, заключающийся в бросании трех монет, повторяется п раз. Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин:X — число появлений события А при п опытах;Y— частота события А при п опытах.Р е ш е н и е . Вероятность события А в одном опыте:1= 32~8'' - & )М[Х} = пр = ^ ;D[X] = np(l-p)= ^ ;У = * ; м[К] = * Ш = 3 Щ] = ±ЦХ]пп8п= £-.64п7.50.
Из урны, в которой находятся два белых шара и три черных, вынимается сразу два шара. Найти м.о. и дисперсию числапоявившихся при этом белых шаров а) непосредственно; б) пользуясь теоремами о математических ожиданиях и дисперсиях.Р е ш е н и е , а) Обозначим X — число появившихся белых шаров. Ряд распределения величины X будет182Xi012Pi0,30,6одМатематическое ожидание величины X:тх = 0 • 0,3 + 1 • 0,6 + 2 • ОД = 0,{Дисперсия величины X:Dx = a 2 [ X ] - m 2 = 1 2 -0,6 + 2 2 -ОД-0,8 2 =0,36 = —.б) Разделим мысленно опыт на два вынимания шара: первое ивторое.
ОбозначимX — число белых шаров при двух выниманиях;Хх — число белых шаров при первом вынимании;Х2 — число белых шаров при втором вынимании;2Х = Хг+Х2]4rnx=mSi+mS2=-\mXi=mX2=-]Находим Кх х через начальный момент <хг 1[Х1,Х2]=:М[Х1Х2].Построим таблицу распределения вероятностей для системы величин (Xv Х2)х2Хг01031031013101100-0 • — + 0-1 • — + 1-0- — + Ы - — = —;10101010 10DS=DX.+DT_ + 2ffM_*Ъ==.251837.51.
В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимают сразу к шаров (к < а + Ь). Найти математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров.Р е ш е н и е . Обозначим X число вынутых белых шаров;г=1где Х{ — число белых шаров, появившихся при г-м вынимании;Р(*, =0) = - ^ , Р ( * , = 1 ) = - 2 _ .а+оа+окктпчкааf^a + 6а+ ЬДля нахождения дисперсии Dx подсчитаем Dx. и KXfC..пXi_а^ — а^a + ba + b (a + b)2Находим К.Для этого, как и в предыдущей задаче, строимтаблицу распределения вероятностей для пары случайных величинXiXj0106(6-1)(а+6)(а+6-1)ab(а+6)(а+6-1)1ab(а+6)(а+6-1)а (а — 1)(а+6)(а+6-1)ИмеемКх^=М[Х{Х^-гпхтх/М[Х<Х,] = 1.Р«Х< =1)(Х ,=!))К„„.
=***'184а (а — 1)(а + Ь)(а + 6 - 1 )2(а + б)=аа—1а+Ьа+Ъ—1аб(а + 6) (а + Ъ - 1)2)Далее находим дисперсию случайной величины Xi=li<jТак как дисперсии Dx. и корреляционные моменты Кодинаковы, тоD.kDXi+2ClK^=всеkab а + Ъ — к(а + 6)2 а + Ъ-1В частном случае, когда вынимаются все шары (к — а + Ь), получаем естественный результат:га„к-а + Ьа, ZL0.7.52. Через произвольную точку А на окружности радиуса г случайным образом проводится хорда АВ (рис.
7.52), так что все ее направления одинаково вероятны. Найти среднее значение длиныхорды.Р е ш е н и е . Выразим длину хорды У в зависимости от угла Ф, который составляет хорда снаправлением радиуса в точке А. Из рис. 7.52имеемY = 2 г соэФ,гдеФ — случайная величина, которую будем считать распределенной равномерно в интервалеРис. 7.52«i,. Тогдат,/22r cos tp — d ф 4г-ктт1,27г.о7.53*. Через произвольную точку А внутри круга радиуса г проводится хорда ВС (рис.
7.53). Все положения точки А в пределахкруга одинаково вероятны. Все направления хорды ВС, характеризуемые углом Ф между нею ирадиусом, направленным в точку А, также одинаково вероятны. Найти среднюю длину хорды ВС.Р е ш е н и е . Длину хорды D выразим черезкоординаты точки А (X, У") и угол Ф:D = 2л/г2 - Я 2 = 2д/г2 -(X2+У2)8ш2Ф,Рис. 7.53185где Я = л1х2 + Y2 в т Ф — перпендикуляр, опущенный из центракруга на хорду ВС.
Так как точка (X, Y) равномерно распределена вкруге if радиуса г, а угол Ф можно считать равномерно распределен( тс ^ным в интервале 0; — , причем точка (Х} Y) и угол Ф независимы, топлотность распределения системы (X, У, Ф) естьприх2 + у2 < г 2 ,прих 2 + 2/2 > г20 < ф < - ,тс ттг0илиф£|0,-.Поэтому2т.2 2ТС ГI dp J J 2-у г 2 — (я 2 + у 2 ) sin 2 ф dx dy.0/ГПереходим к полярным координатам (р, -ф):2тА =2^2тс г02г00rs3/1(I - cos63 у)16г3sin фЗтсл•/dpТСГ2тт/ dp / с?ф I -у/г2 — р 2 sin 2 cpp dp =о1,70 г.7.54*.
Найти среднее значение длины хорды Б С ( р и с . 7.54), проведенной через точку А внутри круга, находящуюся на расстоянииL от центра круга радиуса г, причем все направления этой хорды одинаково вероятны.Р е ш е н и е . Хорда ВС выражается следуюО^л^Сщим образом через величины L, ф, г:BC =Если длину хордыБ С считать случайной величиной X, тоРис. 7.54Jгде А;1862rJl-^jsm24>.1Y2rjl-|-lг)sin 2 ф dtp = — I <sjl — к2 sin 2 ф dp,Полученный интеграл представляет собой полный эллиптичетм с модулем к; его значения можно найти вский интеграл Е (\к, —v £)справочниках. Например, при к — - интеграл Е \-, — = 1,4675 итх «1,87г.Так как полный эллиптический интеграл Е \к, — изменяетсяот — (при к = 0) до 1 (при &= 1), то средняя длина хорды тх будетпринимать значения от 2г (при А;=0, т.е.
для точки А в центре4круга) до — г (при L = г, т.е. для точек А на окружности).7.55*. Техническое устройство состоит из п узлов. Каждыйузел может выходить из строя независимо от других. Время исправной работы г-го узла распределено по показательному законус параметром Х-:/ . • ( * )=X-e~v0припри£>0,t < 0.Каждый узел, оказавшийся неисправным, немедленно заменяется новым и поступает в ремонт. Ремонт г-го узла продолжаетсяслучайное время, распределенное по показательному закону с параметром |лг:Ф .(0 = Ье""[0при*>0'приt<0.Устройство работает в течение времени т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
