Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Из этого потока формируется другой следующим образом: интервал между каждыми двумя соседними событиями делится пополам и в точку деления вставляется еще одно событие(на рис. 10.4 где кружками обозначены основные, крестиками —вставленные события). Найти плотность распределения f(t) интервала Т между соседними событиями в новом потоке. Будет лиэтот поток простейшим? Будет ли он потоком Пальма? Каков коэффициент вариации интервала Г между событиями?Р е ш е н и е . Т — X / 2, где X имеет показательное распределение с параметром Х:/Х(х) = \е~Хх(х > 0). Пользуясь решением задачи 8.1 и полагая в формуле (8.1) а = 1/2; 6 = 0, получаем/(г) = 2Хе^Л£(г>о).(10.4)Это есть показательное распределение с коэффициентом вариации vt = 1. Тем не менее новый поток не будет ни простейшим,ни даже потоком Пальма.
Докажем сначала, что он не будет потоком Пальма. Хотя интервалы между событиями распределеныодинаково по закону (10.4), они не являются независимыми. Рас329•ю-хе х 0x0—х-0—Х-ФФ x ©—х—©—tоРис. 10.4смотрим два соседних интервала между событиями потока. С вероятностью 1/2 они независимы, с вероятностью 1/2 равны другдругу, следовательно, зависимы.
Таким образом, новый поток событий — не пальмовский. Естественно, он не будет и простейшим,так как простейший поток — частный случай пальмовского.Таким образом, показательное распределение интервала между событиями — недостаточное условие для того, чтобы потокбыл простейшим.10.5. Условия те же, что и в предыдущей задаче, с той разницей, что преобразованный поток состоит только из «крестиков»(середин интервалов). Ответить на те же вопросы, что и в предыдущей задаче.Р е ш е н и е . Очевидно, что интенсивность нового потока по сравнению с интенсивностью исходного не изменится и останется равнойX. Интервал между двумя соседними крестиками (рис.
10.5) равенТ = (Х{ +Xi+1)/2,(10.5)где Xiy X. +1 — два соседних интервала исходного потока. ВеличиныХ# X i+l распределены обе по показательному закону с параметромX, а их полусумма (10.5) — по нормированXХному закону Эрланга 2-го порядка, так как0х' 0—х~~0t и н т е Р в а л Нравен сумме двух независимых' 1—'показательно распределенных случайныхвеличин, деленной на два. Таким образом,Рис. 10.5интервал Тмежду двумя крестиками имеет плотность/(0 = 4\He~At (t > 0).В преобразованном потоке все соседние интервалы временибудут зависимы, так как в состав этих интервалов входят одни ите же случайные величины. Однако эта зависимость распространяется только на соседние интервалы времени.
Такие потоки иногда называют потоками со слабым последействием.Коэффициент вариации vt для случайной величины Г будетравен [см. формулу (10.0.7)] vt = 1 / л/2 < 1.10.6. Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью X. Человек выходит на шоссе, чтобы остановить первый попавшийся автомобиль, движущийся в данном направлении.
Найти закон распределения времени Г, которое ему придется ждать;определить его математическое ожидание mt и среднее квадратическое отклонение ot.330Р е ш е н и е . Так как простейший поток не обладает последействием, то «будущее» не зависит от «прошлого», в частности, оттого, сколько времени тому назад прошел последний автомобиль.Распределение времени Т точно такое же, как и распределениепромежутка времени между появлением соседних автомобилей,т.е. показательное с параметром \:f(t) = \e~u (t < 0); отсюдаmt = 1 / Х ; Д = 1 / Х 2 ; ot =l/\= mt; vt =1.П р и м е ч а н и е .
Если поток автомобилей, идущих по шоссе, являетсямногорядным, то его можно рассматривать как суперпозицию несколькихпотоков, соответствующих каждому ряду. Если каждый поток — простейший, то результат суперпозиции также является простейшим потоком,так как свойства стационарности, ординарности и отсутствия последействия при суперпозиции сохраняются (см. задачу 10.1).10.7.
Пассажир выходит на остановку автобуса в некоторыймомент времени, никак не связанный с расписанием движения.Автобусы следуют друг за другом регулярно с интервалом времени длины I Найти закон распределения времени Г, которое придется пассажиру ждать автобуса, и выразить его характеристикиmp ot через интенсивность потока автобусов X.Р е ш е н и е . Момент прихода пассажира распределен с постоянной плотностью на интервале длины I между двумя автобусами;плотность распределения времени ожидания Т будет также постоянная [равномерное распределение на интервале (0, 1)]:f(t) = 1/1 (0 < t < I) или, обозначая 1/7 = X, f(t) = X (0 < t < 1/Х).Для равномерного распределения на участке длины 1/Х имеемm t = l / ( 2 X ) ; Д - 1 / ( 1 2 Х 2 ) ; a t = l / ( * / 5 X ) ; vt = 1 / л/3.10.8*. На оси 0t имеется пальмовский поток событий, интервалы между которыми распределены с плотностью /(£).
На ось 0tслучайным образом бросается точка £* (например, прибывает «инспектор», наблюдающий за появлением событий, или же «пассажир» появляется на остановке автобуса), причем момент £* никакне связан с моментами появления событий потока (рис. 10.8).Найти плотность распределения того интервала Г*, на которыйпопала точка £*, его математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.Р е ш е н и е . С первого взгляда может показаться, что эта плотность — такая же, как плотность распределения f(t) любогоинтервала Т между событиями, однако это не так. Тот факт, что научасток Г* п о п а л а случайно брошенная точка t*, меняет егоно•i•-^-'•—•—х—•^** •—.Рис. 10.8•- t'331распределение; действительно, если на оси (Несть разные участки(большие и маленькие), то с большей вероятностью точка t* попадет на один из больших участков.Найдем плотность распределения f*(t) того участка Г*, на который попала точка £*.
Для этого найдем элемент вероятности/ * (t) dt, равный вероятности того, что точка £* попадет на промежуток, длина которого заключена в пределах (t, t + dt). Эта вероятность приближенно равна отношению суммарной длины всехтаких промежутков на очень большом интервале времени Q, к полной длине этого интервала.Пусть на очень большом интервале Q, уложилось большое число N промежутков между событиями. Среднее число промежутков, длина которых лежит в пределах (t,t+dt\равна Nf(t)dt;средняя суммарная длина всех таких промежутков приближенноравна tNf(t) dt.
Средняя же общая продолжительность всех N промежутков на участке Q будет (приближенно) равна Nmp гдеооmt — М[Г] = jtf(t)оdt. Разделив одно на другое, получимNmtmtЭто равенство выполняется тем точнее, чем более длительныйинтервал времени Q будет рассматриваться (чем больше N).
В пределе закон распределения случайной величины Г* будет/ * ( * ) = —/(*)(*><>)•1°°M{T*) = ±-[t2f(t)dt1(10.8)1= ^- a 2 (0 = — (A+™<2);D[T*] = a 2 [T*] - (M[T*])2 = — ft*f(t)1оdt - (M[T*])2.10.9. В условиях задачи 10.8 поток Пальма представляет собойпростейший поток с интенсивностью X, т.е. f(t) = \e~xt(t>0).Найти плотность / * (t) того интервала Г*, на который попадаетточка £*.Р е ш е н и е . С учетом того что mt — 1 / X, формула (10.8) дает/ * (t) = \2te~xt (t > 0), что представляет собой не что иное, как закон Эрланга 2-го порядка [см.
формулу (10.0.3) при к= 2].10.10*. На оси 0t имеется пальмовский поток событий с плотностью f(t) интервала Тмежду соседними событиями. Случайная точка ^(«инспектор») попадает куда-то на интервал Г* (рис. 10.10).332Она делит его на два промежутка: Q —£^tот ближайшего предыдущего события — •хf~~*до t* и Н — от t* до ближайшего послеQ** Ндующего события. Найти распределение обоих этих промежутков.^ и с - Ю.10Р е ш е н и е . Предположим, что случайная величина Г* приняла значение s: Г* = 5, и найдем условное распределение промежутка Q при этом условии.
Обозначимего плотность fQ(t \s). Так как точка t* бросается на ось Ot совершенно случайно (безотносительно к событиям потока), очевидно,она будет иметь равномерное распределение в пределах промежутка Г* = s:fQ(t\s) = l/sпри 0<t<s.(10.10.1)Чтобы найти безусловное распределение fQ (t), надо осреднитьплотность (10.10.1) с «весом» f*(s). Пользуясь формулой (10.8),получаемоо/*(*) = — / ( * ) ;fQ(t)=ffQ(t\8)f*(8)d8.Учитывая, что fQ(t\s) отлично от нуля только при s > t, можнонаписатьоооо/«(*) = f—f(s)dsJ0smt'= -±- ff(t)dt = ^-[l-F(t)},mflJmt0lгде F(t) — функция распределения интервала Г между событиями впотоке Пальма.Итак,fQ(t) = —[l-F(t)}.(10.10.2)mtОчевидно, то же распределение будет иметь и промежуток времени Н = Г * - Q:fH(t) = —[l-F(t)}.(10.10.3)mt10.11.
Пользуясь результатами предыдущей задачи, проверитьрешение задачи 10.6, полученное из других соображений.Р е ш е н и е . Имеем f(t) = \e~xt] F(t)=l-e~xt(t>0);mt=l/\.По формуле (10.10.3)fH (t) = X [1 - 1 + e~xt} = \e~xt(t > 0),т.е. задача 10.6 решена верно.33310.12. Пассажир выходит на остановку автобуса в момент времени, никак не связанный с расписанием. Поток автобусов представляет собой поток Пальма с интервалами, имеющими равномерное распределение в пределах от 5 до 10 мин. Найти: 1) плотность распределения того интервала между автобусами, накоторый попал пассажир; 2) плотность распределения времени Я,которое ему придется ждать автобуса; 3) среднее время ожиданияавтобуса./*(*)10Рис.
10.12Р е ш е н и е . Имеем f(t) = 1/5 при£ £ (5,10); mt =7,5.1) По формуле (10.8) /*(*) = */37,5 при t e (5,10). Графикплотности /*(£) показан на рис. 10.12, а.[0при t < 5;2)F(t) = \(t-5)/5[1приприОтсюда по формуле (10.10.3)[0/я(*) =5<*<10;t > 10.при t < 0;1/7,5(10 -t)/37,50приприпри0<*<5;5<*<10;t > 10.График плотности / я (t) показан на рис. 10.12, б.3) Среднее время ожидания1037,5• dt «6,11 [мин].10.13. Рассматривается поток Эрланга к-ro порядка с плотностью распределения интервала Т между событиями:Л(0 = ¥Сге-М(*>0).(*-1)!334(10.13.1)Найти функцию распределения Fk(t) этого интервала.Р е ш е н и е . Можно было бы найти функцию распределенияпо обычной формулеtFk(t) = Jfk(t)dt,Оно проще найти ее исходя непосредственно из определенияFk(t) = P{T<t}.Перейдем к противоположному событию и найдем Р { Т > i}.Свяжем начало отсчета 0 с одним из событий потока Эрланга иотложим от него вправо два участка: Т (расстояние до следующего события потока ЭрТ/ланга)и*<Т(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
