Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 39
Текст из файла (страница 39)
1 = 1.22Найдем корреляционную функциюKx(t,t+ r) = M[X(t) X(t + т)] = M[X(t) X(t + т)].Так как произведение может принимать только два значения+ 1 или — 1,тоM[X(t)X(t+ T)) = l.p1+(-l).(l-Pl)=2p1-l,293где pt — вероятность того, что точки t и t + т попадут на участки, вкоторых Х( t) и X(t + т) имеют один и тот же знак. В силу равномерности распределения сдвига Тна рис. 9.31, а можно перенести начало отсчета в левый конец того участка, на котором находится точка t,и считать, что точка t равномерно распределена в интервале (0, 1)(рис.
9.31, б). При таком толковании рх есть вероятность того, чтоточка (t + т) попадает в какой-либо из интервалов вида (2п, 2п + 1),п = 0, ± 1, ± 2,... (эти интервалы отмечены жирными линиями нарис. 9.31, б). Подсчитаем эту вероятность для разных значений т.При 0 < т < 1 точка (t + т) может попасть либо в интервал (0, 1),либо в интервал (1,2), поэтомуPl= Р (t + т < 1) = Р (t < 1 - т) = 1 - т.При 1 < т < 2 точка £ + т может попасть либо в интервал (1,2),либо в интервал (2, 3), поэтомург = Р (t + т > 2) = Р (t > 2 - т) = 1 - (2 - т) = т - 1.Продолжая эти рассуждения, получим1[ 1 - ( т - 2 п ) при 2 г а < т < 2 п + 1,{(т - 2п) - 1 при 2п + К т < 2п + 2.Отсюда видно, что pv а значит и Кх (£, t + т) = 2рг — 1, зависиттолько от т и является четной функцией т.
Следовательно,Г4п + 1 - 2тKx(t,t + T) = kx(T) = \чxV*v ' [ 2 т - ( 4 п + 3)приF2п < т < 2п + 1,при2п + К т < 2 п + 2.График корреляционной функции представлен на рис. 9.31, в.9.32. Случайная функция Jf(£) представляет собой последовательность равноотстоящих положительных импульсов, имеющиходинаковую ширину ^ < - Начало каждого импульса отделено отначала каждого следующего единичным интервалом (рис. 9.32, а).Последовательность импульсов занимает относительно оси 0£случайное положение (см. условия предыдущей задачи).
Величина г-го импульса [/• случайна, распределена по одному и тому жезакону с математическим ожиданием ти и дисперсией Du и не зависит от величин остальных импульсов. Найти характеристикислучайной функции X(t): математическое ожидание mx(t\ дисперсию Dx (t) и корреляционную функцию.Р е ш е н и е . Математическое ожидание случайной функцииX(t) по формуле полного математического ожидания равно294Дисперсию найдем через второй начальный момент:а 2 [ а д ] = а 2 ^ Н + 0 . ( 1 - ч ) = ч(£>и + т * ) ,откудаDx = a2[X(t)}~ml =^ (Du + m\ ) - ^rn2u= 1DU + 4 (1 - 4) m\ .В данном случае случайная функция X(t) нецентрирована.
Еекорреляционную функцию будем искать через второй смешанный начальный момент:Kx{t,t + T) = M[X(t)X(t+T)]-mlНайдем M[X(t) X(t + т)] по формуле полного математическогоожидания. Как и в предыдущей задаче, представим ось Ot покрытой перемежающимися участками: зачерненные соответствуютимпульсам, а светлые — промежуткам между ними. ОбозначимТ — случайное значение левой границы участка (Г, Т + т). Возможны три гипотезы:Ht — обе точки Г и Г 4- т попали на участок одного и того жеимпульса;Я2 — одна из точек Т, Т + т попала на участок одного из импульсов, а другая — другого;# 3 — хотя бы одна из точек Г, Т + т попала вне участков каких-либо импульсов.Dx=lDu+^(l-~i)mbбРис.
9.32295При первой гипотезе величины Х( Т) и Х(Т + т) совпадают иM[X(T)X(T+T)}+m2u.= M[U2} = DUПри второй гипотезе величины Х(Т) и Х(Т + т)представляютсобой независимые случайные величины с одинаковыми математическими ожиданиями гаи; по теореме умножения математических ожиданий М[Х(Т) Х(Т + т)] = га \ .При третьей гипотезеМ [ Х ( Т ) Х ( Т + т ) ] = 0.Полное математическое ожидание будетM[X(t)X(t+т)]^Р (HX)(DU +ml)+P(H2)ml.Вероятности Р(Щ) и Р(# 2 ), а значит, и корреляционная функция зависят только от т.1) при 0 < т < чP ( ^ ) = T-T,Р ( Я 2 ) = 0;»![*(*)*(*+ т)] = ( ч - т ) ( Д , + m 2 ) .Корреляционная функция на этом интервале**(T) = (4-T)(Z> tt + т * ) - Щ 2 г о * ;2) при ч < т < 1 — чР ( Я 1 ) = 0; Р ( Я 2 ) = 0; M [ I ( O I ( t + T)] = 0;3) при 1 - ч < т < 1Р ( Я 1 ) = 0; Р ( Я 2 ) = ч - ( 1 - т ) ;M [ I ( O I ( t + T)] = h - ( l - T ) ] m ^ .MT) = ( i -1+ T ) m ii - ч 2 ™ 2 = ( ? ( - i + т - ч 2 ) ™ 2 .Дальнейшие интервалы значений т исследуются аналогичнымобразом.IГрафик функции кх(т) представлен на рис.
9.32, б. При | т | > кривая кх (т) периодически повторяется, достигая в целых точкахместных максимумов, равных ч (1 — ч)га I •9.33*. Рассматривается стационарная случайная функция X(t),представляющая собой пилообразное напряжение (рис. 9.33, а).Начало отсчета занимает по отношению к зубцам случайное положение, как в задаче 9.31. Найти математическое ожидание тпх, дисперсию Dx и корреляционную функцию.296Р е ш е н и е . Математическое ожидание тх легко найти, еслиучесть, что распределение X(t) при любом t — равномерное на интервале (0, 1).
Отсюда тх = - .Для отыскания корреляционной функции поступим следующим образом: свяжем последовательность зубцов жестко с осью(И, но зато будем случайным образом бросать на эту ось начало tотрезка (t, t + т) (рис. 9.33, б). Так как зубцы периодичны, достаточно случайным образом бросить точку t на первый интервал(О, 1), распределяя ее с постоянной плотностью.X(t)1.^.[-*^1,Г,1,Г,1.Гл|О t 1*+т2Рис.
9.33При этом, как видно из рис. 9.33, б, значение X(t) = t , a значение X(t + т) равно дробной части числа £ + т, т.е.X{t + T) = t + T-E{t+ T),где Е (t + т) — целая часть числа (t + т). Если целая часть числа травна п, п < т < п + 1, то\ппри t + т < п -f 1,Я(* + т) =1 п + 1 при t + т > п + 1,и, значит,Х(* + Т):£+ т - пt + т - (п + 1)при £ < п + 1 - т,при t > п + 1 - т.По формуле для математического ожидания функции от случайной величины t имеем при п < т < п + 1:1M[X(t) X(t + т)] = jX(t)X(t + т) • 1 • Л =оп +1-т=J1t(t + r-n)dt+Оf t(t + r-n-l)dt=n+l-т2(n + 1 - т)T- n1 ,^^- +- - (n=0,±l,±2,...).У226297Отсюда следует, что корреляционная функция зависит толькоот т и при п < т < п + 1 ( п = 0 , ± 1 , ± 2 , ...) имеет видKx(t,t+ T) = kx(T) = M[X(t)X(t__ (п + 1 - т) 22T)]-m2x=:+т-п2512'Это периодическая функция с периодом 1, график которой состоит из периодически повторяющихся отрезков парабол, обращенных выпуклостью вниз.В интервале 0 < т < 1 это парабола2212с вершиной в точке |12' 24J.
Полагая т = 0, получим Dx = кх (0) =_ _1_"" 12'9.34. Рассматриваются две некоррелированные центрированные случайные функции X(t), Y{t) и их произведениеZ(t) = X(t) Y(t). Доказать, что корреляционная функция произведения равна произведению корреляционных функций сомножителей:Kz(t,t')=Kx(t,t')Ky(t,t').Р е ш е н и е . Kx(t,t') = M[Z(t) £(*')]; Z(t) = Z (t) - mz(t). Таккак случайные функции X(t) и Y(t) некоррелированны и центрировании, тоmz(t) = mx(t)my(t)= 0;отсюдаZ(t) = X(t)Y(t)=X(t)Y(t)иKz(t,t')= M[X(t)Y(t)X(t')Y(t')}^M{X(t)X(t')]M[Y(t)Y(t>)}=Отсюда, в частности, при t = t'Dz(t) =298Dx(t)Dy(t).=Kx(t,t')Ky(t,t').9.35. Доказать, что корреляционная функция произведения пнезависимых центрированных случайных функцийz(0 = nx,.(<)г=\равна произведению корреляционных функций сомножителейKz(t,t') =f[KXi(t,t').г=1Р е ш е н и е .
Доказательство аналогично предыдущему, с тойразницей, что для применения теоремы умножения математических ожиданий в этом случае недостаточно некоррелированностисомножителей, а независимости — достаточно.9.36. Рассматривается произведение двух некоррелированныхслучайных функцийZ{t) =X(t)Y(t),причем случайная функция X(t) такая, как в задаче 9.21 (случайноечередование значений +1 и -1 с простейшим потоком перемен знаков), а случайная функция Y(t) — такая, как в задаче 9.26.
Найти характеристики случайной функции Z(t).Z(t)=X(t)Y(t)Рис. 9.36Р е ш е н и е . Имеем:mx(t) = my(t) = 0; m2(t) = 0;299#,(*,«') = е" 2Х ' т '; Ky(t,t')^^cos^T(r =t'-t).На основании задачи 9.34 имеемKz(t,t')= Kx{t,t')D„,-2ХЫ= -JjLe-2^Ky (t,f)cos ы х т.На рис. 9.36 показана одна из возможных реализаций случайной функции Z(t), полученная перемножением соответствующихординат реализации случайных функций X(t) и Y(t).9.37. На телефонную станцию поступает простейший потокзаявок с плотностью X.
Случайная функция X(t) — число заявок,поступившее за время t (см. задачу 9.20). Найти характеристики ееdX(t)производной Y (t) =—.dtР е ш е н и е . В обычном смысле разрывная случайная функцияX(t) недифференцируема, однако, пользуясь обобщенной дельта-функцией, можно записать характеристики производной. Преобразование Y(t) = — — , связывающее случайную функцию Y{t)dtс X(t), является линейным однородным. Поэтому на основе задачи 9.20m yK(t1t,)"= -^Kx(t,t/)^='dtmx^='dtXt==X;= —{^\\tl(t,-t)+ \t,l(t-t,)]}/[at at'dt[at= j-[\(t-t')b(t-t')=JJ+\l(t-t')lно(t - t')6 (t - t') = 0, откуда^ ( * > ' , ) = ^ ( Х 1 ( * - « , ) ) = Х 6 ( * - * , ) = Х6(т).Таким образом, корреляционная функция случайной функцииY(t) пропорциональна дельта-функции, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
