Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 46
Текст из файла (страница 46)
1 (3)P„ l f _ 1 + p . 2 ( 3 ) P . 2 f . 1 «0,172.Искомая вероятностьP = Po (4) + Рг (4) + р_г (4) « 0,693.Итак, вероятность события А, состоящего в том, что за четырешага точка S окажется от начала координат на расстоянии, небольшем единицы, равна 0,693.10.22. В условиях предыдущей задачи найти вероятности того,что за четыре шага точка S ни разу не удалится от начала координат дальше, чем на единицу.Р е ш е н и е .
Обозначим р0(к), рх (к), р__г (к) вероятности состояний 50, sv s_t при условии, что до fc-го шага включительно точка Sни разу не удалялась от начала координат больше, чем на единицу.С первого взгляда здесь процесс не является цепью Маркова(так как вероятности будущих состояний зависят от «предыстории» — была ли точка S хотя бы один раз дальше, чем на однуединицу, от начала координат), но его можно свести к цепи Маркова, если ввести еще одно состояние s* — точка хотя бы один разбыла от начала координат на расстоянии, большем, чем единица.Граф состояний показан на рис. 10.22. Из состояния s* нетперехода ни в какое другое, такое состояние называется в теории марковских цепей «поглощающим».
Вероятность события А = {точ0,50,50,5ка S за четыре шага ни разу неотойдет от начала координат на рас0,3^0,3^стояние,чем единица} выli-ir *оХ £oJ."оГГ £js числится большее,как сумма вероятностейр0 (4) + р_х (4) 4- рг (4) для системы с0,3J5^ 7Пграфом состояний, соответствующимрис.
10.22. Предоставляем читателювычислить эти вероятности самостояРис. 10.22тельно.10.23. Система S — техническое устройство, состоящее из тузлов и время от времени (в моменты tv t2>..., tk), подвергающеесяпрофилактическому осмотру и ремонту. После каждого шага (момента осмотра и ремонта) система может оказаться в одном изследующих состояний: s0 — все узлы исправны (ни один не заме-Д342А Анялся новым); sx — один узел заменен новым, остальные исправны; s2 — два узла заменены новыми, остальные исправны;...; s{ - гузлов (г < т заменены новыми, остальные исправны;...; sm — все тузлов заменены новыми.Вероятность того, что в момент профилактики узел придетсязаменить новым, равна р (независимо от состояния других узлов).Рассматривая состояния системы S как марковскую цепь, найтипереходные вероятности и для т = 3, р = 0,4 вычислить вероятности состояний системы S после трех шагов (в начальный моментвсе узлы исправны).Р е ш е н и е . Обозначая q = 1 - р, запишем переходные вероятности цепи.
Для любого состояния системы s{ вероятность Р^ равнанулю при j < г; вероятность Р й равна вероятности того, что на данном 0,2160,60,36шаге ни один узел не придется заменить новым, т.е. т — г еще не за £j-0,432jL2мененных узлов остаются в составе устройства: Рй =qm~l. При г < jвероятность перехода Pi{ равнавероятности того, что на данномшаге и з т - i еще не замененныхузлов j — г придется заменить ноРис. 10.23выми. Пользуясь биноминальнымраспределением, находим Р~ = С£У pi г у т i+г Состояние sm является поглощающим. Для т — 3, р = 0,4 граф состояний системыимеет вид, показанный на рис. 10.23:а10,216 0,432 0,288 0,0640,36 0,48 0,16000,60,4о01,0ооИмеем р 0 (0) = 1; р г (0) = р 2 (0) = р 3 (0) = 0. Находим вероятности состояний после одного, двух, трех шагов:р 0 (1) = 0,216; рх(1) = 0,432;р 2 (1) = 0,288; р3(1) = 0,064;р1(2) = р 1 (1)Р 1 1 +р 0 (1)Р 0 > 1 «0,249;Р 2 ( 2 ) = Р 2 ( 1 ) Р 2 2 + РО(1)Р02+ Pi(i)Pi2 ~°> 4 4 2 ;ft(2) = Рз(1)Р3з + Р г М Р » + Pi(l)Pu + Ро(1)^оз «О- 2 6 2 ;Ро(3) = Ро(2)Роо -0,010;р1(3) = р 1 (2)Р 1 1 +р 0 (2)Р 0 1 «0,110;343р 2 (3) - р 2 (2)Р 22 + р 0 (2)Р 02 +P l (2)P 1 2» 0,398;Рз (3) = Рз(2)Р33 + Ро(2)Р03 + Pi(2)P13 + Р 2 (2)Р 23 « 0,482.10.24.
В моменты времени ^, ^, ^ производится осмотрЭВМ. Возможные состояния ЭВМ: s0 — полностью исправна; sx —незначительные неисправности, которые позволяют эксплуатировать ЭВМ; s2 — существенные неисправности, дающие возможность решать ограниченное число задач; s3 — ЭВМ полностью вышла из строя.Матрица переходных вероятностей имеет видII 0,5 0,3 0,2 0 |. „0 0,4 0,4 0,2г и|10 0 0,3 0,7I0001 |Построить граф состояний.
Найти вероятности состоянийЭВМ после одного, двух, трех осмотров, если вначале (при t — 0)ЭВМ была полностью исправна.0,50,40,30,20,21Рис. 10.24Р е ш е н и е . Граф состояний показан на рис. 10.24.р0(1) = р0(0)Р00=1-0,5 = 0,5;p 1 (l) = Po(0)Poi - Ь 0 , 3 = 0,3;р2(1) = р 0 (0)Р 0 2 =1-0,2 = 0,2;р 0 (2) = р 0 (1)Р ш =0,25; р1(2) = р 0 (1)Р 01 + Pl(l)Pnр 2 (2) = р 0 (1)Р 02 +P l (l)P 1 2=0,27;+ p 2 ( l ) P 2 2 =0,28;р3(2) = р 2 (1)Р 23 + РХ(1)Р13 =0,20; р 0 (3) = р о (2)Р 0О =0,125;р1(3) = р 0 ( 2 ) Р 0 1 + р 1 ( 2 ) Р и =0,183;р 2 (3) = р 0 (2)Р 02 + р х (2)Р 12 + р 2 (2)Р 22 = 0,242;р3(3) = р х (2)Р 13 + р 2 (2)Р 23 + р 3 (2)Р 33 = 0,450.10.25. Рассматривается процесс работы ЭВМ.
Поток отказов(сбоев) работающей ЭВМ — простейший с интенсивностью X.344Если ЭВМ дает сбой, то он немедленно обнаруживается, и обслуживающий персонал приступает к устранению неисправности(ремонту). Закон распределения времени ремонта — показательный с параметром |i: cp (t) = ц,е~^ (t > 0). В начальный момент (t —= 0) ЭВМ исправна. Найти: 1) вероятность того, что в момент tЭВМ будет работать; 2) вероятность того, что за время (0, t) ЭВМдает хотя бы один сбой; 3) финальные вероятности состоянийЭВМ.Р е ш е н и е . 1) Состояния системы S (ЭВМ) следующие: s0 —исправна, работает; s2 — неисправна, ремонтируется. Размеченный граф состояний дан на рис. 10.25, а.XРис. 10.25XабУравнения Колмогорова для вероятностей состояний p0(t) иpx{t) имеют видdp0dt№i\dPi\atWi-(10.25.1)Из этих уравнений одно (любое) может быть отброшено, таккак для любого момента t имеем р0 + рх = 1.
Подставляя в первое из уравнений (10.25.1) pt = 1 — р0, получаем одно дифференциальное уравнение относительно р0:Фоdt• \ i - ( \ + \x)p0.Решая это уравнение при начальном условии р0(0) = 1, получаемРо(*) =м-Х + \iм-(10.25.2)откудаРЛ*)-(Х+ц.)*"Х + ^л(10.25.3)2) Для нахождения вероятности p(t) того, что за время t ЭВМдает хотя бы один сбой, введем новые состояния системы S: s0 —ЭВМ ни разу не давала сбоя; s2 — ЭВМ хотя бы один раз даласбой. Состояние^ будет «поглощающим» (рис. 10.25, б).Решая уравнение Колмогорова dp* I dt — — \р0 при начальномусловии р0(0) = 1, получаем p0(t) = е , откуда рг (t) = 1 - p0(t) == 1 — e~xt. Итак, вероятность того, что за время t ЭВМ даст хотя345бы один сбой, равна px(t) = 1 — e~xt.
Эту вероятность в данномслучае можно было бы вычислить и проще, как вероятность того,что за время t появится хотя бы одно событие (сбой) в простейшем потоке сбоев с интенсивностью X.3) Из уравнений (10.25.2), (10.25.3) при t —> оо получим финальные вероятности состояний: р0 = \i / (X + р,); рг =\ / (X + ц,),которые, впрочем, можно было бы получить непосредственно изграфа состояний, пользуясь схемой гибели и размножения (предоставим читателю сделать это самостоятельно).10.26. В условиях предыдущей задачи 10.25 неисправностьЭВМ обнаруживается не сразу, а по прошествии некоторого времени, имеющего показательное распределение с параметром v.Написать и решить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Найти финальные вероятности состояний (непосредственно по графу состояний).Р е ш е н и е .
Состояния системы: s0 — ЭВМ исправна, работает;sx — ЭВМ неисправна, но этоне обнаружено; s2 — ЭВМ ремонтируется. Граф состоянийдан на рис. 10.26.УравненияКолмогоровадля вероятностей состоянийРис. 10.26будут:\"гоdt05dtbPo-Wdp2—?= vpl-w2.dt(10.26.1)Решать эту систему будем с помощью преобразования Лапласа.
Тогда уравнения (10.26.1) с учетом начальных условий дляизображений тг i вероятностей р{ примут вид:&KQ= |олг2 — Хтг0 + 1; SKX = XTV0 — УТГ1 ;Решая эту систему алгебраических уравнений, получаем следующие уравнения для изображений:v\X-1Т,= •-TTfтг0; тг2*i =г5 + jJL(s + v)(s + \l)s -f v(s + v)(s + \i)'Кп= •s (s + s ([x + v + X) + vX + v\i> + Xp,)Обозначим^i + v + Xa = —-346/(^i + v + X)2h л\-v\— v\i — XJJL;6^-^+ V+ X- ^2+V+ X ) 24-vX-v^-X^.Тогда выражения для вероятностей примут вид:Ро(0:ае— оеа —Ь+ (У + |Л);atPi(') = X ebt1— e + \|Лa —babp2(t) = v\1ab1абЬ [iVa —bbe — aeab (а — 6)6iЬеаae+ ab (a — b)beat-aebab (a — b)Д л я нахождения финальных вероятностей можно воспользоваться как изображениями, так и самими вероятностями:Ро = lim р0(0 = 11тет о( 5 ) = т — г г-»оо5-+0\[iPiХ|л +ХУ+ У|лР2 =l;ХЦ + Х У + VjJtХУ~ Po - PiXJJ,+ХУ+ ур,(10.26.2)Финальные вероятности состояний можно найти и непосредственно по графу рис.
10.26 : |лр2 = Хр 0 ; \р0 = vpx; vpl = [ip2. Изэтих уравнений любое (например, последнее) можно отбросить.Выражая р2 через р0 и р х : р2 = 1 - р 0 — рх, получаем два уравнения:М-(1-Ро - P i ) = x P o ;хРо=vPi-Решение этих уравнений даст те же результаты (10.26.2).10.27. Электронное техническое устройство (ЭТУ) состоит издвух одинаковых взаимозаменяемых узлов.
Д л я работы ЭТУ достаточно, чтобы работал хотя бы один узел. При выходе из строяодного из узлов ЭТУ продолжает нормально функционировать засчет работы другого узла. Поток отказов каждого узла — простейший с параметром X. При выходе из строя узла он сразу начинаетремонтироваться. Время ремонта узла — показательное с параметром \i. В начальный момент (при t = 0) оба узла работают.
Найтиследующие характеристики работы ЭТУ:1) вероятности состояний как функции времени: s0 — исправны оба узла; sx — исправен один узел, другой ремонтируется; s2 —ремонтируются оба узла (ЭТУ не работает);2) вероятность p(t) того, что за время t ЭТУ ни разу не прекратит работу;3473) финальные вероятности состояний ЭТУ;4) для предельного (стационарного) режима ЭТУ среднее относительное время, в течение которого ЭТУ будет работать;5) для того же предельного режима среднее время t бесперебойной работы ЭТУ (от включения после восстановления до очередного выхода из строя).Р е ш е н и е .
Граф состояний ЭТУ дан на рис. 10.27, а (у левойверхней стрелки стоит 2Х, так как работают и могут выходить изстроя два узла; по аналогичной причине стоит 2\х, у правой нижнейстрелки, так как оба узла ремонтируются).1) Уравнения Колмогорова имеют вид:% = ^1-2Хр0;at-^- = 2\p0+2\ip2-(\at+ [i)Pl;^ - = XPl-2mv(10.27.1)При этом должно выполняться условие р0 4- рг + р2 = 1Решая эту систему уравнений при начальных условияхр0 (0) = 1; рг (0) = р2 (0) = 0, получаемatfvaeL„bt-beat. e/x^bt- e: — + ( x + 3WГ" +a—оa+о1ab (a — b) где а = - ( \ + м,); b = - 2 ( X + |i);Po(4 =+2^x2—+aha - b = X + |x; ab = 2 (X + \x)2;_a2eat -b2ebt , (\ + 3»)(aeat -beh^Л(*) =:Г7- +;т:[x (a — b)\x (a — b), 2ц (eat - ebt) , 2X ^ ^+7+ —Po(t)a—bJ|LИз полученных выражений находим:p2(t) = l-pQ(t)-pl(t);р 2 (0) = 0.2) Чтобы найти вероятность р(£), сделаем состояние s2 (ЭТУпрекратило работу) поглощающим (s 2 ) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
