Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 42
Текст из файла (страница 42)
10.0.3 показано получение потока Эрланга 4-го порядка из простейшего потока).Интервал времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка представляет собой сумму к независимых случайныхвеличин Тх, Т 2 ,..., Тк, имеющих показательное распределение с параметром X:Т = J2Ti-(10.0.2)i =iЗакон распределения случайной величины Т называется законом Эрланга k-го порядка (см. задачу 8.3) и имеет плотность(fc-l)!Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т (10.0.2) соответственно равны:Dt=k/\2;mt=k/\ot = Jk / X.(10.0.4)Коэффициент вариации случайной величины (10.0.2) равенц =ot /mt=l/4k;(10.0.5)vt —» 0 при k —> оо, т.е.
при увеличении порядка потока Эрланга «степеньслучайности» интервала между событиями стремится к нулю.Если одновременно с «прореживанием» простейшего потока изменять масштаб по оси 0t (делением на к), получится нормированный потокТхГ-I—©0'1*—••—©•—•A«T-'Hr -V—ST"•.t©—•"*'тх т2 т3 т4Рис. 10.0.3319J<t*ЫЛЭрланга А;-го порядка, интенсивность которого не^зависит от к. Интервал времени Т между соседними событиями в нормированномпотоке Эрланга к-то порядка имеетплотностьЪ \.7>'4( настоящее)Рис. 10.0.4Ш = к)1Ш^~е-*'(при *>0).(10.0.6)Числовые характеристики случайной величины1кк ^Кг =1равны:M|f|=l/X;D\f\=l/k\2-5t=l/{\&);vt=l/yfk.(10.0.7)При увеличении к нормированный поток Эрланга неограниченно приближается к регулярному потоку с постоянным интервалом / = 1 / X между событиями.Случайный процесс, протекающий в какой-либо физической системе S,называется марковским (или процессом без последствия), если он обладаетследующим свойством: для любого момента времени t0 (рис.
10.0.4) вероятность любого состояния системы в будущем (при t > ^) зависит только от еесостояния в настоящем (при t=t^)une зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса — от прошлого).В данной главе будем рассматривать только марковские процессы сдискретными состояниями s1? s2, ...sn. Такие процессы удобно иллюстрировать с помощью графа состояний (рис. 10.0.5), где прямоугольниками (или кружками) обозначены состояния sv 52, ... системы 5, астрелками — возможные переходы изсостояния в состояние (на графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния). Иногда на графе состоянийотмечают не только возможные переходы из состояния в состояние, но ивозможные задержки в прежнем состоянии; это изображается стрелкойРис.
10.0.5(«петлей»), направленной из данногосостояния в него же (рис. 10.0.6), номожно обходиться и без этого. Числосостояний системы может быть какконечным, так и бесконечным (ноРис. 10.0.6счетным).д320Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем обычно называют марковской цепью. Для такого процесса моменты tv t2, ..., когда система 5 может менять свое состояние,удобно рассматривать как последовательные шаги процесса, а в качествеаргумента, от которого зависит процесс, рассматривать не время t, а номер шага: 1,2,...,/;,...
. Случайный процесс в этом случае характеризуетсяпоследовательностью состояний5(0), 5(1), 5(2), ...,5(*),».,(10.0.8)если 5(0) — начальное состояние системы (перед первым шагом); 5(1) —состояние системы непосредственно после первого шага; ...; S(k) — состояние системы непосредственно после А;*го шага . . .
.Событие {S(k) — s{ } = {сразу послеfc-гошага система находится в состоянии 5-} (г = 1,2,...) является случайным событием, поэтому последовательность состояний (10.0.8) можно рассматривать как последовательность случайных событий. Начальное состояние 5(0) может быть какзаданным заранее, так и случайным. О событиях последовательности(10.0.8) говорят, что они о б р а з у ю т м а р к о в с к у ю ц е п ь .Рассмотрим процесс с п возможными состояниями sl5 s 2 ,..., sn. Еслиобозначить X(t) номер состояния, в котором находится система 5 в момент t, то процесс (марковская цепь) описывается целочисленной случайной функцией X(t) > 0, возможные значения которой равны 1,2,..., п. Этафункция совершает скачки от одного целочисленного значения к другомув заданные моменты tv ^,...
(рис. 10.0.7) и является непрерывной слева,что отмечено точками на рис. 10.0.7.Рассмотрим одномерный закон распределения случайной функцииX(t). Обозначим через р{(к) вероятность того, что после к-то шага[и до (&+ 1)-го] система 5будет в состоянии st = (г = 1, 2,..., п). Вероятности р{(к) называются вероятностями состояний цепи Маркова.Очевидно, для любого кЕ Л (*) = L(10.0.9)321Распределение вероятностей состояний в начале процесса(10.0.10)ft(0),P2(0),..-,Pi(0),...,pn(0)называется начальным распределением вероятностей марковской цепи.В частности, если начальное состояние 5(0) системы 5 в точности известно, например 5(0) = s t , начальная вероятность р- (0) = 1, а все остальныеравны нулю.Вероятностью перехода на к-м шаге из состояния s{ в состояние s; называется условная вероятность того, что система 5 после к-то шага окажется в состоянии sj} при условии, что непосредственно перед этим (послек — 1 шагов) она находилась в состоянии s{.
Вероятности перехода иногданазываются также «переходными вероятностями».Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага, а зависят только от того, из какого состояния и в какое осуществляется переход:P{S(*) = *,|S ( * - ! ) = в, } = /><,..(10.0.11)Переходные вероятности однородной марковской цепи Р^ образуютквадратную таблицу (матрицу) размером п хп:N-Ml M 2 - " *ij'-MnррrilРгп\рri2'"Ргп2'"рrij"'Рrnj'"(10.0.12)rinРгпъ£ ^ . = 1 (г=1, ...,п).(10.0.13)Матрицу, обладающую таким свойством, называют стохастической.Вероятность Р й есть не что иное, как вероятность того, что система, пришедшая к данному шагу в состояние s t , в нем же и задержится на очередном шаге.Если для однородной цепи Маркова заданы начальное распределениевероятностей (10.0.10) и матрица переходных вероятностей (10.0.12), товероятности состояний системы ^ ( & ) ( г = 1 , 2 , .
. . , п ) могут быть определены по рекуррентной формулеPi (*) = £ *;(* " !) ра(* = *> — п'> 3 = 1, -.., п). (10.0.14)j=iДля неоднородной цепи Маркова вероятности перехода в матрице(10.0.12) и формуле (10.0.14) зависят от номера шага к.Для однородной цепи Маркова, если все состояния являются существенными, а число состояний конечно, существует предел lim Р{ (и) = Р{;,322определяемыйпизсистемыуравненийпР{ =Y1 PjPji и Yl % = 1 . Сумма переходi=i• =1ных вероятностей в любой строке матри23 I „ I.Lцы равна единице.При фактических вычислениях по формуле (10.0.14) надо в ней учитывать не всесостояния sj} а только те, для которых пер и с # 10.0.8реходные вероятности отличны от нуля,т.е. те, из которых на графе состояний ведут стрелки в состояние s{.Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем иногда называют «непрерывной цепью Маркова».
Длятакого процесса вероятность перехода из состояния s{ в s- для любого момента времени равна нулю. Вместо вероятности перехода P{j рассматривают плотность вероятности перехода \ijf которая определяется как предел отношения вероятности перехода из состояния s{ в состояние Sj замалый промежуток времени At, примыкающий к моменту t, к длине этогопромежутка, когда она стремится к нулю. Плотность вероятности перехода может быть как постоянной (Х^ = const), так и зависящей от времени[\„ = \^(£)]. В первом случае марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется однородным.Типичный пример такого процесса — случайный процесс X(t), представляющий собой число появившихся до момента t событий в простейшемпотоке (см. рис. 10.0.2).При рассмотрении случайных процессов с дискретными состояниямии непрерывным временем удобно представлять себе переходы системы Sиз состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий; при этом плотности вероятностей перехода получаютсмысл интенсивностей \{j соответствующих потоков событий (как толькопроисходит первое событие в потоке с интенсивностью \{j, система из состояния s{ скачком переходит в Sj).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
