Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 31
Текст из файла (страница 31)
обобщенный закон распределения Эрланга (п - 1)-го порядка, имеет плотностьпп1( - 1 Гi=1Пi=i\£-x x9п-Л )о(Запись ^J\j-\kприх > 0,прих < 0.ri( - *)хозначает, что берется произведение всех биномов видапри к = 1, 2,..., j ' - l , j + 1,..., п, т.е. кроме Ху - X,..)В частном случае, когда Хг = г X:Функция распределения обобщенного закона Эрланга (п — 1)-го порядка имеет видп1п1-е-х?*приon.1(x) = (-iru^E—^i=1=1х > 0.' \£(\->ч)**1Если X, = г X, тоGI_1(») = E(- 1 ) J " 1 ^[ 1 - e " j b ]3=1228ПРИх>0-Если \ = Х2 = .
. . = Хп = X, то получаем закон Эрланга (п - 1)-го порядка:(тг-1)!GХn-1 (*) = J^ ( П - 1, ХЯ?) А? =о00= 1 - J \P(n -l,\x)dx= l - R(n - 1, Хх) (х > 0),гдеттР(т1а) = ^-е-а;кД(т, а) = £ £ - е - \8.32. Имеется система двух случайных величин (X, Y) с плотностью распределения /(#, у). Найти функцию распределенияG(z) и плотность распределения g(z) максимальной из этих двухвеличины: Z = шзх{Х, Y}.Р е ш е н и е .
Будем искать функцию распределения случайнойвеличины Z: G(x) = P(Z < z).Для того чтобы максимальная из величин X, Y была меньше z,нужно, чтобы каждая из этих величин была меньше z:G(z) = ?((X<z)(Y<z))= F(z,z)1гдехух, y)dxdy.Таким образом,ZЪG(x) = J ff(x,y)dx dy.Чтобы найти плотность распределения g(z), продифференцируем G(z) по величине z, входящей в пределы двойного интеграла.Дифференцировать будем как сложную функцию двух переменных Z1HZ2,H3 которых каждая зависит от z\zx = z,z2 = z):<?(*)=dG(z) _ ddzdz•2Jf(x,y)dy\dx\229=SG^ld^а^dz+8GW ^ozcy dz1j.=*j.+fcJJ— oo—ooВ частном случае, если величины X, У независимы, f(x,y)=/i(^)/2(»)»=T0— СО—СОили, более компактно,Если случайные величины 1 и У независимы и одинаково распределены [Д (ж) = / 2 (ж) = f(x)\, то 0(z) = 2f(z)F(z).8.33. Система двух случайных величин (X, У) имеет плотностьраспределения f(x, у).
Найти функцию распределения G(u) иплотность распределения д(и) минимальнойиз этих двух величин: U = min{X, У}.УУ///////Р е ш е н и е . Будем искать дополнение доединицы функции распределения:шии0Рис. 8.331 _ G(u) = P(U>u) = P((X>u)(Y> и)).Это есть вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D(u), заштрихованную на рис. 8.33. Очевидно,1 - G(u) = 1 - F(u, oo) - F(oo, и) + F(u, и),откудаG(u) = F(u, oo) + F(oo, u) - F(u, u) = Fx(u) + F2(u) - F(u, u).Дифференцируя по иу имеем (см.
задачу 8.32)ии9(и) = fx(u) + f2(u) - J f(u,y)dy- J—00f(x,u)dx.—00В случае, когда величины Х и У независимы,иfl(«) = / 1 (u) + / 2 ( u ) - / 1 ( u ) - J f2(y)dy—00и- f2(u)Jf1(x)dx =—CO= f1(u)[l-F2(u)}+f2(u)[l-Fl(u)).Если случайные величины Хи У независимы и одинаково распределены [Д (х) = / 2 (х) = /(ж)], тоg(u) =2302f(u)[l-F(u)\8.34. Имеется п независимых случайных величинХ г , Х2,...Хп, распределенных по законам с плотностями Д ^ ) , / 2 (я 2 ), •••Найти плотность распределения максимальной из них:Z = m&x{Xl,X2,...,-£„}U = т\ъ{Х1,Х2,...,ХП},и минимальной:т.е. той из случайных величин, которая в результате опыта приметмаксимальное (минимальное) значение.Р е ш е н и е . Обозначим Gz (z) функцию распределения величины Z.
Имеем<?,(*)=р(2<*)=П*н*),г=1гдеZFi{z)=Jfi{xi)dxi( t = l , 2 , ...,n).—OOДифференцируя, получим сумму произведений производныхотдельных функций распределения F1(x1), F2(x2), ...,Fn(xn)напроизведения всех остальных функций, кроме той, которая продифференцирована. Результат можно записать в видепf.(z)nАналогично, обозначая Gu (и) функцию распределения величины U, получим<?.(«)=i-ni 1 -^^)]t=iДифференцируя, получимпf .(qi\n8.35. Имеется п независимых случайных величинХг,Х2,...,Хп, распределенных одинаково с плотностью /(х).
Найти законраспределения максимальной из них:Z = max{X 1 5 X 2 , ..., Х п }231и минимальной:и = тт{Хг,Х2,..., Х п } .Р е ш е н и е . На основании решения предыдущей задачиGz{z) = Fn{z)-9l{z)nFn-\z)f{z)-1=Gu (и) = 1 - [1 - F(u)}n ; ди (и) = п[1 - Fin)}-1f(u).8.36. Производится три независимых выстрела по плоскостихОу; центр рассеивания совпадает с началом координат, рассеивание нормальное, круговое, ах = ау — о.
Из трех точек попаданиявыбирается та, которая оказалась ближе всех к центру рассеивания. Найти закон распределения расстояния Rmin от точки попадания до центра.Р е ш е н и е . Имеем J?rain = min{Rl, i? 2 , R^}.Из решения предыдущей задачи имеем9RmJr)3[l-F(r)}2f(r),=где F(r), /(г) — функция распределения и плотность распределениярасстояния R от точки попадания любого выстрела до центра рассеивания,2 2F(r) = P(R<r) = l-e2 2/ ( г ) = - ^2 еа°° ,(г>0).ОтсюдаЗгг9R(Г)= -17еа•т.е. плотность распределения расстояния от ближайшей из трех точек до центра рассеивания имеет тот же вид, что и для каждой изних, но при условии, что параметр сг уменьшен в V3 раз, т.
е. заменензначением а = —~.7з8.37. Найти закон распределения минимальной из двух независимых случайных величин Ти Г2, распределенных по показательным законам:/i('i) = V "V l/ 2 (* 2 ) = Х 2 е" х Л232ПР И 'i > ° ;при t2 > 0 .Р е ш е н и е. На основании решения задачи 8.339и(и) = Ш[1-F2(u)]+ f ,(4)11-^(4)}X2U XlW= \e-^ e^+X 2 e~ e= (\ +\2)е-{х^)иu=u(и>0),т.е. закон распределения минимальной из двух независимых случайных величин, распределенных по показательным законам, естьтоже показательный закон, параметр которого равен сумме параметров исходных законов.Вывод нетрудно обобщить на любое число показательных законов.8.38.
В условиях предыдущей задачи найти закон распределения gz{z) максимальной из величин Тх, Т2.Решение.gz(z) = f1(z)F2(z)Xi+ f2(z)F1(z)_х 2=->v= \e- *[l - е * ] + \ 2 e [ l - e~Xl2] == X ie - Xl2 + X2e-X*2 - (Xj + X 2 ) е -( х ' +х 2)* (z > o).Этот закон показательным не является. При Хх = Х2 = X5 z (z)= 2Xe- X 2 (l-e- X 2 )(z>0).8.39*. Над случайной величиной X, имеющей плотность распределения f(x), производится п независимых опытов; наблюденные значения располагаются в порядке возрастания; получаетсяряд случайных величин Z19Z2, ...,Zk, ..., Zn.Рассматривается к-я из них Zk. Найти ее функцию распределения Gk (z) и плотность распределения дк (z).Р е ш е н и е . Gk(z) = P(Zk < z). Для того чтобы к-я (в порядкевозрастания) из случайных величин Z.,Z2, ..., Zk, Zn быламеньше z, нужно, чтобы не менее к из них были меньше z:гп=кгде Рт — вероятность того, что ровно га из наблюденных в п опытахзначений случайной величины X будут меньше z.
По теореме о повторении опытовPm=C:[F(z)r[l-F(z)r-™,откудаGk (z) = X X [F(z)}m[l - F{z)}n-m ,т=к233гдеzF(z)= ff(x)dx.Плотность распределения gk(z) можно найти, дифференцируяэто выражение и учитывая, чтоип т == пип_1 ;(га — 1)!(п — га)!С:(п-т)= пС:_1(т<п).После простых преобразований получимл СО = »<£*/(*) [П*)П ~ П*)ГкОднако гораздо проще получить gk(z) непосредственно, с помощью следующего простого рассуждения.Элемент вероятности gk(z)dz приближенно представляет собой вероятность попадания случайной величины Zk (к-то в порядке возрастания значения случайной величины X) на участок(z, z + dz).
Для того чтобы это произошло, нужно, чтобы совместились следующие события:1) какое-то из значений случайной величины X попало на интервал (z, z + dz);2) (к — 1) других каких-то значений оказались меньше z;3) (п— к) остальных значений оказались больше z (вероятностью попадания более чем одного значения на элементарный участок (z,z + dz) пренебрегаем).Вероятность каждой такой комбинации событий равнаf(z) dz [F(z)]k~l[l - F(z)}n-k. Число комбинаций равно произведению числа п способов, какими можно выбрать одно значение из п,чтобы поместить его на интервал (z, z + dz\ на число Ск~\ способов, какими из оставшихся п — 1 значений можно выбрать к — 1,чтобы поместить их левее z.
Следовательно,gk{z) dz = nC^WiFiz^ll-F(z)}n~kdz,-F{z)rk.откудаЛ(*) = nCkn-lxf{z){F{z)tl[l8.40. В электропечи установлено четыре регулятора (термопары), каждый из которых показывает температуру с некоторойошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением ot. Происходит нагревание печи. В момент, когда две из четы234рех термопар покажут температуру не ниже критической т 0 , печьавтоматически отключается.
Найти плотность распределения температуры Z, при которой будет происходить отключение печи.Р е ш е н и е . Температура Z, при которой происходит отключение печи, представляет собой второе в порядке убывания (т.е.третье в порядке возрастания) из четырех значений случайной величины Ту распределенной по нормальному закону с центром рассеивания т 0 и средним квадратическим отклонением ot:1/(*)=•*~^г>у/2кСоответствующая функция распределенияF(0 = **|I *— т0 IПользуясь результатами предыдущей задачи при п = 4, к = 3,получим(*-т0)2гЛ0) =12а^л^к2а?ф** -то,2I °t J< J.1-Ф*VI at J]8.41. Имеется n независимых случайных величин Хг,Х2, ...,J n , функции распределения которых имеют вид степенной зависимости:0приXt < 0 ,0<х< < 1 ,1припри*Н*.-) =(г = 1,2,..
• . в )*i > 1Наблюдается значение каждой из случайных величин и из нихвыбирается максимальное Z. Найти функцию распределения G(z)этой случайной величины.Р е ш е н и е . На основании решения задачи 8.34G(z) = f j F - (z) = ]\zkiпри0< z <1г=1235или, если обозначить к = У]А^ )г=10приz<0,kприпри0<z<lyG(z) = z1Z>1,т. е. максимум нескольких случайных величин, распределенных постепенному закону в интервале (0,1), также распределен по степенному закону с показателем степени, равным сумме показателей степеней отдельных законов.8.42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
