Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Закон распределения сечения X(t) есть закон Пуассона с параметром а = \t, значит, вероятность того, что случайная величина X(t) примет значение т, выражается формулой(\t)'-\t(m = 0 , 1 , 2 , . . . ) •т!Математическое ожидание и дисперсия случайной функцииX(t) будутРт =mx(t) = \t]Dx(t) = \t.Найдем корреляционную функцию Kx(t,t'). Пусть t' > t. Рассмотрим интервал времени (0, t') (рис. 9.20, б). Разобьем этот интервал на два участка: от 0 до t и от t до t'. Число вызовов на всеминтервале (0, t') равно сумме чисел вызовов на интервалах (0, t) иX(t') = X(t) +Y(t'-t),где Y(t' — t) — число вызовов, пришедших на интервале (t, t'); вследствие стационарности процесса случайная функция Y(t) имеет то жеВозможностью появления вызова в точности в момент t пренебрегаем.279распределение, что и X(t); кроме того, согласно свойствам пуассоновского потока событий, случайные величины X(t) и Y(t' - t) некоррелированы.ИмеемKx(t,t') = M[X(t)X(t')} == M[X(t)(X(t) + Y(t'-t))}= M[(X(t))2} = Dx(t) = \t.Аналогично при t > t' получаемKx(t,t') = \t'.Таким образом,Kx(t,tf) =\min{t,t'},где min {t,t'} — минимальная из величин t, t' (при t = t' в качествеминимальной можно взять любую из величин t, t').Пользуясь символом единичной функции 1(ж), можно записать корреляционную функцию в видеКх ( М ' ) = X* i(i' - t) + \t' i(t - *')•На рис.
9.20, в показана поверхность Kx(t,t'). В квадрантеt> 0 и £ ; > 0 поверхность #,,.(£, £7) состоит из двух плоскостей,проходящих соответственно через оси Ot и Ot' и пересекающихся по линии ODx, аппликаты точек которой равныдисперсии \t.Нормированная корреляционная функция равнаrx(t,t,)^-FbML==Ki(t'-t)+Ki(t-t').Поверхность rx(t,t') показана на рис. 9.20, г.9.21.
Случайный процесс X(t) возникает следующим образом.На оси времени Ot имеется стационарный пуассоновский (простейший) поток событий с плотностью X. Случайная функция X(t) попеременно принимает значения +1 и - 1 ; при наступлении каждогособытия она скачком меняет свое значение с +1 на -1 или наоборот (рис.
9.21, а).Найти характеристики mx(t), Dx(t) и Kx{t,tl)случайнойфункции X(t).280Р е ш е н и е . Сечение случайной функции X(t) имеет закон распределения, представленный рядомф)-1+1Pi(t)1212Действительно, так как моменты перемен знака никак несвязаны со значением случайной функции, нет никаких оснований считать какое-либо из значений + 1 , - 1 вероятнее другого.Отсюда-± + i = 0;mx(t)22 Ш = (-1)22l + l ' - i : 1.Чтобы найти корреляционную функцию Kx(t,t'\рассмотримкакие-то два сечения случайной функции: X(t) и X(t') (t1 >t) инайдем математическое ожидание их произведения:Kx(t,t')= M[X(t)X(t')}=M[X(t)X(t%Произведение X(t) X(t') равно - 1 , если между точкамиtut'произошло нечетное число событий (перемен знака), и равно + 1 ,если произошло четное число перемен знака (включая нуль).ХШГ|+-'•Н—•—tKx(t,t')Рис.
9.21281Вероятность того, что за время т = t' — t произойдет четноечисло перемен знака, равнаРЧ6Т~ (Хт) 2 "Хтк(2т)1 -е-хт е4-е=еаналогично вероятность того, что за время т произойдет нечетноечисло перемен знака, будетРпеч =е,Хт-Хт е.-ХтОтсюда/Г,(*|*/)=(+1)Рчег+("1)Рне,=в-2Хтгдет — t' — t.Аналогично при t' < t найдемЛГ,(*,*,) = е- а > ( - т ) ,гдет — t' — t.Объединяя эти две формулы, получимKx(t,t')= kx(r) = e - ^ .График этой функции показан на рис. 9.21, б.
ПоверхностьKx(t,t') = е - 2 Х М > показана на рис. 9.21, в.Случайная функция X(t) стационарна. Ее спектральная плотность равна1 °°^ И = ^/Мт)е-^т:=2Х7v(4\ 2 +u; 2 )9.22. Случайный процесс X(t) возникает следующим образом.На оси Ot имеется стационарный пуассоновский поток событий сплотностью X (рис. 9.22). При наступлении каждого события случайная функция X(t) скачком меWAняет свое значение, принимая, неX(t)—iзависимо от предыстории процесX_(tf)ca, случайное значение V исохраняя его до момента появления следующего события.
Слу-j»—9—t чайная величина V непрерывна иО-!имеет плотность распределения4>(v). Найтихарактеристикиms(t), Dx(t) и Kx(t,t') случайнойРис. 9.22функции X(t).282Р е ш е н и е . Любое сечение случайной функции X(t) распределено по закону ф (х); отсюдаоооот x(t) = mv = fxy(x)dx; Dx(t) = Dv = J* (ж - m v )\{x)dx.Корреляционную функцию Kx(t,t') находим с помощью тогоже приема, что и в задаче 9.21. Рассмотрим два сечения X(t) иX(t') (tf >t\ разделенные интервалом т = t' — t.ИмеемK,(t,t')=M[X(t)X(t%Если между точками t, t' не появилось ни одного события, тоX(t') = X(t) и Kx{t,t') = M[(X(t))2] = Dx(t) = Dv.
Если междуооточками t, t появилось хотя бы одно событие, то M[X(t) X(t )] = 0.ОтсюдаKx(t,t') = e-^Dv+[l-e-^]-0= Dve-x\Аналогично при t' < t Kx(t,t') = Dve~x^"T^, откуда корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t) равнаKs(r) =Dve-W.Эта корреляционная функция не зависит от вида закона распределения ф(г/), а зависит только от его дисперсии Dv.9.23. Случайный входной сигнал X(t) преобразуется с помощью реле в случайный выходной сигнал Y(t), связанный с X(t) нелинейной зависимостью Y(t) — sgn X(t)> т. е.1 приY(t) = \X(t)>0}0 при X(t) = 0,- 1 приX(t)<0.Входной сигнал представляет собой случайную функцию X(t),рассмотренную в предыдущей задаче 9.22. Найти закон распределения сечения случайной функции Y(t) и ее характеристикиmy(t),Ky(t,t').Р е ш е н и е .
Случайная функция Y(t) может приниматьтолько два значения: +1 и - 1 (значением 0 можно пренебречь,так как P(X(t) = 0) = 0). Вероятность того, что X(t) > 0, равна р =оо= / ф (х) dx. Ряд распределения случайной величины Y(t) имеетовид283vit)-11Pi(t)1-ppОтсюда my = 2p - 1; Dy = 1 - (2p - l ) 2 = Ap (1 - p). Пустьt' >tnt' — t = r. Если за время т в пуассоновском потоке не появилось ни одного события (а вероятность этого равна е" Хт ), тозначения случайной функции Y(t) и Y(tf) равны друг другу и условная корреляционная функция Ky(t,t') = Dy(t) = 4p (1 - р).Если же за время т появилось хотя бы одно событие, то Y{t) иY(t') между собой не коррелированы и условная корреляционнаяфункция Ky(t,t') равна нулю.
Отсюда при t' > tKy(t,t')=e-Xr4p(l-p),а в общем случае (при любых t, t')Ky(t,t') = ky(r) =e-^4p(l-p).9.24. Случайный входной сигнал X(t), рассмотренный в задаче9.22, преобразуется в случайный выходной сигнал Y(t) с помощьюреле с зоной нечувствительности:w o = |sgnX(t)[Опри | X ( t ) > £' 'при\X(t)\<e9где е — зона нечувствительности реле.Требуется найти закон распределения сечения случайнойфункции Y(t) и ее характеристики: математическое ожидание икорреляционную функцию.Р е ш е н и е . Случайная величина Y(t) при любом t может принимать одно из трех значений: —1, 0,1 и имеет ряд распределения* • ( * )-101Pit)PiР2Рггде—£р1 = P(X(t) < -е) = J ф (х) dx;—ООср2 = Р ( - е <X(t)<284е) = f <p (x) dx;рг =?(X(t)>e)=j4>(x)dx.Отсюда™>v = рг -рг;Dy =px+pz- ( р 3 ~ Pi)2-Рассуждая аналогично тому, как это делалось в предыдущейзадаче, определяем корреляционную функциюky(T) =e-^[Pl+p3-(p3-Pin9.25.
Случайная функция X(t) преобразуется в случайнуюфункцию Y(t) с помощью нелинейного элемента, работа которогоописывается формуламиY(t)—bebX(t)beпри X(t) < —е,при\X(t)\<e,при X(t) > е.График зависимости у(х) показан на рис. 9.25, а.F(y\lh---УbeР27-е11 уГу 0еР\бе-be ОfeeРис. 9.25На вход такого элемента поступает случайная функция X(t),рассмотренная в задаче 9.22. Найти одномерный закон распределения случайной функции Y(t) и ее характеристики: математическое ожидание и корреляционную функцию.Р е ш е н и е .
Случайная величина Y(t) — сечение случайнойфункции Y(t) — имеет непрерывное распределение в открытоминтервале (-fee,fee)и, кроме того, дискретные возможные значения-fee иfeeс отличной от нуля вероятностью; таким образом, сечениеY(t) представляет собой смешанную случайную величину, функция распределения которой F{y) непрерывна на участке (—fee, fee),а на концах участка — в точках (-be) и (be) — терпит разрыв. Скачки F(y) в точках разрыва равны285—еP(Y(t) = -fe) = P(X(t) < - e ) = f^{x)dx=Pl,-COOOP(7(i) = fe) = Р Д О ) >e) = fy(x)dx= p2.£Найдем функцию распределения случайной величины У(£) впромежутке (-Ье, Ье):F(i/) = P(Y(t) < у) = p[x(t) < ^ - / ф (ar) dx =— 00У.Ь= Л + / Ф (х) ^(""^ < У < Ье)-—£График функции распределения F(y) показан на рис.
9.25, б.Плотность распределения смешанной случайной величины Y(t) винтервале (-Ье, Ье) равна производной от F(y) на этом интервале:'w-''w-Ит)при—Ье < у < Ье.Характеристики случайной функции У(£) равныту(*) = ту =~bePi +bep2 +-Jyy\?L\dy=—Ье£= Ье(р2 — рг) + Ь I хср(ж) dx]—£m* =—&££= Ь 2 е 2 (р х + р2) + Ь2 f х2ч>(х) dx - т2у .—£Аналогично предыдущим задачам находим корреляционнуюфункцию2869.26*. Рассматривается случайная функция Y(t) — Wcos xх (u;^ - 0), где W — центрированная случайная величина с дисперсией Dw, 0 — случайная величина, распределенная с постоянной плотностью в интервале (0,2тт), a шх — неслучайный параметр(ш1 >0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
