Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Дискретные случайные величиныХ г ,Х 2 , .-.,Хп независимы и распределены по законам Пуассона с параметрамипCti j t i n j • • • ^ (Xr _ . Показать, что их сумма Y = ^Х{также подчиненаг=1пзакону Пуассона с параметром а == V ^ .г=1Р е ш е н и е . Докажем сначала, что сумма двух случайных величин Хх и Х2 подчинена закону Пуассона, для чего найдем вероятность того, чтоХг + X2 = m (га = 0,1, 2, ... ):тР(Хг + Х2=т)= J2P(XX = к) Р(Х2 = го - Jfc) =т„кат-к(m-k)\-еh k\учитывая, что Ст —, представим это выражение в видек\(т — к)\-усктакха™-к*га!$^-(fll+fl2)e-<"+4га!а это есть распределение Пуассона с параметром ах + а2.Таким образом доказано, что сумма двух независимых случайных величин, подчиненных законам Пуассона, тоже подчиняетсязакону Пуассона. Распространение этого результата на любоечисло слагаемых производится по индукции.8.43. Система случайных величин (X, Y) распределена по нормальному закону с характеристиками тх, туУох,оу и г ^ .
Случайные величины (U, V) связаны с (X, Y) зависимостьюU = aX + bY + c; V = kX + lY + m.236Найти закон распределения системы случайных величин (U, V).О т в е т . Система (17, V) распределена нормально с характеристикамити —атх +bmv + c ;т. = ктх Л-1ту + га;<*v = Jk2o2x+l2o2y+2kloxoyrxy;ak a 2 + Ы a 2 + (bfc + a/) <vxyraг=cr„a,8.44. Самолет-бомбардировщик производит бомбометание по полосовой цели шириныЬ = 40 м, заходя на нее под углом 30° по отношению к направлению полосы (рис.
8.44). Координаты точки попадания распределены понормальному закону; главные оси рассеивания — направление полета и перпендикулярное к нему; начало координат на средней линии полосы. В этой системе координат хОупараметры нормального закона тх= 10[м];т , = 0;стх=50[м];<ту =25[м].Найти вероятность р попадания в полосупри сбрасывании одной бомбы.Р е ш е н и е . Проецируем рассеивание наось Oz} перпендикулярную к полосе:га,= 10-сов60°=5[м];^/a2 sin2 60°+ст2 sin2 60° = ^502 -0,25 + 2 5 2 -0,75 « 33,1 [м];ф*[ 2 0 - 5 ' _ Ф* ' - 2 0 - 5 '; ззд,, 33,1 i| 0,450.8.45.
Цех завода выпускает шарики для подшипников. За смену производится п = 10 000 шариков. Вероятность того, что одиншарик окажется дефектным, равна 0,05. Причины дефектов дляотдельных шариков независимы. Продукция проходит контрольсразу после изготовления, причем дефектные шарики бракуютсяи ссыпаются в бункер, а небракованные отправляются в цех сборки. Определить, на какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0,99 после смены он не оказался переполненным.237Р е ш е н и е . Число забракованных шариков X имеет биномиальное распределение; так как п велико, то на основании центральной предельной теоремы можно считать распределение приблизительно нормальным с характеристиками:тх =пр = 10 000 • 0,05 = 500;Dx = npq = 500 • 0,95 = 475; ох « 21,8.Находим такое значение /, для которого Р(Х < I) — 0,99, илиф*{1-тА»Л/-500^= ф*21,8= 0,99.По таблицам функции Ф* (х) находимZ-500: 2,33, откуда I « 551,21,8т.е.
бункер, рассчитанный примерно на 550 шариков, с вероятностью 0,99 за смену переполняться не будет.8.46. Условия задачи 8.45 изменены в том отношении, что причины брака являются в значительной степени общими для различных шариков, так что вероятность одному шарику, изготовленному в течение данной смены, быть дефектным, при условии,что другой (любой) шарик уже был дефектным, равна 0,08.П р и м е ч а н и е . Число опытов (гг = 10000) считать достаточнобольшим для того, чтобы, несмотря на зависимость опытов, закон распределения суммарного числа дефектных шариков был приближеннонормальным.Р е ш е н и е .
Рассмотрим случайную величину X — общее число забракованных (дефектных) шариков — как сумму п = 10 000слагаемых:10 000*=Е*<г=1где величина Х{ принимает значение 1, если шарик дефектный, и 0 —если не дефектный. Имеемтх =Пр = 10 000 • 0,05 = 500;10 000i=li<j= 475 + 2С* ШКХ(Х. = 475 + 10 000 • 9999 KX(Cj,где К238— корреляционный момент случайных величин Х{, Xj.НайдемТак как произведение X • X ^ принимает только два значения: 1(при Х{ = 1, Х3;= 1) и 0 (в остальных случаях), тоМ[Х,Х^= 1 -Р((Х.
= l)(Xj =1) = 0,05-0,08 = 0,004иК= 0,004 - 0,05 • 0,05 = 0,0015,откудаDx « 475 + 15 • 104 » 15,05 • 10 4 , ох » 388.Далее находим Z из условияф * [ Ь ^ ) = 0,99; L l ^I 388 J388= 2,33;/ = 1404,т.е. бункера, рассчитанного примерно на 1400 шариков, будет достаточно (с вероятностью 0,99) для бракованной продукции за смену.8.47*.
Лотерея организована следующим образом. Участникампродаются билеты, на каждом из которых имеется таблица с номерами: 1, 2,..., 90. Участник должен выбрать произвольным образомпять различных номеров, отметить эти номера и послать билет организаторам лотереи, которые хранят все присланные билеты в запечатанном виде до дня розыгрыша. Розыгрыш лотереи состоит втом, что случайным образом выбираются (разыгрываются) пятьразличных номеров из девяноста; выпавшие номера сообщаютсяучастникам. Если у игрока совпали с объявленными менее двухномеров (0 или 1), он никакого выигрыша не получает.
Если совпали с объявленными два номера, он выигрывает 1 руб.; если триномера — 100 руб.; если четыре номера — 10 000 руб.; если все пятьномеров - 1 000 000 руб.1) Определить нижнюю границу цены билета, при котором лотерея в среднем еще не приносит убытка ее организаторам;2) определить средний доход М, который приносит лотерея организаторам, если в ней участвуют 1 000 000 человек, назначающих свои номера независимо один от другого, каждый покупаетодин билет, а цена билета 30 коп.;3) пользуясь «правилом трех сигма», найти границы практически возможных выплат по лотерее; можно ли считать суммарнуювыплату по лотерее распределенной по нормальному закону?239Р е ш е н и е .
1) Обозначим р{вероятность того, что из пяти названных игроком номеров ровно г совпадут с выпавшими. НаходимР 2 = ^«2,25-Ю- 2 ;6P 4 = -^ ^^r«L9«,^6677- -Ю1 0- - ;Р з=^«8,12.10-4;р 5 =р-5=-\^-«2,28-10-'90^90Минимальная цена билета должна быть равна математическому ожиданию выигрыша игрока, купившего этот билет:т = 2,25 • 10"2 • 1 + 8,12 • 10~4 • 102 + 9,67 • 10~6 • 104 ++ 2,28 • 1(Г8 • 106 = 22,3 • 10"2 [руб.],т.е.
минимальная цена билета — около 23 коп.2) М = (0,30 - 0,223) • 106 = 77 • 103 [руб.].3) Общая сумма выигрышей Ху которая подлежит выплате полотерее, представляет собой сумму выигрышей отдельных игроков:1000000х= г=1£*<•где Х{ — выигрыш г-го игрока.Считается, что игроки называют свои номера независимо другот друга, так что величины Х{ (г = 1, 2,..., 1 000 000) независимы.Из центральной предельной теоремы известно, что сумма достаточно большого числа независимых одинаково распределенныхслучайных величин приближенно распределена по нормальномузакону.
Требуется выяснить, достаточно ли в данном случае числаслагаемых п = 1 000 000 для того, чтобы величину X можно былосчитать распределенной нормально?Находим математическое ожидание тх и среднее квадратическое отклонение ох случайной величины X. Для любого г — 1, ...,1 000 000тх. = 22,3-10"2 =0,223;а2[Х{] = 2,25 • 10"2 + 8,12 + 9,67 • 102 + 2,28 • 104 = 2,38 • 10 4 ;DX{ = 2,38 • 104 - 0,222 = 2,38 • 10 4 .Отсюдатх = 1 0 6 -тх.
=2,23-10 5 ;240Dx = 106 • DXi = 2,38 • 1010; ax = Ю 5 .Д38 » 1,54 • 10 5 .Известно, что для случайной величины Х> распределенной понормальному закону, границы практически возможных значенийзаключены между тх ±3ах («правило трех сигма»).В нашем случае нижняя граница возможных значений случайной величины Ху если бы она была распределена по нормальномузакону, была бы тх - Зах = (2,23 - 3 • 1,54) • 105 = -2,39 • 10 5 .Отрицательное значение этой границы указывает на то, чтослучайная величина X не может считаться распределенной нормально.8.48*. Найти предел lim У^м о оыгное число.о !Р е ш е н и е . Выражение V^е а, где а — целое положитель-еаесть вероятность того, чтослучайная величина Ху распределенная по закону Пуассона, непревзойдет своего математического ожидания а.
Но при неограниченном увеличении параметра а закон Пуассона приближается к нормальному. Для нормального закона вероятность того,что случайная величина не превзойдет своего математическогоатожидания, равна 1/2, значит, lim У^-Iе~а = - .8.49. Доказать, что показательный закон распределения является устойчивым по отношению к операции нахождения минимума, т.е. если случайные величины Хг,Х2, ..., Хп независимыи подчинены показательным законам распределения с параметрами Х15 Х 2 ,..., Хп соответственно, то случайная величина Z == min{X1, Х 2 , . .
. , Хп } также подчинена показательному закону,ппричем параметр этого закона X = У^Х г .г=1Р е ш е н и е . На основании решения задачи 8.34 функция распределения случайной величины Z:пXiZG(z) = l~Y[e~= l - e <-* ,а это есть функция распределения показательного закона с параметпромХ — У^Х^.г=12418.50. Независимые случайные величины Хг,Х2, ... распределены одинаково по показательному закону с параметром X:/(х) = Хе"Хх(х>0).Рассматривается сумма случайного числа таких величин:где случайная величина У распределена по сдвинутому на единицузакону Паскаля (см.
задачу 5.15):Рп =P(Y = n) = pqn-1( 0 < р < 1 ; п = 1, 2, . . . ) .Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины Z.Р е ш е н и е . Сумма фиксированного числа п случайных велипчин ^ T ^ i подчинена закону Эрланга (п— 1)-го порядка (см. задачу 8.31) с плотностьюХ(ХхГ/<">(*)="Vх* (х>0).WV}(n-1)!Плотность распределения случайной величины Z находим поформуле полной вероятности с гипотезами Hn(Y = п):п=1= p\e-X2f2^^n=i\Пп=1*)-= рХе-х*ех** = p\e~Xpz{z > 0),*'т. е. случайная величина Z будет также подчинена показательномузакону, но с параметром \р.
Следовательно,1\р'1п*22^ 2\Р8.51*. Рассматривается сумма случайного числа случайныхслагаемых* = £*«,где Xv Х2У ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью /(ж), Y — положитель242ная, не зависящая от них целочисленная случайная величина сзаконом распределения Р(У = п) = Рп (п = 1,2, ..., N).Требуется найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины Z.Р е ш е н и е . Допустим, что случайная величина Y принялазначение п (п = 1, 2, ..., N).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
