Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 30
Текст из файла (страница 30)
8.14).Математическое ожидание смешанной случайной величины YравноРис. 8.14™у = 1 - P i + JyF'(y)dy— OO= Jf(x)dx+Jyf{y)dy.—001Дисперсия случайной величины У равна00Dy =*2{Y]-m2y1=ff(x)dx+fy2f(y)dy-m2y.8.15. Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения /(х).
Найти закон распределения случайнойвеличины+1 при X > О,Y = sgnX = \ О при Х = 0,- 1 при X < Ои ее числовые характеристики.219Р е ш е н и е . Дискретная случайная величина У имеет всего двазначения: минус единица и плюс единица (вероятность того, чтоУ = О, равна нулю).оР(У = - 1 ) = Р(Х < 0) = ff(x)dx = F(0);-ооооР(У = +1) = Р(Х > 0) - Jf(x)dx = 1 - F(0);ту = - 1 • F(0) + 1 • [1 - F(0)] = 1 - 2F(0);a 2 [y] = l .
F ( 0 ) + b [ l - F ( 0 ) ] = l;2Dy =a2[Y]-my=1-1+ 4F(0) - 4[F(0)]2 = 4F(0)[1 - F(0)].8.16. Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f(x). Найти закон распределения случайнойвеличиныУ = тт{Х,Х2},/2/=*22/=жт.е. величины, которая равна Ху еслиХ<Х2,иХ2,еслиХ2 < ХР е ш е н и е . Функция у = у(х) монотонна (рис. 8.16)ф(х):Гх2прия €(0,1),яприх qL (0, 1).1Рис.
8.16Так как интервал (0, 1) оси Ох отображается на интервал (0, 1) оси Оу, топо общему правилуд(у)f{4v)A= ПРИ »€(М),/(У)приу £(0,1).8.17. Случайная величина X имеетплотность распределения f(x), заданнуюграфиком (рис. 8.17). Случайная величина У связана с X зависимостьюУ = 1 — X2. Найти плотность распределения случайной величины У.Р е ш е н и е . Плотность f(x) даетсяфункцией220пригге(-1, + 1).2Функция t/ = 1 — х на этом участке не монотонна; обратнаяфункция имеет два значения:ОтсюдаР(У) = —=i—[(1 - Vi^lT) + (i + V^^V)]илиg(y) = —==при0<у<1.8.18.
Случайная величина X распределена по закону с плотностью f(x). Найти плотность распределения обратной ей случайнойвеличины Y = —.XР е ш е н и е . Функция у = — хотя и не монотонна в обычномхсмысле слова (при х = О она скачком возрастает от -оо до оо), нообратная функция однозначна, значит, задача может быть решенатак, как она решается для монотонных функций:g(y) = fSi[у)„.2при тех значениях у, которые могут быть обратными заданной совокупности возможных значений х.8.19. Натуральный логарифм некоторой случайной величиныJ распределен по нормальному закону с центром рассеивания т исредним квадратическим отклонением а. Найти плотность распределения величины X.Р е ш е н и е .
Обозначим нормально распределенную величинучерез U. Имеем(и-т)2U = lnX-uX =e;f(u) = —^—e*°2 .av2-KиФункция е монотонна;221-(Ь 22a'g(x) =ОУ/ZK-(lnx-m)2a 21.XXG л/2кприx > 0.Такое распределение величины X называется логнормальным.8.20. Пятно П, изображающее объект на круглом экране радиолокатора, может занимать на нем произвольное положение(рис.
8.20), причем плотность распределениякоординат (X, Y) пятна в пределах экрана постоянна. Радиус экрана равен г0. Найти плотность распределения расстояния R от пятна доцентра экрана.Р е ш е н и е . Найдем функцию распределенияРис*8'20G(r) = P(R<r)= P((X, Y)G Кт),где Кг— круг радиуса г с центром в точке О. Так как в пределах экранаплотность распределения постоянна, то вероятность попадания вкруг равна его относительной площади2( ^2тггG(r) =г-КГПоткуда2гд(г) = G'(r) = —при0 < г < г08.21.
Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, 1). Случайная величина У связана с X монотонно возрастающей функциональной зависимостью Y == Ф ( Х ) .Найти функцию распределения G(y) и плотность распределения д(у) случайной величины Y.Р е ш е н и е . Имеем f(x) = 1 при х е (0,1).Обозначим я|;(г/) функцию, обратную по отношению к функцииу = ф(х). Так как ср(х) монотонно возрастает, то0(y) = /Mv)W'(v) = V(y),откуда G(y) = ty(y), т.
е. искомая функция распределения есть обратная по отношению к функции ф (в области возможных значений величины Y).8.22. Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (0, 1), чтобы получить случайную величину У, распределенную по показательному законуд(у) = \е-Ху(приг/>0)?222Р е ш е н и е .
На основании решения предыдущей задачи мыдолжны положить 7 = Ф(Х), где ф — функция, обратная требуемой функции распределения G(y) случайной величины Y. ИмеемУG(y) = J\e-Xydyоl-e~Xy.=Полагая в этом уравнении 1 — е~Ху = х и разрешая его относительно у, получимУ = --1п(1-х),Лоткуда искомая зависимость будет7 = --1п(1-Х),0<Х<1.8.23*. Имеются две случайные величины; Хс плотностью Д (x)и 7с плотностью / 2 (у). Известно, что величина У представляет собой монотонно возрастающую функцию величины X: Y = y(X).Найти вид функции ф.Р е ш е н и е .
Введем в рассмотрение, кроме плотностей fx{x\/ 2 (у), функции распределенияхуF1(x)= ff^dx;F2(y)=—ООJf2(y)dy.—00Представим случайную величину X как функцию от 7:X = ч>~г(У), где ф~ — функция, обратная по отношению к искомой ф.Применяя обычный способ нахождения функции распределения монотонной функции, находимВД=ff2(y)dy= F2(4>(x)).—ооРазрешая это уравнение относительно ф(ж) и вводя функциюF^1, обратную функции F 2 , получим4>(x)= F-1(F1(x))или, возвращаясь к случайным величинам,Y =F-\F1(X)).Полученная формула определяет функцию ф(гг) только в техинтервалах, где плотность /г (х) отлична от нуля.2238.24.
Случайная величина X распределена по показательномузакону:/г(х) = \е-Хх(х>0)Каким функциональным преобразованием можно превратитьее в случайную величину У, распределенную по закону Коши:1ЛЫ = -°ir(l + 2/2)Р е ш е н и е. Fx (х) = 1 — "еXlЗД)(*>0);arctg у + —Полагая во втором уравненииarctg у +7Ги и разрешая егоотносительно у, найдем обратную функцию F2 l (и):у = JP2~1(W) = tg пш= — ctg-ки.По решению предыдущей задачи получимY = F " 1 ^ ^ ) ) = - c t g * ( l - e~ x;r ) = ctgTie- xx(X > 0).8.25*. Решить ту же задачу, что и 8.23, но при условии, что связывающая две случайные величины функция ср должна быть немонотонно возрастающей, а монотонно убывающей.Р е ш е н и е . В тех же обозначениях, что в задаче 8.23, имеемоо1X = 4>- (X),F1{x)=ff2(y)dy=l-F2[4>(x)},ф(х)откуда4>(x)= F;1[l-F(x)]И Y =F-1[1-F1(X)\.8.26. Двое условились встретиться в определенном месте впромежутке времени от 12.00 до 13.00.
Каждый из них приходитна место встречи независимо от другого и с постоянной плотностью вероятности в любой момент назначенного промежутка.Пришедший раньше ожидает другого. Найти распределение вероятностей времени ожидания и вероятность того, что ожиданиепродлится не менее получаса.Р е ш е н и е .
Обозначим моменты прихода двух лиц Тг иГ 2 ; заначало отсчета времени примем 12 ч. Тогда каждая из независи224мых случайных величин Тг, Т2 распределена с постоянной плотностью в промежутке (0, 1). Случайная величина Т — время ожидания г =1:71 - Ti\Найдем функцию распределения G(t) h\этой величины. Выделим на плоскости tx0t2область D(t), в которой |^ -t2\<t(заштрихованная область на рис. 8.26).Функция распределения G(t) в данномслучае равна площади этой области:G(t) = l-(l~t)2=t(2-t),откуда g(t) = 1 - (2 - t) при 0 < t < 1.Р\Т>1)= 1 - G | - | = 0,25.2)8.27. Случайная точка (X, У) распределена равномерно в квадрате К со стороной 1 (рис.
8.27, а). Найти закон распределенияплощади S прямоугольника R со сторонами X, Y.Р е ш е н и е . Выделим на плоскости хОу область D(s), в пределах которой ху < s (рис. 8.27, б).xy=sРис. 8.27Функция распределения в данном случае равна площади области D(s)1G(s) = 1 - JD(s)1fdxdy = 1 - Jdxjdys= 5(1 - Ins).±xОтсюдаg(s) = G'(s) = - I n 5 при 0 < s < 1.8.28. Система случайных величин (X, Y) имеет плотностьраспределения f(x, у). Найти плотность распределения g(z) их отношения Z — —.X225Р е ш е н и е .
Зададимся некоторымзначением z и построим на плоскостихОу область D(x\ где — < х (рис.8.28, заштрихованная область). Функция распределения G(z) имеет вид%/G(z) = Jjf{x,y)dxdyРис. 8.28=D(z)ОООооZXОО= Jdxjf(x)у) dy + Jdxjf(x,y)dy.Дифференцируя по z, имеемиооg(z) = — I xf(x, zx) dx + I xf(x, zx)dx.О-ооЕсли случайные величины^, Y независимы, тоО9(z) = -fооxfi (*)/2 (zx) dx + J xfx (x)f2 (zx) dx.8.29. Найти закон распределения отношения Z = — двух незаЛ.висимых нормально распределенных случайных величин X, Y схарактеристиками тх = ту = О, а х и <ту.Р е ш е н и е .
Рассмотрим сначала частный случайа х =оу == 1. На основании предыдущей задачи0--±(^л-«К*\оa(z) = — / х—еWJ 2тГ2тг-V'-Ul+z?)21^2 ,dx + I х—е^xdx =22 2чЙХ :2тгTV(1 + * 2 )(закон Коши).YВ общем случае отношение Z = — можно представить в виXa YXYде Z = —— ——, где величины Хг = — и У^ = — имеют уже нор°* Хгохоумальные распределения с дисперсией, равной 1; поэтому в общемслучае2269(z)ТГ1+В частном случае, если ах = а , получим9{*) =1•к(1 + 2 2 )8.30.
Случайная точка (X, У) распределена равномерно в кругеК радиуса 1. Найти закон распределения случайной величины2=1.XР е ш е н и е . В данном случае G(z) естьотносительная площадь областиD(z)(рис. 8.30):ед = . arctg z H—ТГоткуда(закон Коши).g(z) = G'(z) = .Рис. 8.308.31. Составить композицию двух показательных законовА(*г)\\e~XlXl0приприхг > 0,хг < 0,\2е~х^20приприх2 > 0 ,х2 < 0.ЛО^НР е ш е н и е . Обозначим X = Хг + Х2, где Х х , Х 2 распределены по законам Д ( ^ ) , / 2 (х2).Согласно общей формуле для композиции законов распределенияНо в нашем случае оба закона отличны от нуля только при положительном значении аргумента; значит, /г(хг) = 0 при хх < 0 и при}2(х - хх) = 0при хх > ж.227При х > 0 получимхд{х) = J \e-XiXi\\2e~^\2e-^x~Xl), (v .
X l „11dxx_X1X2(e-x'I-e-V)-1]X 2 - Xj\X2 -(обобщенный закон Эрланга 1-го порядка).При Хх = Х 2 = X, раскрыв неопределенность, получим законЭрланга 1 -го порядка:д(х) = \2хе~Ххприх > 0.П р и м е ч а н и е . Методом математической индукции можно доказать, что закон распределения суммы п независимых случайных величин,Хг,..., Хп, подчиненных показательным законам распределения с различными параметрами \,..., Хп, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
