Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 29
Текст из файла (страница 29)
характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.2108.1. Случайная величина X распределена равномерно в интерIвалеТГ ТС 1, — . Найти закон распределения случайной величиныУ-sinX.Р е ш е н и е . Функция у = sinx в интервалемонотонна,2 2)поэтому плотность распределения величины У может быть найдена по формуле9{У) =М(УШЪ)\-Решение задачи располагаем в виде двух столбцов; слева будемписать обозначения функций, принятые в общем случае; справа —конкретные функции, соответствующие данному примеру:тт IT]1— при х € Г "2'"2/7ГОпри^(-|,|)у = sin хУ = Ч>(*)х =х = arcsin 2/i\)(y)1Vw7№У)\1Р(У) = 9(У) =№(УШ'(У)\1*JTvпри у е ( - 1 , 1 ) ,0при у # (-1,1).Интервал (—1, 1), в котором лежат значения случайной величины Y, определяется областью значений функции у = sin x для0«(-и) -8.2.
Случайная величина X распределена равномерно в интертс тс ^. Найти плотность распределения случайной величивале"2'2УnuY = cos X.В дальнейшем при решении аналогичных задач для сокращения будем записывать выражение плотности распределения только на участке, г д е она отлична отнуля, подразумевая при этом, что вне этого участка она равна нулю.211Решение.Функция у = cos х немонотонна в интервале—, — . Решение будем составлять аналогично предыдущему стой разницей, что в данном случае для любого у обратная функция будет иметь два значения.
Решение снова оформляем в видедвух столбцов1—-тсЛ*)У =: Ф И[приV-к -к], —2 2х €у = cos ха^ = —arccos ух2 = arccos ух = 'А(У)/Ф2ЫVT* i ' ( y ) l =\ШУ)\9(У) =РЫ = Е Л ^ ( 2 / ) ) 1 ^ Ы 1-Кд/1-2/ 2г'+•при-Кд/1-2/ 2у € (О, 1).-K<s[l-8.3. Случайная величина X распределена равномерно в интер, — L Найти плотность распределения случайной величиваленыУ =1 sin XL2Ответ.д(у) = —,при ?/€ (0,1).Т^д/Г^ У8.4.
Случайная величина X имеет плотность распределенияf(x). Найти плотность распределения случайной величиныY=\l-X\.Р е ш е н и е . Функция у = |1 - х\ немонотонна. Решение будемсоставлять так же, как в задаче 8.2.Я*)у = ч>(*)\МУ)ФгЫ2122/ = | 1 - я |^ = 1 - 2/z2 = 1 + у№У)НШУ)\9(y) =д (у) = /(1 - у) + /(1 + у)E№i(y)m(y)\приу > 0.8.5. Круглое колесо, закрепленное в центре О (рис. 8.5), приводится во вращение, которое затухает вследствие трения. В результате фиксированная точка А на ободе колесаостанавливается на некоторой высоте Я (положительной или отрицательной) относительно горизонтальной линии I - 1 , проходящей через центр колеса; высота Я зависит отслучайного угла 0 , при котором остановилось вращение.Найти: а) закон распределения высоты Я;Рис. 8.5б) закон распределения расстояния D от точки А до прямой I - 1 (считая это расстояниевсегда положительным).Р е ш е н и е.
Я = г sinG, где угол 9 — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2-к). Очевидно, решениезадачи не изменится, если считать случайную величину в распределенной равномерно в интервале, — ; тогда Я является монотонной функцией в .Плотность распределения величины Я:при9(h) =— г < h < г.Плотность распределения величины D =\Н |:9i(d) =2при0 < d < г.8.6. Случайная величина X распределена по закону Рэлея сплотностью/00 =о20прих>0,прих<0.213— X2Найти закон распределения величины Y = е .Р е ш е н и е .
На участке возможных значений аргумента Xфункция у = е~х монотонна. Применяя общее правило, получим2а*У = 4>(х)(а?>0)у = еж = *ф(у)х =д/-1п2/1Ф'М112ут]-\пуР(У) = / ( Ф ( У ) ) 1 Ф 7 ( У ) 12а угу1-2а 22ff2при 0 < у < 1.2<гГрафики р(у) при разных а приведены на рис. 8.6.8.7. Случайная величина X распределена по закону Коши с плотностьюf(x) —2уг-7Г(1Ч-Х2)(-оо<ж<+оо).Найти плотность распределенияобратной величины Y = —.Рис. 8.6Р е ш е н и е . Учитывая, что, несмотря на разрывный характер функцииу = _, обратная функция х = — одноsУзначна, и решая задачу по правилам для монотонной функции,получим19{У) =тс 1+V*[У)или214д(у) =( - 0 0 < у < -boo),-к(1 + у 2 )т.е. величина, обратная величине, распределенной по закону Коши,также имеет распределение Коши.8.8. Через точку Л, лежащую на оси Оу нарасстоянии 1 от начала координат, проводитсяпрямая АВ под углом а к оси Оу (рис.
8.8). Всетт-кзначения угла а отдо — равновероятны.Найти плотность распределения абсциссы Xточки В пересечения прямой с осью абсцисс.Р е ш е н и е . X — tg а; функция монотоннана участке - — < а < —. Имеем229(х) =тт(1 -Ь х 2 )(-оо < х < +оо),т.е. случайная величина Xраспределена по закону Коши.8.9. Дискретная случайная величина Охарактеризуется рядомраспределенияXi-2-1012Piод0,20,30,30,1Найти законы распределения случайных величинУ= Х2+1;Z=\X\.Р е ш е н и е . Определяя для каждого х{ соответствующие значения величин Y и Z и располагая их в возрастающем порядке, получим ряды распределенияУг125Pi0,30,50,2Zi122Р'/0,30,50,22158.10. Через точку А с координатами (0, 1) проводится прямаяАВ под случайным углом G к оси ординат (рис.
8.10). Закон распределения угла в имеет вид/(0) = lcos0при— < е<—.22Найти закон распределения расстоянияL от прямой АВ до начала координат.Р е ш е н и е . Имеем L=|sinO|. ФункцияI = | sin 01 на интервалеTVТГ, — | не монотонна. Применяя обычнуюсхему записи, имеем1У = ф(я)\МУ)X =7ГЛ- cos 92лТГпри< 0< —22/ = | sin 6|—arcsin /arcsin /ЧЬЫз>)mv)\=№v)\cos (arcsin /)9(L) = iVI-/2при 0 < / < 1,9(x) = J2f(^(y))\M(y)\т.е. расстояние L распределено равномерно в интервале (0, 1), какэто можно видеть и из геометрических соображений.8.11.
Радиус круга R — случайная величина, распределенная позакону Рэлея:/(г) = — еа22 2°приг > 0.Найти закон распределения площади круга S.Р е ш е н и е . Функция S =iri? 2 на участке возможных значений R (0, оо) монотонна, следовательно,2169(s) =2тш:2lt(j2-eпри5 > 0,т.е. закон распределения площади круга есть показательный закон с1параметром-.2тш 28.12. Маятник совершает свободные незатухающие колебания,причем угол ф (рис.
8.12) изменяется в зависимости от времени tпо гармоническому закону:Ф = asm((jjt + G),где а — амплитуда; и — частота; 9 — фаза колебания. В некоторый момент t = 0, совершенноне связанный с положением маятника, производится его фотографирование. Так как положение маятника в момент фотографированиянеопределенно, то фаза в есть случайная веРис. 8.12личина, распределенная равномерно в интервале (0, 2-гс). Найти закон распределения угла Ф, который будетсоставлять маятник с вертикалью в момент фотографирования, найти его математическое ожидание и дисперсию.Р е ш е н и е . Ф = a s i n 0 , где фаза в распределена равномерно винтервале (0, 27г), на котором функция ф = a s i n 0 не монотонна.Очевидно, решение задачи не изменится, если считать фазу в распределеннои равномерно в интервале, — , где функцияV<«£)Ф = a sin 0 монотонна.
Плотность распределения величины Ф будет1д(ч>) = -1112атс^/а5при(ф|<а.Ф12Так как закон #(ф) симметричен, то его математическое ожидание т = 0. Дисперсия угла Ф равна*iPф= dp = —ф2ТТ2^2 , Я• ФФ Нarcsm—2а8.13. Завод изготовляет шарики для подшипников, номинальный диаметр которых d0, а фактический диаметр L — случайнаявеличина, распределенная по нормальному закону, с математиче217ским ожиданием d^ и средним квадратическим отклонением az.После изготовления каждый шарик проходит контроль, причембракуются все шарики, проходящие сквозь отверстие диаметромd0 —2aly И все шарики, не проходящие сквозь отверстие диаметр о м ^ + 2а;.Найти закон распределения диаметра шариков, прошедшихконтроль (незабракованных).Р е ш е н и е . В этой задаче нужно найти плотность распределения некоторой случайной величины L*, которая равна L только вслучае, когда L приняло значение между d0 — 2a, и d0 + 2az; внеинтервала (d0 — 2a,, d0 + 2ot) плотность распределения должнабыть равна нулю (рис.
8.13), а внутриинтервала — пропорциональна /(/),причемff*(l)dl = l.^ 0 -2a zd0d0+2otРис. 8.13d0 + 2old°~2aiИз этого соотношения можно найтикоэффициент пропорциональности а:dQ + 2otJ f*(l)dl = a JdQ-2ai/(/)Л = о[2Ф*(2)-1] = 1,d0-2<jtоткуда1a = 2Ф* (2) - 10,95441,05.Таким образом,1,05/*(') =0(l-^o У'при\1 - dQ\< 2a hпри\l — d0 \> 2at.8.14. Имеется случайная величина Хс плотностью распределения f(x).
Случайная величина У определяется через X соотношениемY = min{X, 1},т.е. У=ХириХ<2181, У = 1 п р и Х > 1 .Найти закон распределения случайной величины Y и определить ее математическое ожидание и дисперсию.Р е ш е н и е . Случайная величина Y будет величиной смешанного типа. При у = 1 ее функция распределения имеет скачокрх, равный вероятности того, что величина X примет значение,большее единицы:Pl=ff(x)dx=l-F(l).При у < 1 функция распределения Fx(y) случайной величиныY будет совпадать с функцией распределения F(x) случайной величины X при х = у\F1(y) = F(y)=едjf(x)dx.При у > 1 Fx (у) = 1 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
