Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В неповрежденном состоянии бак заполнен на 3/4 своего объема. Определить среднее количество горючего, которое сохранится в баке после пробития его осколком.Р е ш е н и е . Для простоты будем считать ребро бака равнымединице. Высоту пробоины обозначим через X, количество оставшегося горючего через Y. Так как площадь основания равна единице, тоX0,75приприX < 0,75,0,75 < X < 1.193Если пробоина окажется выше чем на 0,75 от дна бака(X > 0,75), то горючее вытекать не будет, и в баке останется, как ибыло, количество горючего Y = 0,75; вероятность этого равна доле площади поверхности бака, находящейся выше уровня 0,75:Р(У - 0,75) = Р(Х > 0,75) = 1 + 4 - - - 0,25 = - .663Если пробоина окажется в дне бака (Х= 0), то вытечет все горючее; вероятность этого равна доле площади, приходящейся надно бака:Р(У = 0) = Р(Х = 0) = 1.ОЕсли пробоина окажется в одной из боковых стенок бака нарасстоянии Х< 0,75 от дна, то в баке останется количество горючего У = X. Плотность вероятности в интервале 0 < х < 0,75 постоя"—~ -в = -2.
Среднее количество оставшегося в ба0,753ке горючего будет равноянна и равнаmу11=o,75-- + 0 - - +30,75г91 47/ x - - d x = i + — = — = 0,446 ^ 34 16 16о7.63. В интервале (0, 1) зафиксирована точка а (рис. 7.63). Случайная точка X распределена равномерно в том же интервале.Найти коэффициент корреляции между случайной величиной Хирасстоянием R от точки а до X (расстояние R всегда считается положительным). Определить, при каком значении а величины ХиR будут не коррелированы.Рис.
7.63Р е ш е н и е . Определим К^ по формулеКж=M[XR]-mxmr.1M[XR] = М[Х\а - Х\] = jx\aо- х\ f(x) dx =1= I х\а — х\ dx — \ х {а — x)dx — I х (а — х) dx а01940а31а1тх = - ;2mr = I \а — x\dx = I (а — х) dxl/1(a — x) dx = a — a -\—.2aОтсюдаз323a33П222a2 ^ 1212Находим^x=—;a*=:wf;= а2[Л]-т2;^i..I (a — x) 2 dx = a 2 — a + - ;a2[R]=Д. = 2 a 3 - a 4 - a 2 + —; a r = J£>r .12^Отсюда3r_ — —/0„32a —aVл32Уравнение2ia .
12124„ 2 , 1—aH1=12 2V3-,1о2a3= 0 имеет только один корень в интер±2вале (0, 1): а = - . Поэтому случайные величины X, R становятся1некоррелированными только при а = - .7.64. Автомобиль может двигаться по шоссе с произвольнойскоростью v(0 < v < vmax ).Чем быстрее движется автомобиль, тембольше вероятность того, что он будет задержан автоинспектором.Каждая задержка длится в среднем время t3.
Инспекторы на путиследования стоят случайным образом; при этом на единицу длиныпути приходится случайное число инспекторов, распределенное195по закону Пуассона с параметром X. Зависимость вероятности задержки от скорости автомобиля линейная:p(v) = ku(0<v<vmax),где к =.vОпределить рациональную скорость движения vp автомобиля,при которой он пройдет путь s в среднем за минимальное время.Р е ш е н и е .
Среднее время прохождения пути s будетSSt = — + X sp (v)t3 = —h X skvt3.vvЕсли минимум этой функции лежит внутри интервала(О, vmax), то его можно найти из уравнения— = - —2 + \skt3 = 0,dvvоткудаv = v?Xfa,V X*,Эта формула справедлива при vp < v max , т.е. при г/тах >Так, например, при vmax = 100 [км/ч], X = —1и t3 = 2 0 минкмимеем77,5 [км/ч].Если vmax <, то минимум функции t = —Ь X sp (v) t3 леXt3vжит вне интервала (0, г/ тах ), и наивыгоднейшей является скоростьvv — vmax- Например, если при указанных выше данных время задержки уменьшить до 10 мин, то vp = vmax = 100 [км/ч].7.65.
Описывается окружность с помощью циркуля, расстояние между ножками которого номинально равно 5 см, но фактически устанавливается с ошибкой, математическое ожидание которой равно нулю, а среднее квадратическое отклонение 0,1 см.Ошибка распределена по нормальному закону. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение площадиописанной окружности S двумя способами: а) точным и б) приближенным, пользуясь методом линеаризации.196Решение.а ) 5 = т г ( 5 + Х) 2 ,где X— ошибка в установке радиуса, тх = 0,сгх = ОД.ms = M[S] = ic М[(5 + X)2} = тг (25 + 10М[Х] + М[Х 2 ]) == -гс(25 + а 2 ) = тг.25,01;D[S] = a 2 [ S ] - m 2 ;а 2 [5 ] = М[тт2 (5 + X ) 4 ] = * 2 {625 + 500m x + 150а 2 [X] ++20а 3 [Х] + а 4 [Х]} = тг2(625 + 150а2 + 3а*),так как при ш 2 = 0 начальные моменты совпадают с центральными(см. задачу 5.53);D[S] = -к2[625 + 150а2 + За 4 ] - тт2[625 + 50а2 + а 4 ] = тг2 .1,0002;а 5 = 1,000171;б)т 5 =25тг; £>5 = ИI», = (2 • * -5) 2 -0,01 - тг2;а5 = тг.Таким образом, разница при вычислении точным и приближенным методами мала (0,04 % по ms и 0,01 % по а 5 ).7.66.
Для построения равностороннего треугольника со стороной а = 3 см пользуются следующим способом: из произвольнойточки О откладывают отрезок длиной а;при нем строят угол а, равный 60°; затем настороне этого угла снова откладывают отрезок длиной а и полученную точку соединяют с точкой О (рис. 7.66). Отрезки длиной аоткладываются с помощью линейки с делениями по 1 мм; максимально возможнаяпри этом ошибка равна 0,5 мм. Угол откладывается с помощью транспортира с максиРис. 7.66мально возможной ошибкой 1°. Пользуясьметодом линеаризации, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение третьей стороны X.Р е ш е н и е .
Обозначим фактическую длину первой стороныХи второй Х2, фактическое значение углав. Эти случайные величины можно считать независимыми. ИмеемX№+Х2XlX2zos&.197Пользуясь методом линеаризации, найдемтх = ^jm2Xi + ml2 - 2mXimX2 cosm e ,где тх =тх= 3 0 [мм], cos m e = - , откудаmx = V900 + 900 - 900 = 30 [мм].Далее1дхдх,1дхдх 2 ;raxее2хг — 2x2 cosG12 ухх2+ х\ — 2хгх2 cos 9 J2х2 — 2хх cos 022I 2 ^а^ н- х — 2х2х2 cos0 Iзск/з2ххх2 sinGI yxl + х\ — 2хгх2 cosG J12;12515л/3 [;ммВычисляемЛ.( да;о гдх.д.. +дхдхК 2)°.2 +l¥\D*laeLДисперсии аргументов не заданы, заданы лишь максимальныепрактически возможные отклонения их от математических ожиданий:Да^ = Ах2 = 0,5 [мм]; Д0 = 1° = 0,01745 [рад].Полагая приближенно*», = ст*2 = \Axi= °-167 [мм]; DXi = DX2 = 0,0278 [мм2],ств = I Д 9 = 0,00582 [рад]; Д, = 3,39 • 10"5 [рад],ОполучимDx = 1 • 0,0278 • 2 + 675 • 3,39 • Ю - 5 « 0,0139 + 0,0229 = 0,0368 [мм2];4<тж =0,192 [мм].1987.67.
Расстояние D от некоторой точки О до объекта К определяется следующим образом: измеряется угол а, под которым виден объект из точки О (рис. 7.67); далее, зная линейный размеробъекта X, определяют расстояние по приближенной формуле:XX£> = •2 sin ааРис. 7.67Линейный размер объекта X в зависимости от случайного положения объекта может изменяться в пределах от 8 до 12 м; угола определяется с точностью до 0,1 тысячной радиана.
РасстояниеD велико по сравнению с размером объекта X. Найти приближенно среднее квадратическое отклонение aD ошибки в определениирасстояния Д если измеренное значение угла а равно одной тысячной радиана.Р е ш е н и е . Применяя метод линеаризации, имеем-ldD\ ol +a2да)гЛинейный размер X считаем равномерно распределенным винтервале (8,12):Х7~~ х\=12 — 8=2г -,M;0,0001 _2_ Ю"ivr ivr v522iг 1= 4 г[м1;га =10М°- з-1 Л-Далее9•; та =0,001,откуда'Ью )+. ю- 6{П о1 +<У"п = 1 —(а.)а109On=1110" • • • ! •14106 + А - 1 0 6 = Н . ю 6 [ м 2 ] ;~39=71з103 =1,20-10 3 [м].1997.68. Имеются две почти линейные функции п случайных аргументов:Y= 4>y(xi>X2i—>*n); z = ipx(xltx2,...,xn).Даны характеристики системы тх., Dx (г = 1, 2, ..., п) и корреляционная матрица Iff ^ .Найти приближенно корреляционный момент Kyz.Р е ш е н и е . Линеаризуя функции ф Иф 2 , получим» (дф]ода:г=1(ар.1^ - Ф .
К ^ у -' т *„) + £t=i v ^ i*<;отсюда*«; ^ = Е (*Р.)^ = Е(*>»!да:.дх,г=1Kv=wyz\ = M Ег=1Е*р,1<9х-хг,г=1fftp.l(ар,)«Эх,я,+ЕЗа:,*. Едч>>дхм(ар.дх,X,з J<9ф ;cte •Xi.1'.Последняя сумма содержит п (п — 1) членов; каждому К}*' соответствуют два члена суммы:Г а . .
,\i\ дхтдх,4/~ж ) и 'ftp»'\m7.69*. Летательный аппарат, находящийся над плоскостью хОу вточке А (рис. 7.69), определяет свои координаты (X, Y) с помощьюдвух наземных радиолокационных стан^4ций О и О', измеряя углы а и (3, составленные направлениями на эти станции сфиксированным направлением АВ±Ох.I о\Размеры базы Б (расстояние между стан*циями) известны со средней квадрати. х ческой ошибкой а Б ; углы а и (3 определяXВО'ются с одной и той же средней квадратическойошибкой оп = о$. Известны:Рис.
7.69200номинальное значение базытоБ и измеренные значения углов а и Р,равные та и m р . Ошибки в определении всех параметров независимы. Пользуясь методом линеаризации, определить приближенно математические ожидания случайных величин Хи У, их средние квадратические отклонения и коэффициент корреляции.Р е ш е н и е . В соответствии с рис. 7.69 находимXБ tg atg а + tg (3tg а + tg 3sec 2 cttg(3дХ= Бда( t g a + tgP) 2ЭХдБ\2Ш](tgma + tgm3) J+•( t g a + tgp) 2air =+ТПл4 sin (m a + m p )sin m Л cos m P+ m 3)Оъ=m.2Шлcos m „ cos m (.+ то 3)+ sin (то aa2 +Б; <** = V A T ;\21+tgm3Ja2 +СТsec mr(tgmQ + t g m 3 ) J+( t g m atg m a sec m зsin2 2m Л + sin2 2m 3mi[tgma +tgm3JmT1tg a + tg p '(tgma + tgmp) J+ sin (m a#„ =dYдБm,my = t g m + t g ma3tg m a + t g m 3sec m a tg m 3л.=dp-Bsec2(3(tg a + tg P)2 'тоБ t g m am.—Б tg а sec2 (3tgatg a + tg (3-sec 2 adY2(tg a + tg P) ' d(3BYdaдХsec mPa2 +(tgma +tgm3)2Jcos*m a -f-cos 4 m 3sin (m a + m 3 )2c; +4 ; <*„ =V#7201Корреляционный момент К^ подсчитаем по формуле, полученной в предыдущей задаче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
