Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 45
Текст из файла (страница 45)
10.13).Для выполнения неравенства Т> t нужно, чтобы на участок t попало меньше чем ксобытий простейшего потока с интенсивностью X (либо 0, либо 1,..., либо к — 1).Вероятность того, что на участок t попадет га событий, равнахР _ ( *г с-*га!По правилу сложения вероятностейш=0™!e U= 1 - Д (* - 1> * 0 , (Ю-13.2)откудак-1F(\f\™n (0 = 1 - Е ^ Г~где 1 — R (га, а) — табулированная таблица (см. табл.
1 прил. 1).10.14*. Поток отказов ЭВМ представляет собой поток ЭрлангаА;-го порядка с плотностью (10.13.1) интервала между отказами(восстановление машины после отказа происходит мгновенно).«Инспектор» прибывает в случайный момент времени £* и ожидает первого отказа. Найти плотность распределения времени Я, втечение которого ему придется ждать отказа, и его математическое ожидание гая.Р е ш е н и е. По формуле (10.10.3)mtгде Fk(t) дается формулой (10.13.2), а т ( —к/\.Отсюда335/ * ( 0 = 4 £ ^ f e-* =igM^L e -x (k^omlk^0TO!(i>0) .(Ю.14.1)Перепишем формулу (10.14.1) в виде&^(г-1)!Из (10.14.2) видно, что случайная величина Я имеет распределение, «смешанное» из к эрланговских распределений разных порядков; с одинаковой вероятностью \/к она имеет эрланговскоераспределение 1, 2, ..., &-го порядков.
Математическое ожиданиетакой случайной величины найдем по формуле полного математического ожидания:тоя=М[Я]= 1]ГМ[ЯИ,(10.14.3)к г=1гдеМ[#| г] — условное математическое ожидание случайной величины Я при условии, что она распределена по закону Эрланга r-го порядка.Находим по первой формуле (10.0.4) М[Н\г) = г / X, откуда1 *(к + 1)кк+1/-.л-., /чти = — > г =—=.(10.14.4)k\f-(2k\2X10.15*. Пальмовский поток событий с плотностью распределения /*(£) интервала между событиями подвергается р-преобразованию (см. задачу 10.2). Случайная величина V— интервал междусобытиями в преобразованном потоке. Найти математическоеожидание и дисперсию случайной величины V.Р е ш е н и е . Случайная величина V представляет собой суммуслучайного числа независимых случайных величин (см. задачу8.63): V = У^ТЛ, где Y — дискретная случайная величина, имеюк=\щая геометрическое распределение P{Y = га} = pqm~l (га = 1,2,...
),д = 1 - р, а каждая из случайных величин Тк имеет распределение f(t).Тогда последовательные интервалы между событиями в р-преобразованном потоке будутк=1г =1где случайные величины Vv V2, ... независимы, и преобразованныйпоток есть поток Пальма. В соответствии с задачей 8.63336mtmv =—1-\VnDvA=-2VPгдеDt=f(t-mt)2f(t)dt.mt=Jtf(t)dt;П р и м е ч а н и е . Можно доказать, что при многократном р-преобразовании потока Пальма получается поток, близкий к простейшему.10.16. Найти закон распределения интервала Т между событиями в потоке Пальма, если случайная величина Т определяется извыражения Т — ^ Г Л , т.е. представляет собой сумму случайногочисла случайных слагаемых, где случайные величины Тк независимы и подчинены показательному закону с параметром X, а случайная величина Y не зависит от них и имеет геометрическое распределение, начинающееся с единицы:р п = P{Y = п} = pqn~l хх ( 0 < р < 1 ; п = 1,2,3,...).Р е ш е н и е . В задаче 8.62 было показано, что случайная величина Т подчинена показательному закону с параметром \р> следовательно, рассматриваемый поток Пальма является простейшим синтенсивностью \р, который получается путем ^-преобразованияпростейшего потока с интенсивностью X.
Это подтверждает правильность решения задачи 10.2.10.17. Поток автобусов, приходящих на остановку, представляет собой поток Пальма; интервал Т между ними имеет плотностьраспределения fT (t). Автобус находится на остановке в течение неслучайного времени т. Пассажир, подойдя к остановке в случайный момент £* (рис.
10.17, я), садится в автобус, если тот находит-hТ£* Т 7ЗоназахватаЗоназахватат-г тТт*Зоназахватаvzm vzm Wffb Ш ? Р ^ Ш 1тттттГТРис. 10.17337ся на остановке; если же автобуса нет, то ждет его в течение времени т 7 и, если за это время автобус не подойдет, покидает остановкуи идет пешком. Закон распределения fT(t) таков, что случайнаявеличина Г не может быть меньше, чем т + т ' (рис. 10,17, б). Найти вероятность того, что пассажир сядет в автобус.__Р е ш е н и е .
Переходим к противоположному событию А == {пассажир не сядет в автобус}. Это означает, что пассажир прибудет на остановку в момент £*, когда на ней нет автобуса, и завремя ожидания следующий автобус не придет. Каждое событие«подход автобуса к остановке» сопровождается «зоной захвата»пассажира; ширина этой зоны т ; + т (рис. 10.17, в).Событие А — {пассажир не сел в автобус} соответствует попаданию точки t* вне пределов зоны захвата (рис. 10.17, г).
Точка £*распределена равномерно по всей длине интервала Т*. Вероятность того, что она попадет на участок Г* — (т + т7), не вошедшийв зону захвата, равна (по интегральной формуле полной вероятности)f*(t)dt=p(ibf;*- ( T + T/)'*tт + т'J* - ( т + т') *•f(t)dt771,/оо°°— J Г »/(*)л-1±1- J Г f(t)dt,,га,т.,где mt — средний интервал между автобусами.Вероятности того, что пассажир сядет в автобус, равнаР(А) = 1 - Р ( Л )10.18.
Происходит преобразование простейшего потока с интенсивностью X, состоящее в следующем. Если расстояние междусоседними событиями Т{ оказывается меньше какого-то допустимого предела Ц («интервала безопасности»), то событие отодвигается от предыдущего на интервал ^; если же Т{ > t0, то событиеостается на своем месте (рис. 10.18). Является ли преобразованный поток, образованный точками 0{, в ^ , . . . на оси 6V, простейшим? Является ли он потоком Пальма?Р е ш е н и е . Ни тем, ни другим преобразованный поток не является, так как в нем имеется сколь угодно далеко идущее после0(г©1©2 ©3©4 ©5 ©6тт •г ••J *0: <»»в\—*0' 2а—ёв 7 е 8 е 9 е10т • ••j%•• ётIQ••• *f0' 3 ©'4 ©'5 ©'6©'7 ©'8 ©'9 ©',„©'„Рис.10.18338tQ@nдействие.
Например, «теснящиеся» на оси 0 V точки9 7 , 0 8 , 0 9 , О 1 О отодвигают каждую последующую точку на оси0V на отрезок времени, зависящий от моментов прихода событийи интервалов между ними в прошлом. Если t0 много меньше среднего расстояния между событиями в исходном потоке: tQ «. 1 / X,то последействием в преобразованном потоке можно пренебречь.10.19.
Происходит наложение (суперпозиция) двух независимых потоков Пальма с плотностями распределения интервала между событиями fx(t) и / 2 (0- Будет ли результирующий поток потоком Пальма?Р е ш е н и е . Суперпозиция двух потоков Пальма выглядит,как показано на рис. 10.19. Ясно, что интервалы Tv Т 2 ,... результирующего потока III не будет независимыми, так как их размерымогут быть обусловлены размерами одного и того же интервалана оси I или И.
Например, Тг и Г2 в сумме дают Т п и, значит, неявляются независимыми. Однако эта зависимость быстро затухает по мере увеличения расстояния по времени между началамиинтервалов.Рис. 10.19П р и м е ч а н и е . Можно доказать, что при суперпозиции достаточнобольшого числа независимых потоков Пальма со сравнимыми интенсивностями получается поток, близкий к простейшему.10.20. В процессе эксплуатации ЭВМ может рассматриваться как физическая система 5, которая в результате проверки может оказаться в одном из следующих состояний: sx — ЭВМ полностью исправна; s2 — ЭВМ имеет незначительные неисправности в оперативной памяти, при которых она может решатьзадачи; s3 ~~ ЭВМ имеет существенные неисправности и можетрешать ограниченный класс задач; s4 — ЭВМ полностью вышлаиз строя.В начальный момент времени ЭВМ полностью исправна (состояние sx).
Проверка ЭВМ производится в фиксированные моменты времени tv t2, t3. Процесс, протекающий в системе 5, можетрассматриваться как однородная марковская цепь с тремя шагами(первая, вторая, третья проверки ЭВМ). Матрица переходных вероятностей имеет вид3390,3 0,4 0,1 0,20 0,2 0,5 0,300 0,4 0,6000 1,0S1\Д2г0,6*2h"3Определить вероятности состоянийЭВМ после трех проверок.Р е ш е н и е . Граф состояний ЭВМимеет вид, показанный на рис.
10.20.Против каждой стрелки проставлена соответствующая вероятность перехода. Начальные вероятности состояний рг (0) = 1; р2 (0) == р3(0) = р 4 (0) = 0.По формуле (10.0.14), учитывая в сумме вероятностей толькоте состояния, из которых возможен непосредственный переход вданное, находим:р1(1) = р 1 ( 0 ) Р 1 1 = 1 0,3 = 0,3;р 2 (1) = р г (0)Р 12 = 1 - 0 , 4 = 0,4;р 3 (1) = рх ( 0 ) Р 1 3 = 1-0,1 = 0,1;р 4 (1) = р 1 (0)Р 14 =1-0,2 = 0,2;Pl(2) = p 1 ( l ) P u = 0 , 3 -0,3 = 0,09;р 2 (2) = р 1 (1)Р 12 +р 2 (1)Р 2 2 =0,3-0,4 + 0,4-0,2 = 0,20;р3(2) = р 1 (1)Р 1 3 + р 2 ( 1 ) Р 2 3 + р3(1)Рзз =0-27;p 4 (2) =Pl(l)P14P l (3)р 2 (3) =Pl+р 2 (1)Р 2 4 +Рз(1)Р 3 4 +Р 4 (1)Р44 =0.44;=Pl(2)Pn=0,09 -0,3 = 0,027;(2) Р 12 + р 2 (2)Р 22 = 0,09 • 0,4 + 0,20 • 0,2 = 0,076;Рз(3) = Pi(2) Р 13 + Р 2 (2)Р 23 + Рз(2)Рзз = 0.217;р 4 (3) =P l (2)Р 14 + Р 2 (2)Р 24 + р 3 (2)Р 34 + Р 4 (2)Р 44 = 0,680.Итак, вероятности состояний ЭВМ после трех проверок:^ ( 3 ) = 0,027; р 2 (3) = 0,076; р 3 ( 3 ) = °>217; Р 4 ( 3 ) = °>68010.21.
Точка S «блуждает» по оси абсцисс 0х (рис. 10.21, а) последующему закону: на каждом шаге она с вероятностью 0,5 остается на месте, с вероятностью 0,3 перескакивает на единицу вправо и с вероятностью 0,2 — влево. Состояние системы S после А; шагов определяется одной координатой (абсциссой) точки S. Начальное положение точки — начало координат. Рассматриваяпоследовательность положений точки S как цепь Маркова, найти340__L_-200,530,50,3 ДХ°> Дa0,50 330,50,53» i^°» r^°> r^so0,20,20,20,20,2бРис. 10.21вероятность того, что она после четырех шагов окажется от началакоординат не дальше, чем на расстоянии, равном единице.Р е ш е н и е . Обозначим состояние системы (точки S) через s{,где i — координата S на оси абсцисс. Размеченный граф состояний показан на рис.
10.21, б. (Здесь для наглядности проставлены«петли», соответствующие задержке S в прежнем положении.)Последовательность состояний образует цепь Маркова с бесконечным числом состояний. Переходные вероятности Р { -отличны от нуля только в случае j = г; j = г — 1; j = г + 1; Р- • = 0,5;Р . .+1 = 0 , 3 ; Р ; ._х —0,2. Все остальные переходные вероятностиравны нулю. Искомая вероятность Р равна сумме вероятностей:р 0 (4) + р1(4) + р_г(4:). Найдем их, пользуясь рекуррентными соотношениями (10.0.14).Имеем р0 (0) = 1; рг (0) = р_х (0) =... = 0. Далее,t; 0 (l) = p 0 (0)P 0 > 0 - 0 , 5 ;Pl(l)= р 0 ( 0 ) Р о д =0,3;^ 1 ( 1 ) = р0(1)Р0|.1=0,2;Ро(2) = Ро(1)Ро,о + P i ( l ) P i f o + P - i ( l ) P .
i f o =0,5-0,5 ++0,2- 0,3 + 0,3 -0,2 = 0,37;Рг (2) = Ро(1)Р0Др2 (2) =+ Pi (l)Pi,i = 0,5 • 0,3 + 0,3 • 0,5 = 0,30;Pl(l)P12= 0 , 3 - 0 , 3 = 0,09;Р. 1 (2) = Ро(1')Ро1-1 + P - i ( l ) P » i f - i =0,5-0,2 + 0,2.0,5 = 0,20;Р-2 (2) = р_г (1)Р_ 1} _ 2 = 0,2 • 0,2 = 0,04;Ро(3) = Ро(2)Р 0| о + P i ( 2 ) P l l 0 + P - i ( 2 ) P . l l 0 =0,305;Pl(3)= Ро(2)Р о д + Pi(2)P 1?1 + Р 2 (2)Р 2 ,2 = 0,279;р2 (3) = рг (2)Р 1 | 2 + р2 ( 2 ) Р 2 2 = 0,135;Рз(3) = р 2 (2)Р 2 ? 3 =0,027;341P-i(3) = P-2(2)P.2,-i + P-i(2)P-i,-i + Po(2)P0f-i = 0Д86;P-2(3) = P-2(2)P_2,_2 + P-i(2)P_l5_2 = 0,060;Р-з(3) = Р-2(2)Р-2,-з =0,008;Po(4) = P!(3)P 1|0 +Po(3)P 0l o + P - i ( 3 ) P - l l 0 «0,264;p 1 (4) = p 2 (3)P 2|1 + P l ( 3 ) P l f l + р 0 ( 3 ) Р о д «0,257;P- 1 (4) = p 0 (3)P 0| _ 1 +p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
