Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

*')•k=l*=1При выполнении различных преобразований со случайными функ­циями часто бывает удобно записывать их в комплексном виде.Комплексной случайной функцией называется случайная функция видаZ{t) = X{t) + iY{t),ггде X(t), Y{t) — действительные случайные функции.263Математическое ожидание, корреляционная функция и дисперсиякомплексной случайной функции определяются следующим образом:"»,(*) = "»,(*) + ™, (*); ад О = м [X(t) I(i%где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина;Dz{t) = ад t) = М [\Х (t)\2}.При переходе к комплексным случайным величинам и функциям не­обходимо определять дисперсию как математическое ожидание квадра­та модуля, а корреляционный момент — как математическое ожиданиепроизведения центрированной одной случайной величины на комплекснуюсопряженную центрированной другой.Каноническим разложением случайной функции X(t) называется еепредставление в видетX(t) = m,(t)+4£VkVk(t),(9.0.1)где Vk (к = 1,..., га) — центрированные, некоррелированные случайныевеличины с дисперсиями Dk (к = 1,..., га); ц>к(£) (к — 1,..., га) — неслу­чайные функции 1 ^Случайные величины Vk (к = 1,..., га) называются коэффициентами,а функции ipfc(£)(A; = l , .

. . , r a ) — координатными функциями канониче­ского разложения.Если случайная функция X(t) допускает каноническое разложение(9.0.1) в действительной форме, то корреляционная функция Kx(t, tf) вы­ражается суммой видатадо = £л*ч>*(*)ч>*(0,о>-о.2)которая называется каноническим разложением корреляционной функции.Если случайная функция X(t) допускает каноническое разложение(9.0.1) в комплексной форме, то каноническое разложение корреляцион­ной функции имеет вид*,(*, *0 = £ £ * * * ( * ) ч>*(*0,(9-0.3)где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина.Из возможности канонического разложения вида (9.0.2) или (9.0.3)корреляционной функции вытекает представимость случайной функцииX(t) в виде канонического разложения (9.0.1), где случайные величиныVk (k = 1,..., га) имеют дисперсии Dk (к = 1,..., га).В частности, может быть т = оо.264При линейном преобразовании случайной функции X(t)t заданной ка­ноническим разложением (9.0.1), получается случайная функцияY(t) = Ц.

{X(t)} в виде канонического разложениятпА:=1гдеm f (t) = 2 t {m,(t)}; ф4(*) = l{0) {*М},т.е. при линейном преобразовании случайной функции, заданной кано­ническим разложением, ее математическое ожидание подвергается томуже линейному преобразованию, а координатные функции — соответст­вующему линейному однородному преобразованию.Стационарной случайной функцией X(t)X) называется случайная функ­ция, математическое ожидание которой постоянно, mx(t) = тх = const, aкорреляционная функция зависит только от разности между своими ар­гументами Kx(t, t') = кх(т), где т = t' - t.Из симметричности корреляционной функции Kx{t, t1) следует, чтокх(т) = кх(—т), т.е. корреляционная функция стационарной случайнойфункции есть четная функция аргумента т.Дисперсия стационарной случайной функции постоянна:Dx = Kx(t, t) = кх(0) = const.Корреляционная функция стационарной случайной функции облада­ет свойством:1*,(т)|<Л,.Нормированная корреляционная функция р х (т) стационарной слу­чайной функции X(t) равнаPi(T )= Mi) = Mi).Каноническое разложение стационарной случайной функции имеетвидооX(t) = mx+Yj (ukcoswftt -f Vk sin wkt),(9.0.4)где Uk, Vk (к = 0, 1,...) — центрированные, некоррелированные случай­ные величины с попарно равными дисперсиямиD[Uk} = D\Vk} = Dk.Разложение (9.0.4) называется спектральным.

Спектральному разло­жению стационарной случайной функции соответствует разложение вряд ее корреляционной функцииТочнее, стационарной в широком смысле.265*«(T) = ] C J D * C O Sk=0ш т*>откуда00yt=0Спектральное разложение (9.0.4) стационарной случайной функциипри ш0 = 0 можно переписать в комплексной форме:00&=—оогдеWl4=^in(* = 1,2,...).Спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t) на­зывается предел отношения дисперсии, приходящейся на данный интер­вал частот, к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю.Спектральная плотность Sx(w) и корреляционная функция ^ ( т ) связаныпреобразованиями Фурье. В действительной форме они имеют вид2~ оо^х(ш) = —• I К(Т)оcosооwctr,кх(т) = / 5,.(w) cos urrdw;оиз последнего соотношения вытекает, чтоОВ комплексной форме преобразования Фурье, связывающие спек­тральную плотность 5*(и)) и корреляционную функцию, имеют видсооо—00—00где£» = ^(ы).Как 5ж(ш), так и 5*(UJ), — действительные, неотрицательные четныефункции, но Sx(w) рассматривается только в интервале (0, оо).Нормированной спектральной плотностью sz(w), 5*(ш) называетсяспектральная плотность, деленная на дисперсию случайной функции266ххБелым шумом называется случайная функция X(t), любые два различ­ные (сколь угодно близкие) сечения которой некоррелированы и корре­ляционная функция которой пропорциональна дельта-функции:Kx(t,tf) =G(t)b(t-tf).Величина G(t) называется интенсивностью белого шума.Стационарным белым шумом называется белый шум с постоянной ин­тенсивностью G(t) = G = const.Корреляционная функция стационарного белого шума имеет вид*,(т) = С 6 ( т ) ,откуда его спектральная плотность постоянна и равнаДисперсия стационарного белого шума равна Dx = G 6 (0), т.

е. беско­нечна.Если на вход стационарной линейной системы L поступает стационар­ная случайная функция X(t), то спустя некоторое время, достаточное длязатухания переходного процесса, случайная функция Y(t) на выходе ли­нейной системы также будет стационарной. Спектральные плотностивходного и выходного сигналов связаны соотношениемS » = S»|<Hiw)|,где Ф (г со) — амплитудно-частотная характеристика линейной системы.Говорят, что стационарная функция X(t) обладает эргодическим свой­ством, если ее характеристики \тх, kx(r)) могут быть определены как со­ответствующие средние по времени для одной реализации достаточнобольшой продолжительности.

Достаточным условием эргодичности ста­ционарной случайной функции (по математическому ожиданию) являет­ся стремление к нулю ее корреляционной функции при т —> со:lim kx(r) = 0.т—+ооДля того чтобы случайная функция X(t) была эргодична по дисперсииDx, достаточно, чтобы случайная функция Y(t) = {X(t)}2 обладала анало­гичным свойством, т.е. при т —• оо:lim к (т) = 0 1}Для того чтобы случайная функция была эргодична по корреляционной функции,нужно, чтобы аналогичным свойством обладала функция Z (£, т) = X (t) X (t 4- т).267При решении задач, связанных со случайными функциями, часто быва­ет удобно выполнять преобразования с помощью различных скачкообраз­ных функций, а также обобщенных функций типа дельта-функции.Приведем определения и основные свойства таких функций от дейст­вительного аргумента т.1.1 т | — модуль (абсолютная величина):т =т-тприприт > О,т < 0.2.1(т) — единичная функция (единичный скачок):1прит > 0,1(т) = \ -прит = 0,0прит < 0.3.

sgn т — знак величины т (сигнум):[ 1sgn т = | 0[—1приприприт > 0,т = 0,т < 0.4. б (т) — дельта-функция:'6 (т) = ± 1(т).drДельта-функция — четная функция т.Основные свойства дельта-функции:а) тб (т) = 0 и вообще ф (т) б (т) = 0, если ф (т) — нечетная функция,непрерывная при т = 0.0+еб) ^ ( т ) 8 ( т ) £ * т = ф(0),если функция ty(t) непрерывна в точке0-е00+ет = 0 (в > 0), Г *ф(т) б (т) dт = Г т\) (т) б (т) d т = - <ф (0), если функция0-е0о|; (т) непрерывна в точке т = 0.Из этих определений вытекают следующие свойства, имеющие местодля любых действительных т и нечетной функции ф (t):i .

| T | = T S g n r , 2 . T = | T | s g n r , З.ф(т) = ф(|т|) sgn т;4.<p(|T|) = ip(T)sgnT; 5.ф 2 (|т|) = ф 2 (т); 6.sgnT = 2-1 (т) - 1;7 . 1 ( T ) = S g n ( T ) + 1 ; 8.|т|=т[2.1(т)-1];9.dW = sgn т;drd2\r\ _ d sgn т= 2б(т);10. 2drdr26811.1(т)= J , 6(T)dT = i j < i ( s g n T ) ;12. Для нечетных положительных k(sgn т)к = sgn т.

Для четных поло­жительных к(sgnr)* = [1 при т ^ О,[О при т = 0;Ш)"13.|тГdr(d\при s нечетном и к четном,ITrsk+sпри s нечетном и к нечетном,STпри s четном и к четном,_»-!|т|т-при s четном и к нечетном;ЫЫ)14.при к нечетном,TIT*dTпри к четном;15V(|T|)Id\r\dr|tp5 (т)|[<*|т|]k+s= 4>*(т)|IdФ (т)при s нечетном и к нечетном,Ф* (т)Tпри s четном и к четном,ф(|т|)ф16V(T)Jпри s нечетном и к четном,5(d\r\)dr5_1(т)при s четном и к нечетном;5ф (т)Ф (| т |) ф3"1 (т)при к четном,при к нечетном.9.1. Случайная функция X(t) в каждом сечении представляетсобой непрерывную случайную величину с плотностью распреде­ления f(x, t). Написать выражения для математического ожиданияmx(t)n дисперсии Dx (t) случайной функции X{t).Ответ.ооm*(0 =fxf(x,t)dx]—ооооJ[x-mx(t)]2f(x,t)dx.Dx(t)=—ОО9.2. Случайная функция X(t) представляет собой случайную ве­личину X{t) = V, где V— непрерывная случайная величина с плот­ностью распределения ф(^).

а) Написать выражение одномер269ного закона (плотности) распределения /(х, t) случайной функцииX(t). 6) Найти математическое ожидание mx(t) и дисперсию Dx(t)случайной функции X(t). в) Написать выражение двумерной функ­ции распределения F(x x , х 2 , £х, £2) двух сечений X(tx), X(t2) слу­чайной функции X(t).СОО т в е т , a) /(х, t) = ф(х); 6)mx(t)= / xtp (х) dx = m v,—оо000 .

( 0 = / ( я - ™ , , ) 2 ^ (ac)d!a; = Z>v; в) F ^ , x 2 , ^ , f 2 ) =—ОО= P((X(t 1 ) < ^ ) ( X ( t 2 ) < * , ) ) = P((V<xx){V<x2)).Еслиа^ < 1 2 , т о и з 7 < а ; 1 следуете < 1 2 ,иР((7<а; 1 )(Р г <а; 2 )) =ч= P(V < х х ) = / ср (х) dx. Следовательно,I ср (x) dx = F(x x )прихг < х 2 ,прих2 < x 2 ,-oo•** 4 ^ 1 ? Х2">^\1*2)—/ cp (x) dx = F(x 2 )где F(x) = J ц> (v) dv — функция распределения величины К-009.3. Случайная функция X(t) задана в виде X(t) = Vt + b, гдеV— случайная величина, распределенная по нормальному законус параметрами mv}o v,b — неслучайная величина.

Характеристики

Список файлов книги