Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Если все эти потоки пуассоновские(т.е. ординарные и без последствия, с постоянной или зависящей от времени интенсивностью), то процесс, протекающий в системе S, будет марковским.Рассматривая марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, очень удобно пользоваться графом состояний, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния S;B Sj;, проставлена интенсивность \{j потока событий, переводящегосистему по данной стрелке (рис. 10.0.8). Такой граф состояний называют размеченным* *.Вероятность того, что система S, находящаяся в состоянии sif за элементарный промежуток времени (J, t+ dt) перейдет в состояние Sj (элемент вероятности перехода из s{ в s), есть вероятность того, что за это вре4На графе состояний системы с непрерывным временем мы не будем проставлятьпетли, соответствующие задержке системы в данном состоянии, так как такая задержка всегда возможна.323мя dt появится хотя бы одно событие потока, переводящего систему S из s{в Sj.
С точностью до бесконечно малых высших порядков эта вероятностьравна \ijdt.Потоком вероятности перехода из состояния s{ в Sj называется величина \jp. (t) (здесь интенсивность \{j может быть как зависящей, так и независящей от времени).Рассмотрим случай, когда система S имеет конечное число состоянийs1, 5 2 ,..., sn. Для описания случайного процесса, протекающего в этойсистеме, применяются вероятности состоянийMt),P2(t),-,Pn(t),(10.0.15)где р{ (t) — вероятность того, что система 5 в момент t находится в состоянии s-:p,.(t) = P{S(*) = s,.}.(Ю.0.16)Очевидно, для любого t£ > * ( * ) = !•(Ю.0.17)Для нахождения вероятностей (10.0.15) нужно решить систему дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид^= EVi(*)-Pi(*)E4(< = i,2,...,n),или, опуская аргумент t у переменных р{,% =£Ч*;-л£х*at(*=l,2,...,n).(10.0.18)i=ij=\Напомним, что интенсивности потоков Х^ могут зависеть от времени t(аргумент t для краткости написания опущен).Уравнения (10.0.18) удобно составлять, пользуясь размеченным графом состояний системы и следующим мнемоническим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, переводящих из других состояний в данное, минус сумма всехпотоков вероятности, переводящих из данного состояния в другие.
Например, для системы S, размеченный граф состояний которой дан нарис. 10.0.8, система уравнений Колмогорова имеет видdp1 I dt= \31p3 + \41р4 - (Х12 4- Х14) д ;dp2 J dt = \ирг - Х23р2;Ф 3 / dt= \zP2 ~ (\l + Х34 + Х35) PVdp4 J dt= \upx + X34p3 + X51p5 - X41p4;dpj324dt=\3bPl-X54p5.(Ю.0.19)Так как для любого t выполняется условие (10.0.17), можно любую извероятностей (10.0.15) выразить через остальные и таким образом уменьшить число уравнений на одно.Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (10.0.18) длявероятностей состоянийp^i), р2(*)» •••> P n (Q,нужно задать начальное распределение вероятностей(10.0.20)Pl(0),P2(0),...,Pi(0),...,Pn(0),сумма которых равна единице:Ел(о) = 1Если, в частности, в начальный момент t — 0 состояние системы S вточности известно, например, 5(0) = s{, то р{ (0) = 1, а остальные веротности (10.0.20) равны нулю.Во многих случаях, когда процесс, протекающий в системе, длитсядостаточно долго, возникает вопрос о п р е д е л ь н о м п о в е д е н и и в е р о я т н о с т е й р{ (i) при t —• со.
Если все потоки событий, переводящиесистему из состояния в состояние, являются простейшими (т.е. стационарными пуассоновскими с постоянными интенсивностями Х^.), в некоторых случаях существуют финальные (или предельные) вероятности состоянийр{ = lim р{ (t) (i = 1,t—• oon),(10.0.21)не зависящие от того, в каком состоянии система S находилась в начальный момент. Это означает, что с течением времени в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходитиз состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются.В этом предельном режиме каждая финальная вероятность может бытьистолкована как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии.Система, для которой существуют финальные вероятности, называется эргодической и соответствующий случайный процесс — эргодическим.Для существования финальных вероятностей состояний одногоусловия Х^ = const недостаточно, требуется выполнение еще некоторых условий, проверить которые можно по графу состояний, выделивна нем «существенные» и «несущественные» состояния.
Состояние s{ называется существенным, если нет другого состояния Sj такого, что, перейдя однажды/\каким-то способом из s{ в sjf система ужеI IIг^не может вернуться в s{. Все состояния,не обладающие таким свойством, называются несущественными.«гНапример, для системы 5, граф состояний которой дан на рис.
10.0.9, сор и с \QQQ325стояния sv s2 несущественны (из sx можно уйти, например, в s2 и не вернуться, а из s2 в s4или 55 и не вернуться), а состояния s4, s5, s3, ^6,!>-,S—w1 57 — существенны (существенные состояния1 s3жирными линиями)._MoJ обведеныРис 10 0 10^ Р и к о н е ч н о м числе состояний п для существования финальных вероятностей необходимо и достаточно, чтобы из каждого существенного состояния можно было {за какое-то число шагов) перейти вкаждое другое существенное.
Граф, представленный на рис. 10.0.9, этомуусловию не удовлетворяет (например, из существенного состояния s4нельзя перейти в существенное состояние s6); для графа, показанного нарис. 10.0.10, финальные вероятности существуют (из каждого существенного состояния возможен переход в каждое другое существенное).Несущественные состояния потому так и называются, что из каждоготакого состояния система рано или поздно уйдет в какое-то из существенных и больше не вернется.
Естественно, финальные вероятности для несущественных состояний равны нулю.Если система Sимеет конечное число состояний sx, s 2 ,..., s n , то для существования финальных вероятностей достаточно, чтобы из любого состояния системы можно было (за какое-то число шагов) перейти в любоедругое. Если число состояний sx, s2,..., sn,... бесконечно, то это условиеперестает быть достаточным, и существование финальных вероятностейзависит не только от графа состояний, но и от интенсивностей \ ^ .Финальные вероятности состояний (если они существуют) могутбыть получены решением системы линейных алгебраических уравнений,они получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если положить в них левые части (производные) равными нулю.
Однако удобнеесоставлять эти уравнения непосредственно по графу состояний, пользуясь мнемоническим правилом: для каждого состояния суммарный выходящий поток вероятности равен суммарному входящему. Например, длясистемы S, размеченный граф состояний которой дан на рис. 10.0.11,уравнения для финальных вероятностей состояний имеют видx _>ч_slS2~—4 < F(X12 + \ 3 ) P l = \lP2>(Х21 + \24)р2= \2рг -Ь Х42р4;(ХЗ4 + \ И ) Р З = \ З Й ;Х42 РА = \АР2ХРис. 10.0.11326+54 Pb =Х34^3 +(Ю.0.22)Х54?5;\bPs-Таким образом, получается (для системы Sс п состояниями) система п линейных однородных алгебраических уравнений с п неизвестными р1, р2,..., рп.
Из этой системы можнонайти неизвестные р1, р2,..., рп с точностью допроизвольного множителя. Чтобы найти точ-^n-lI—L°J—£ц—pu _J—liii—IHi>2^3HVk-iM*+i_Vn-fjРис. 10.0.12ные значения pj,..., pn, к уравнениям добавляют нормировочное условиеРх + р2+ ••• + Pn = 1> пользуясь которым можно выразить любую из вероятностей р{ через другие (и соответственно отбросить одно из уравнений).На практике очень часто приходится встречаться с системами, графсостояний которых имеет вид, показанный на рис. 10.0.12 (все состояния можно вытянуть в цепь, причем каждое из них связано прямой иобратной связью с двумя соседними, кроме двух крайних, каждое из которых связано только с одним соседним).
Схема, изображенная нарис. 10.0.12, называется схемой гибели и размножения. Это название заимствовано из биологических задач, где состояние популяции sk Ьзначает наличие в ней к единиц. Переход вправо связан с «размножением»единиц, а влево — с их «гибелью». На рис. 10.0.12 «интенсивности размножения» (\ 0 , \,..., Х п-1 ) проставлены у стрелок, ведущих слева направо, «интенсивности гибели» (р,1? р, 2 ,..., р,п-1) — у стрелок, ведущихсправа налево; каждая из них отмечена индексом того состояния, из которого исходит соответствующая стрелка.Для схемы гибели и размножения финальные вероятности состоянийвыражаются формулами:Р2 = - L L - L P o ; - - - ;ft = — ft»M<lM<2XQXI..._ \)V"4-iPn —.ft)»Ро =XJLI1 + \^ - +,Ml(к =0, ...,n);...;W +...+ •.
(10.0.23)МаМ>2---М<пH-lM-2Обратим внимание на правило вычисления любой вероятности состояния (при А; = 1, 2,..., п)_ \)У--\ь-1Pit —ft)>M-lM-2 — Hjfcкоторое можно сформулировать так: вероятность любого состояния всхеме гибели и размножения (см. рис. 10.0.12) равна дроби, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей размножения, стоящихлевее sk, а в знаменателе — всех интенсивностей гибели, стоящих левее sk,умноженной на вероятность крайнего левого состояния р0.Если процесс описывается схемой гибели и размножения, то можнозаписать дифференциальные уравнения для математического ожидания327и дисперсии случайной функции X(t) — числа единиц в системе в моментвремени tdmx{t) _(10.0.24)J2(\-Vk) Phi*)',dtk=0dDx{t)dt£ [Xt + |xk + 2k (X, - цА) - 2mx(t) (X, - ц4)] pk(t).( 10.0.25)jfc=0В этих формулах нужно полагать Хп = р,0 =0.
ИнтенсивностиXfc(0 < к < п — 1)н\хк (1 < к < п) могут быть любыми неотрицательнымифункциями времени.При достаточно больших значениях mx(t) (> 20) и выполнении условия 0 < mx(t) ± &yjDx(t) < n можно приближенно полагать, что сечениеслучайной функции X(t) представляет собой нормальную случайную величину с параметрами mx(t), <y]Dx(t), полученными решением уравнений(10.0.24), (10.0.25). Формулы (10.0.24) и (10.0.25) остаются справедливыми при п —> оо, если верхний предел в суммах заменить на оо.10.1.
Производится наложение («суперпозиция») двух простейших потоков: 1) потока I с интенсивностью \ г и 2) потока II синтенсивностью Х2 (рис. 10.1). Будет ли поток III, получившийсяв результате суперпозиции, простейшим, и если да, то с какой интенсивностью?У УIIШ;T f*—у-4» 4 + — * -У У-*-*-У УУ-#*-* * **—*-*—tРис. 10.1Р е ш е н и е .
Да, будет, так как свойства стационарности, ординарности и отсутствия последействия сохраняются; интенсивность потока III равна Хх + Х2.10.2. Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью X; каждое событие, независимо отдругих, с вероятностью р сохраняется в потоке, а с вероятностью1 — р выбрасывается (в дальнейшем такую операцию будем называть ^-преобразованием потока). Каким будет поток, получающийся в результате ^-преобразования простейшего потока?Р е ш е н и е .
Поток будет простейшим с интенсивностью \р.Действительно, все свойства простейшего потока (стационарность, ординарность, отсутствие последействия) при ^-преобразовании сохраняются, а интенсивность умножается на р.32810.3. Интервал времени Т между событиями в ординарном потоке имеет плотностьt >t О?t<t«(10.3)Интервалы между событиями независимы. 1) Построить график плотности f(t). 2) Является ли данный поток простейшим?3) Является ли он потоком Пальма? 4) Какова его интенсивность X?5) Каков коэффициент вариации vtинтервала между событиями?Р е ш е н и е . 1) См.
рис. 10.3; распределение такого вида назовем«сдвинутым на t0 показательным».2) Нет, не является, так как распределение(10.3)непоказательное.3) Да, является в силу ординарностипотока, независимости интервалов иРис. 10.3одинакового их распределения.4)Х = 1/М[Г]; М[Г] = 1 / \ + *0; Х = (1 / X + * 0 )5)D[T] = i ;о, =1_,V,= •М[Г]1/Х1/Х + ^0= Х/(1 + Х*0)1 + Х*010.4. На оси 0t имеется простейший поток событий с интенсивностью X.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
