Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Вероятность этого равна Рп. При этойгипотезе1=1Обозначим плотность распределения суммы п независимыходинаково распределенных величин Xv X2J ..., Хп через / (п) (ж).Эти плотности можно найти последовательно: сначала / ( 2 ) (х) —композицию двух одинаковых знаков f(x) и f(x)y затем / ^ (х) —композицию / ( 2 ) (я)и f(x) и т.д.По формуле полной вероятности плотность распределенияслучайной величины СбудетФ(*) = Е / ( П ) ( 2 ) ^ -Для нахождения числовых характеристик воспользуемся темже приемом.
Допустим, что Y = п. В этом случае условное математическое ожидание будетM[Zn} = M\Ех<= птх,1=1гдеm,=M[X4]=Jxf(x)dx.Тогда полное математическое ожидание найдем из выраженияNmz =M[Z] = Y^nmxPn = ™>х7Пу,n=lгдеNту=EnP-n=l243Таким же образом найдем и условный второй начальный момент при условии, что Y— п:= М £Х?+2£* 4 *,щг\) = Ц Е*<г=1= ^2а2х+2Yjm*m*г=1К Jг<3=ZUOL2x + П(П ~l)ml=nDx+П2™2Х,гдеDx=D[Xi]=f(x-mx)2f(x)dx.Второй начальный момент случайной величины Zп =1п =1=Т еа* 2у =J2n2PnDxmy+m*xa2y=Dy + m.n=lДисперсия случайной величины ZDz=0L2z-™>1==D mx y+™>ха2у-Ш1Ш\ =Dxmy+™>xDy8.52.
Независимые случайные величины Хг,Х2, ...,Хп, ...распределены одинаково по показательному закону с параметромX. Случайная величина Y = YX + 1, где случайная величина Ytраспределена по закону Пуассона с параметром а. Найти законраспределения и числовые характеристики случайной величиныг=1пР е ш е н и е . Закон распределения суммы ^Г^Х{ представляетг=1собой закон Эрланга (п— 1)-го порядка (см. задачу 8.31) с параметром X:\(\х)п~/<"'(*) =(п-1)!„ — \х(х > 0).По формуле полной вероятности плотность распределенияслучайной величины Сбудет244X (\z)r\n-l UXz(n-l)!x= Xe- ~f4^)l& (A;!)2a'n - 1_a-e =(n-1)!приг>0.Эту плотность можно выразить через модифицированную циа;00линдрическую функцию / 0 (х) = У^| j=*(*!)'Хг а^(г) = \е~ ~ 10(2л[\т)при z > 0.[и решения предыдущейпредыДалее на основаниизадачиа+1M[Z] = m x m y = •X'тлг/71 п.
2т-1а+ 1 , а2а + 1D[Z] = K I m y + m s D , = — + — = — — .8.53. Рассматривается система случайных величин Хг (г = 1,2, . . . , п ) , которая связана с дискретной случайной величиной Yследующим образом:[1, если г < Y,X,[О, если г > Y.Известна функция распределения F(y) случайной величины Y.Требуется найти закон распределения каждой случайной величины Х{ и числовые характеристики системы случайных величинР е ш е н и е . Ряд распределения случайной величины Хг имеетвидР(У < г) Р(У >%)Так как Р(У < г) = F{i), то ряд распределения имеет видF(i)откуда то,.
= l-F(i),Dx.=1 - F(i)F(i)[l - F(i)].245Найдем корреляционные моменты случайных величин Х{ и Xj}для чего определим М[Х{Xj]. Произведение Х{Х, при г< j можетпринимать только два значения: 1, если X = 1, и 0, если X - = 0.Следовательно,М[Х{ Х^] = тх. = 1 - F(j) (i < j), откудаKtj =М[Х,.Х,.] - л ^ п ц = 1 - F(j) - [1 - F(«)][l - F(j)] == F(i)[l-F(j)}(i<j),а коэффициент корреляцииг- =°i°;p{i)F{j)[l-F(i)){l-F{j)}(1 < г <j < n).iF(j)[l-F(i)}8.54. Найти характеристическую функцию случайной величины, равномерно распределенной в интервале (а, Ь).г£бг£а1Р е ш е н и е . #(£)= Гeitxdx =— е — е . Если а = —ЬJ h — п.h —itЛЛ(6>0),то»(*) =-itb1еги%1еtbitг'^ь-itbs'mtbIT'2г8.55.
Найти характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по показательному закону:f(x) = \e~Xx,х>0.X2 + ХйХ-йХ2+Г8.56. Найти характеристическую функцию для случайной величины Ху распределенной по закону Лапласа:Xf\e~XxeitxdxРешение.^) =аР е ш е н и е . Заменой х — т — у получим00g(t) = Jeitx-e-alx-mldx =—OO< 0Ot—e22246itm00Jeitye*ydyоV-oo1vot + itfeitye-«ydy+1a — itaл2,,2а2a2+t28.57. Найти характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами рип:При га = О получим g(t) =гдед = 1 — р] О < р < 1; т — 0,1, ..., п.Р е ш е н и е . Представим величину X как сумму п независимыхслучайных величин:Е**.*=iгде Х- — случайная величина с рядом распределенияХарактеристическая функция величины Хк равнаgk(t) = М[е*** ] = де° + ре* =?+ реа.Так как характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристическихфункций, то9(t) = flgk(t) = (q + pe*y.к=18.58.
Найти характеристическую функцию случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром а:тР(Х = т) = —е-ага!ооmРешение.<,(*)=£^е-°е"*" !тГ0™( а > 0 ; га = 0,1, 2,...).гасо Л * ~ #" \\ т=e- « g ^ l J!^Ь ™™m=0-а (1-е")= е е=е8.59. Характеристическая функция случайной величины Xравнаg x (t).Случайная величина Yполучается из Xприбавлениемпостоянной величины a: Y = X + а.
Найти характеристическуюфункцию ду (t) случайной величины Y.247Р е ш е н и е . Рассматривая неслучайную величину а как частный случай случайной, находим ее характеристическую функциюga{t) — etta .Так как случайная величина Хне может зависеть (в вероятностном смысле) от неслучайной а, получаем9y(t) = 9At)9a(t)=9x(t)eita.8.60. Найти характеристическую функцию ду (t) случайной величины F, распределенной по закону Паскаля:P(Y = k) = pqk(к = 0,1,2,...),а также характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по «сдвинутому на единицу» закону Паскаля:Х = У + 1; P(X = k) = pqk~l(к = 1,2,...).Решение.00к=оООк=о„1-qeПрименяя правило, выведенное в предыдущей задаче, получим8.61.
Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Опыты прекращаются, как только событие А появилось га раз (п >1). Найти законраспределения, числовые характеристики и характеристическуюфункцию числа X «неудачных» опытов, в которых событие А непроизошло.Р е ш е н и е . Найдем вероятность того, что случайная величинаX примет значение к. Для этого нужно, чтобы общее число произведенных опытов было равно п+ к (копытов кончились «неудачно», a n — «удачно»). Последний опыт по условию должен быть«удачным», а в предыдущих га - к + 1 опытах должны произвольным образом распределиться га - 1 «удачных» и к «неудачных»опытов.
Вероятность этого равнаP(X = k) = Ckn+k_lP»qk(к = 0,1,...)-Полученный закон распределения является естественнымобобщением закона Паскаля. Мы будем его называть ^обобщен248ным законом Паскаля п-го порядка». Случайную величину X можно представить в виде суммы п независимых случайных величин:* = £*.,5=1где каждая случайная величина Xs распределена по закону Паскаля:P(Xs=k)= pqk(* = <>, 1,...).Действительно, общее число «неудачных» опытов складывается из: 1) числа «неудачных» опытов до первого появления события А; 2) числа «неудачных» опытов от первого до второго появления события А и т. д.Отсюда получаем числовые характеристики величины XnqтпnqD,~2~и характеристическую функцию*,(') =1~Л М \[1-qe)8.62.
Условия задачи те же, что и в задаче 8.61, но случайнаявеличина У представляет собой общее число опытов, произведенных до n-кратного появления события А. Найти закон распределения, числовые характеристики и характеристическую функциюслучайной величины Y.Р е ш е н и е . Y = X + п, где X — случайная величина, фигурирующая в предыдущей задаче. ОтсюдаP(Y = k) = P(X == Ск-х Р Яk-n)•C£p"qk-n(k = n, п + 1,...).Числовые характеристики величины Yту=тх +п =РРVХарактеристическая функцияit(9y(t)= gx(t)eitn=ре\П'qe2498.63.
Найти характеристическую функцию случайной величины Ху распределенной по обобщенному закону Эрланга (п— 1)-гопорядка (см. задачу 8.31):/n-1w =-Х.я(-i) n -i=1l n^EМХпри х > 0.ХШ >- *)k^jР е ш е н и е . Обобщенный закон Эрланга (п— 1)-го порядкаполучается как результат сложения п независимых случайных величин, распределенных по показательным законам с различнымипараметрамиХ15 Х2, .
. . , \ п .Следовательно, характеристическая функция будет равна произведению п характеристических функций показательных законов (см. задачу 8.55):х»*-i(*)=nк=\ ^к~ **п\ х! + \ аА=1 \к+£Если все п случайных величин распределены одинаково, то получаем закон Эрланга (п — 1)-го порядка:/.-!(*) =п-1\(\х)-\х(п-1)!(*>0),с характеристической функциейX0»-i(O =Х-«Jп.. \Х^ + Хй[\2+t2)8.64. Имеется случайная величина Yy распределенная по показательному закону с параметром X:/ Ы = Хе-х»(у>0).Случайная величина X при заданном значении случайной величины Y= у распределена по закону Пуассона с параметром у:P(X = k\Y = y) =^e-к\(4 = 0,1,2, ...)•Найти безусловный закон распределения случайной величины X.250Р е ш е н и е .
Полная вероятность события X = к будет°° » *XР(Х = jfe) = J ^ - e " y Хе^Чу = — J yk e~{l+y)y dy =о'оА+1Л&!(1+\)-<>=:>Ц_^(ft = 0,1, 2 , . . . ) .=Vft!(1 + X)*+1Если ввести обозначенияX1+X1.p; -—г1+X = 9 = ! -P.получимP(X = k)=pqk(ft = 0,1, 2,...),т.е. случайная величина Хподчинена закону Паскаля с параметромXV—•1+Х8.65. На космическом корабле установлен счетчик Гейгера дляопределения числа космических частиц, попадающих в него за некоторый случайный интервал времени Г. Поток космических частиц — пуассоновский с плотностью X; каждая частица регистрируется счетчиком с вероятностью р.
Счетчик включается на время Г,распределенное по показательному закону с параметром |х. Случайная величина X — число зарегистрированных частиц. Найтизакон распределения и характеристики тх, Dx случайной величины XР е ш е н и е . Предположим, что Т = t, и найдем условную вероятность того, что X —га(га = 0,1, 2,...):Р(х =то|*)=(М1е-м.га!Тогда полная вероятность события X = га будетР(Х = тп)= 7№)1е-*11е-*(ь =Jо— (Xp)mm!Jга!m.
!$tme-{^+»)bdt=\iV- f XpXp + p,[Xp + nJ(Хр)г(\p + ц)1m+l(m = 0 , 1 , 2 , . . . ) 251А это и есть распределение Паскаля с параметром — - — (см.Хр + р,предыдущую задачу), поэтому (см. задачу 5.15)Хрт„ =D =\i_\р + \i \р + \i\р (\р + у)\рХр + (л [\р + \х)^2\р\i(\р)2, \р+ — = ™х(тх + 1 ) .{ М- JМ-8.66. Решить задачу 8.65 при условии, что счетчик включаетсяна случайное время Г с плотностью распределения f(t) (t > 0).Р е ш е н и е . Так же, как и в предыдущей задаче, условный закон распределения величины Хпри Т— t:P(X = m\t) ={\pty0-^Pt(m = 0 , 1 , 2 , . . .
) .m!Безусловный закон распределения будет{\Pty-\ptf(t)dt(m =0,1,2,...).m\Находим числовые характеристики случайной величины X.Условное математическое ожидание mx^t = \pt; безусловное математическое ожиданиеоооотх — \ ^ptf(t)dt= \p I tf(t) dt =\pmt,где mt = М[Т].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
