Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найти плотностьраспределения /(х, t) сечения случайной функции X(t) и ее характеристики тх(t), Dx(t), Кх(«, t').О т в е т , /(х, t) — нормальный закон с параметрамиmvt + b;\t\ov:[x-(mvt+b)]22t2a2v/(*,*)=•\г\оул/2гкmx(t) = mvt + bi Dx{t) = t2o2v-Kx(t,t')=o\tt'.9.4.
Показать, что любая функция двух аргументов вида]Г^ФД0ФЛО,1=1270(9-4)где Д — неотрицательные числа; у. (t) — любые действительныефункции (г = 1,..., п), обладает всеми свойствами корреляционнойфункции.Р е ш е н и е . Достаточно показать, что существует случайнаяфункция X(t), имеющая корреляционную функцию (9.4). Рассмотрим действительную случайную функцию X(t), заданную ввиде канонического разложенияХ(«) = т,(*) + £^Ч>ЛО,2=1гдеD\V t } = Dt.Корреляционная функции этой случайной функции имеет вид1=1что и требовалось доказать.9.5. Случайная функция X(t) имеет характеристики тх (t) — 1 иКх(Ь^') = еа(*+гК Определить характеристики случайной функции Y(t) — t— + 1.
Определить, являются ли стационарнымиdtслучайные функции X(t) и Y{t).Р е ш е н и е . В силу линейности преобразования tЬ1dtK(t,tf)= U'-^Kx(t,t')=tt'*2e«(t+tf).Ни одна из случайных функций X(t) и Y(t) не является стационарной, так как их корреляционные функции зависят не только от т = t' — t, но от каждого из аргументов tf t'.9.6. Случайная функция X(t) имеет характеристики:mx(t) = 0, Ks(t,t')=-.Найти характеристики случайной функцииtY(t) = JX(t)dt.оОпределить, стационарны ли случайные функции X(t) и Y(t).271Р е ш е н и е . В силу линейности преобразованияГX(t)dtоtmy{t) = fmx(t)dt= 0,оt'ttit'Ky(t,t>) = fdtfKAt^)dt'О=f\f-J^dt =Оt= Г [arctg (*' - t) - arctg(-t)] d t =о= t arctg t + *' arctg *' -(t-tf)Случайная функцияarctg ( * - * ' ) - I In i l ± i i U ± L i .2i + (t-^)2Jf(£) стационарна [A^(£, tf) = fc^7 - £)];случайная функция У(£) = / X(t) dt нестационарна.
Действительоно, дисперсия случайной функции Dy (t) равнаDy (t) = Ку (t, t) = 2t arctg t - In (1 4-t 2 ),т.е. зависит от £9.7. Найти математическое ожидание и корреляционнуюфункцию суммы двух некоррелированных случайных функцийX(t) и Y(t) с характеристиками**,(*) = *; #,(*,*') = **';my{t) = -t-,Ky(t,t')О т в е т . ^ ( 0 = Х ( 0 + У(0;=tt'e«(t+tXrnt(t) = mx(t) + my(t) = t - * = 0;9.8. Имеется комплексная случайная функция Z(t) = Х(£) ++ г У(*),где X(t), F(£) — некоррелированные случайные функциис характеристикамиmx(t) = t2;*,(М') = е—<"'*m , ( i ) = l; А',(« > * , ) = е 2 а * ( ' + '' ) .Найти характеристики случайной функции Z(t):Kz(t,t')uDz(t).272m2(t),О т в е т . m2(t)=t2+iК2{1,1')=е~*^-1')2+е2а*{ш');D2(t)=4a= Kz(t,t) = l-he ^.9.9.
Траектория космического летательного аппарата в вертикальной плоскости изображается двумя уравнениями:X(t) = At2 +Bt + C, Y{t) = Et2 +Ft + H.Коэффициенты А, В, С, Е, F, Нявляются случайными, так какопределяются из опыта с ошибками; номинальные значения величин А> Ву ..., Я равны ау by ...у h соответственно; ошибки А А,A S , . . . , АН представляют собой случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями DA> DB,..., DH. Нормированная корреляционная матрица этих ошибокимеет вид1 0,4 -0,2 0 010,3 0 01 001 0,71000-0,20,51Определить математическое ожидание, корреляционнуюфункцию и дисперсию случайных функций V(t) и U(t)y представляющих собой горизонтальную и вертикальную составляющиескорости снаряда.Р е ш е н и е .
И з условий задачи следует, чтоV(t) = ^ ldt= 2At + B; U(t) = ^ dt= 2Et + F.Таким образом, случайные функции V(t) и U(t) представленыв виде разложений (не канонических, так как их коэффициентызависимы). Имеемmv(t) = 2at+b;m , (t) = 2rf+ / ;Kv(t,t') = ADAtt' + DB + 0,475^07(2* + 2i');Ku (t,t') = 4DEtt' + DF + 0,77P7D; (2* + 2t');Dv(t) = 4DAt2+DB+ 1,675757*;Du (t) = 4DEt2 +DF+ 2,875707*.9.10. Случайная функция X(t) имеет характеристики273mx(t) = t2-l;Kx(t,t')^2e-^'-^.Определить характеристики случайных функцийY(t) = tX(t) + t2+l;Z(t) = 2t^^dt+(l-t)2;17(0 = ^ + 1 .dt2Решение.my(t) = tmx(t) + t2 +l = t (t2 -l) + t2 +l = tz +t2 -t + 1;Ky{t,t') = tt'2e-a^'-t)2;Tnz(t) = 2 t ^ ^ - + (l-t)2=l-2tdtгК'= -а.1Ш'[(г'-*)е-+ 5t2;dtdt'о(,, 2'- ' 2а(«'-0-е-а(,'-"2] == 16att'e-a(''-*),[-2a(t'-t)2+l];При вычислении Kz(t,t')д2К (t t')?мы уже нашли, следоваdt dtтельно,KAt,t')= -^-j4ae-^'^[l-2a(t'-t)2)at at== 8а2е-а(^)2[3+4а2(^-04-12а(^-02].9.11.
Случайная функция X(t) задана выражениемX(t) — V cos (jjt,где V — случайная величина с характеристиками т v = 2; av =3.Найти характеристики случайной функции X(t): mx(t);Kx{t,t')\Dx (t).Определить, является ли случайная функция X(t) стационарной. Найти характеристики случайной функции274Y{t) = X(t)+*<%&,atгде а — неслучайная величина.Является ли стационарной случайная функция Y(t)?Решение.rnx(t) = т v cos wt = 2cosut;Kx(t>t')=Dv c o s w ^cosw t ' = 9cos ш£ cos u£ ; ;Ц,.(*) = 9со8 2 wt.Случайную функцию Y(t) можно представить в виде,., ч TrdVcos bit _. ,чY\t) — К cos UJ£ 4- a= V (cos u t - a u sm u£);отсюдаmy(t) = m v(cosu>£ — a w s i n eot) = 2(cosu)t — a ujsinwt);Кy (t, t') = 9(cosu;£ — a и sin w£)(cosw£' — a ajsinw^');^y (t) = 9(cosu>£ — a a; sin 0Л) 2 .Случайные функции X(t) и У(£) нестационарны.9.12.
Задана случайная функцияX(t) = Vie- a i ' +7 2 е" а 2 *,где Vj и F2 — некоррелированные случайные величины с характеристиками га v =m v =0; Dv , Dv . Найти характеристики случайной функции X(t).Р е ш е н и е . Случайная функция X(t) представлена каноническим разложением, следовательно,Ds(t) = DVie-2**+De'2a*.9.13.
Случайная функция X(t) задана своим каноническим разложениемЛХ0 = £ ^ е - * ' + а ,г=1где V- — центрированные случайные величины с дисперсиямиDv (г = 1,2,..., n);M[ViVj] = 0iipni ^ j ; а — неслучайная величина.275Найти характеристики случайной функции X(t).Ответ.K,(ttt')^Dve-a^+t'^,mx(t) = a;г=1Dx{t)=Y,Dne~2ait9.14. Случайная функция X{t) задана каноническим разложениемX(t) = t + V{ cos w£ + V2smut,где Vj и V2 — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и с дисперсиями Dx = D2 = 2.Определить, является ли стационарной случайная функция X(t).Р е ш е н и е . mx(t) = t\ Kx(t,t') = 2 (cos wt cos wtf ++ sin OJ £ sin u; tf) = 2 cos и (£' — t).Корреляционная функция случайной функции X(t) удовлетворяет условию стационарности, однако математическое ожиданиеmx(t) зависит от времени.
Случайная функция X(t) нестационарона, но центрированная случайная функция X(t) стационарна.9.15. Заданы две случайные функции:X(t) = Vl cos u;^ + V2 sin u)^, Y(t) = U1 cos u 2 t + U2 sin u;2t.Математические ожидания всех случайных величин Vt, V2, Uxи U2 равны нулю, дисперсии равны Dv = Dv =1;DU = Du = 4;нормированная корреляционная матрица системы (Vv V2, uv U2)имеет вид111 0 0,5 0 II1 0 -0,510I1IОпределить взаимную корреляционную функцию R (t,t') инайти значение этой функции при t = 0, t' — 1. ОпределитьRyx(t,t')Hнайти значение этой функции при t = 0; t' = 1.Решение.Rxv(t,t')= M[X(t)Y(tf)}== M[(VX cos <jjxt + V2 sin ult)(U1 cos w2t' + U2 sin u;2£7)] == cos u?1t cos u2tf MfV^C/J + cos UJ^ sin u2t' M\yxU2] ++ sin OJ ^ cos w 2t' М\У2иг ] + sin w ^ sin w 2 £ ; M[V2C/2 ] == cos Wji cos u;2£' — sin ujxt sin u 2 £ ' = cos (LJ^ + ы 2 ^ ) .276Rxy (0,1) = cos и2;Д^ДМ') = R^ (t',t) = cos ( ш / + u 2 t ) ;Ry*(0,1) = cos u x .9.16.
Имеются две некоррелированные случайные функцииX(t) и Y(t) с характеристикамиm I (*) = * 2 ; ^,(*,*') = е в 1 ( ' + ° ;m y ( t ) = l; * у ( М ' ) = е а ' ( ''-°*.Найти характеристики случайной функции Z(£) = X(£)-f tY(t) ++ t2. Решить ту же задачу, если случайные функции X(t), Y(t) коррелированы и их взаимная корреляционная функция равнаRxy(t,t') =ae-a^.Р е ш е н и е . В случае, еслиR (t,t') = 0,mz(t) = mx(t) + tmy(t) + t2 =2£ 2 +t.Kz(t,t>) = Kx(t,t')= ea^+t')+ tt'Ky(t,t')+tt'ea^'-t)2.В случае, когда.R (t, t') = ae~a'*"*', m2 (t) не меняется;Kz(t,t,)= Kx(t,tf)= e"i«+0+ ttfKy(t1tf)^t,R^(t1tf)+u'ea*lt'^)2+ tR^(t\t)=,t t+a{t^-t )e'^ '- K9.17. Случайная функция X(t) имеет характеристики mx (t) = 0;kx (T) = Dxe~a ' T '.
Найти ее спектральную плотность 5* (ш).Решение.1 °°1°°DО-оогде Re — действительная часть.9.18. Найти спектральную плотность случайной функции X(t),если ее корреляционная функция* г (т) = . 0 , е - а | т | с о в Р т .Решение.• Зт2-KJ2тгi „ - « Зт+ е2_е-< ^тRe277a2тт а 2 + ((3-ш) 2• +aa 2 + ( ( 3 + u>)2_£>,aa2+(32+u;2TT [ a 2 + ( ( 3 - u ) 2 ] [ a 2 + ( 0 + u ) 2 ] 'где Re — действительная часть.9.19. Комплексная случайная функция Z(t) задана в видеZ(t) = X{t) + iY{t),гдеМатематические ожидания всех случайных величин Vk и Uk(к— 1, 2, 3) равны нулю, а корреляционная матрица системы случайных величин (Vj, V2, V3, Uv U2, U3) имеет вид|1 0 0 1 0 Oil2 0 0-1 О3 0 0 31 О О2 О3|Найти характеристики случайной функции Z(t).О т в е т .
mz(t) = J2ake-°'kti=iKl(t,t')= Kx(t,t')iY^bke~9tt;к=\+ Ky(t,t') +i{Rxy(t',t)-Rxy(t,t%+гдеRxy(t,,t)= e-«>t'-^t -e-^'-^R,y (*>*') = е~а1'~*1*' -е-а+3e"a^-^;^ '+ 3e- a 3<- 3 3<\9.20. Рассматривается случайная функция X(t), представляющая собой число заявок, поступивших на телефонную станцию завремя t Одна из реализаций случайной функции X(t) показана нарис. 9.20, а. Поток заявок простейший с плотностью X.278П'-tбrx{t,t>)t=t'Рис. 9.20Найти закон распределения сечения случайной функции X(t)и ее характеристики тх (t), Dx (t), Кх (t, t'), rx (t, t').Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
