Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В силу независимости величин a, (3,Б эта формула принимает видк.ху(ах) (dY) а2 + ЭХ]дБ J{*> Iда.) Ада42TOiак =4tg ma sec то0 — tg т 3 sec m aт6 Б=f—1< + (tgma(tgma + t g m 3 )=-ст к+tgm3)sinm„ cos m.sin m з cos m 3 2tg m a-< +•4sin (m a + m 3 )(tgroe + t g m 3 ) 22ОтсюдаAT,zy«V^yПри m a = m p это выражение можно упростить:2 a | sin2 m a cos2 m a_(2a Б sin m a c o sraaH-aaraB)7.70. Для определения расстояния R от точки if до начала координат можно применить два способа:1) определить расстояния X и Y до осей координат и затем найти R по формуле R = v ^ 2 + Y2;2) измерить только расстояние Y до оси абсцисс и угол a(рис. 7.70), затем найти R по формуле R =.cos aКакой способ приведет к меньшей погрешности, если расстояния X и Y и угол а определяются с независимыми друг от друга ошибками,причемсредниеквадратическиеотклонения ошибок Х} Y равны ох =оу, аошибки в угле — a a ?Привести численный расчет для значенийсредних квадратических ошибок ох = оу = 1 [м],аа = 1 ° = 0,0174 [рад] при средних значениях паРис.
7.70раметров, равных тх = 100 [м]; ту = 6 0 [м];m„1,03 [рад].m a =arctgяг.Решение.адi)M=__z2022+у2#2/V^TT72x~(Diffl = i2л,2 ,{x +ydycos aDji?]:cos a ;2,\Gl2 i[X +У ))5aл*l + i=ay5<*i =<j .cos2 a< +2/2tgVcos2 aCTa ><^2,; °2 ><VПервый способ дает большую точность.Для числовых данных задачи:CTi =°у =1[м];1+10060I 2 + 6 0 2 №\I 60 '-0,01742 = 3,90[м].7.71. Система трех случайных величин X, Y, Z имеет математические ожидания т х = 10; т — 5; то2 = 3 , средние квадратические отклонения сг^. = 0,1; ау = 0,06; ог = 0,08 и нормированнуюкорреляционную матрицу10,71-0,30,61Пользуясь методом линеаризации, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величиныЗХ2+1U=-2Y + 2Z23-100 + 1 301 _пР е ш е н и е .
т„ === 7.25 + 2-943дидх6х2y +2z2'(ди_[дхдиду6 1043(ди)[dz)(Зх2 + 1) 2у{у2 +2z2)2'11,40;ди^д\ У)тдиdz(3s 2 + 1) 4z(y2+2z2)2'301•10= -1,63;(43)2301 • 12= -1,95;(43)2203D[U] = l,402 -ОД2 + 1,632 -0,062 + 1,952 -0,082 ++2[-l,40 • 1,63 • 0,7 • 0,1 • 0,06 + 1,40 • 1,95 • 0,3 • 0,1 • 0,08 ++1,63 • 1,95 • 0,6 • 0,06 • 0,08] » 0,066;<JU «0,26.7.72. Производится параллельное соединение двух выбранныхнаугад сопротивлений R{ и R2. Номинальное значение каждого сопротивления одинаково и равно т =тг =900 [Ом].
Максимальная ошибка в R при изготовлении сопротивлений равна 1 %номинального значения. Определить методом линеаризации номинальное значение сопротивления такого соединения и его среднее квадратическое отклонение.Р е ш е н и е . R ~1Г11Г = * № ' ^,;900-900Л,кпГГк 1тг — ф (гаг , тг ) =гYVг2 iг2 /= 450 Юм.9 0 ( )1+900<Jr = a r =1<9ф5r2L9 0 ( )Qfr.J,= 3 Ом.3 100<9ф4l iL2 Сi=l9фdr.1 У!^ГaJ = Г [ 0 482 .
m1_4;a r «1,06 [Ом].При этом максимальная ошибка будет 3,2 Ом, что составляет0,7 % (а не 1 %, как было первоначально) от номинала.7.73. Резонансная частота колебательного контура/ р определяется из выражения2-KJLC*где L — индуктивность контура; С— емкость контура.Определить приближенно среднее значение резонансной частоты контура и ее среднее квадратическое отклонение, еслит{ = 50 [мкГн]; тс =200 [пФ]; ot = 0,5 [мкГн] и сгс = 1,5 [пФ].1,59 [МГц].Р е ш е н и е , m,2ъ^т1 га.204(9L)1/di2 к^тс ymf -2= то ff2m,1dc(df0)2•'P2-Kjm^ifnl,f5/Df<*? +221•-hлGc =mf5caz= m,/p-2c22m.2 1Ч 22 + —2то,mc,2то|р .
i ( 0 , 0 1 + 0 , 0 0 7 5 ) - m | p g ] •10"oJp=mff.^.Ю-'Й^О.Ю-ММГЦ],что составляет 0,62 % от номинальной частоты.7.74*. Доказать, что если Х х , Х2, ..., Хп независимы, положительны и одинаково распределены, тоМг=1Я=1Р е ш е н и е . Так как все величины Хх, Х 2 , ..., Х п положительны, то в знаменателе никогда не стоит нуль. По теореме сложенияматематических ожиданий имеемкМхпк мпЕ < /£*; = £ *« /£*,г=1j=lг=1[я*Так как все величины Xlt X2,..., Хп распределены одинаково, тоМ х*/EXJМхт/Т,х>м-при любых г и т . Обозначим а их общее значение:Мх* /Е*>= а(г = 1,2, .
. . , п ) .205Вместе с тем ясно, что сумма всех величин вида Х{ / £ - У j равi=iна единице, следовательно, и математическое ожидание ее тожеравно единице:М£*.-/£** = £ мг=11.г=1Заменяя выражение, стоящее под знаком математическогоожидания, через а, имеем £ а = па = 1, откуда а = —. Следоваг=1тельно,ММ£**•/£*.х* /£*>=Е1*=1j=iчто и требовалось доказать.г=1ппГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
ПРЕДЕЛЬНЫЕТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙЕсли X — непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), а случайная величина У связана с нею функциональной зависимостьюY = v(X),где tp — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента X, то плотность распределения случайнойвеличины У выражается формулой9(У) =КШ№(У)\,где ф — функция, обратная по отношению к ф.Если ф — функция немонотонная, то обратная функция неоднозначна,и плотность распределения случайной величины определяется в видесуммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном у) имеетобратная функция:<к») = £/(*,(»))№ MI.г=1где-ф^у), ф 2 (у), ..., ^ ( т / ) — значения обратной функции для данного у.Для функции нескольких случайных величин удобнее искать не плотность распределения, а функцию распределения.
В частности, для функции двух аргументовфункция распределения вычисляется по формулеG = (z)fff(x,y)dxdy,D(z)где/(а;, у) — плотность распределения системы (X, Y); D(z) — область наплоскости хОу, для которой ф(ж, у) < z.207Плотность распределения g(z) определяется дифференцированиемG(z):g(z) = G'(z).Плотность распределения суммы двух случайных величинZ =X +Yвыражается любой из формул0000g{z)= J f(x,z-x)dx,g(z)= J— OOf(z-y,y)dy,—00где/(х, у) — плотность распределения системы (X, У).В частности, когда случайные величины X, У независимы,/(х,у) = £{х)/2{у),то009(z)= Jfl{x)f2(z-x)dx—ооИЛИоо9{z)= f fi(z - УШУ) dy,— 00В этом случае закон распределения суммы д(х) называется композицией законов распределения слагаемых fx(x),f2(y).Если случайные величины, подчиненные нормальному закону, подвергать любому линейному преобразованию, то будут получаться сноваслучайные величины, распределенные нормально.В частности, если случайная величина X распределена нормально спараметрами тпх, ох, то случайная величинаY = аХ + Ь(где а, Ь — неслучайны) распределена нормально с параметрами тпу == атпх+ 6; ау = | а К При композиции двух нормальных законов: /г(х) с параметрамитпх, ох и f2(y) с параметрами тпу , ау получается снова нормальный законс параметрамиПри сложении двух нормально распределенных случайных величинХу Ус параметрами тпх1 ох, гпу, оу и коэффициентом корреляции г^ полу-208чается случайная величина Z, также распределенная нормально, с параметрамиmz=mx+ my;а = ^о\ + о] + 2гща хст у .Линейная функция от нескольких независимых нормально распределенных случайных величин Хг, Х3, ..., Хпi =1где aif b — неслучайные коэффициенты, также имеет нормальный законраспределения с параметрамигаi=\V i =1гдега^, а^ — параметры случайной величиныX t (г = 1, ..., п).В случае, когда аргументы Хг,Х2 •.
•, Хп коррелированы, закон распределения линейной функции остается нормальным, но с параметрамипVi=ii<jгде rx.x. — коэффициент корреляции величин Х{, Xj(i = 1, ..., n; j' ^ г).Композицией двух нормальных законов на плоскости называют законраспределения случайного вектора с составляющимиХ = Хг + Х2; Г = ^ + У 2 ,где(Х1? Yl),(X2l У2) — случайные векторы, не коррелированные междусобой (г_ _ = г_ „ = г„ _ = г„ „ = 0).При композиции двух нормальных законов на плоскости получаютснова нормальный закон с параметрамитх=шх,+mmx2;** = >/< + <*'^ху2,а=т+У1ту2;» = V a »i + C J 5.
;X\V \ ~*~*2У2'откудагДху=сто"У 1 + г*2У2 сг2 аУ21У1 д1хПри проектировании случайной точки (X, Y), распределенной наплоскости по нормальному закону, на ось Oz, проходящую через центр209рассеивания и составляющую угол а с осью Ох, получается случайнаяточка Z, распределенная по нормальному закону с параметрамиmz = тх cos a 4- ту sin а;oz ^ а2cos2 а + а 2 sin2 а + r^oxaysin 2 а .Характеристической функцией случайной величины X называетсяфункцияд(£)=М[е*х],где г = V-1 — мнимая единица.Для дискретной случайной величины X9{t) =-£e^pk,гдер Л = Р(Х=х*)(^ = 1,..., п).Для непрерывной случайной величинысоfe~u*f(x)dx,g(t)=— ООгде }{х) — плотность распределения случайной величины X.Отметим, что д (0) = 1 и | д (t) \ < 1 для любого LПлотность распределения Дх) выражается через g(t) формулой2 тсJЕсли случайные величины X и У связаны соотношением У = аХ, гдеа — неслучайный множитель, то их характеристические функции связанысоотношением9y(t) = 9x(at)Если случайная величина У представляет собой сумму независимыхслучайных величину = £**.то*,(') = fU*(*)'Jfc=lт.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
