Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 47
Текст из файла (страница 47)
10.27, б). УравненияКолмогорова для вероятностей состояний ЭТУ будутdpQ/dt =\хр1 —2\p0]dpl/dt=2\p0— (X + [i)px; dр2/dt = 2Xр г .Решая первые два уравненияр0 (0) = 1, рг (0) = 0, получаемпри начальныхРо(0 =^ — + ( х + ^)а - р348£-'а - (3условияхгде-(ЗХ + ^ - д / х 2 + б\ц + и,2-(ЗХ + ^ + ^ + б Х ^ ч У_а=-^ р_(величины а и р отрицательны при любых положительных значениях X и [i). Далее1 dp.2X\х, at|л2ы_р23*.
аеа'-(3е3<2Х..а -|3+ — Ро(0И-а -ЭИскомая вероятность р(<) = p 0 (t) + рх(*). Заметим, что функция р (<) является монотонной убывающей, при этом р (0) = 1;р(оо) = 0.3) Финальные вероятности состояний найдем по графу(рис. 10.27, а) и общим формулам (10.0.23) для схемы гибели иразмножения2ХPi =PolИ-2Х2Р2=ГТР02цVINр0;PO+PI+P=21;р 0 - [ 1 + 2Х/ 1 х + ( Х / 1 х ) 2 Г 1 = ^ / ( Х + Ю2.4) Среднее относительное время, которое ЭТУ будет работать,равноР2XVIX + ^iJXlx + nj5) Величина tp есть математическое ожидание времени Гр,проходящего между моментом включения ЭТУ в работу и моментом ее следующего выхода из строя.баРаботает—©-Не работаетРаботаетНе работает-<•>вРис. 10.27349Представим работу ЭТУ в стационарном режиме как состоящую из ряда циклов: «работает» и «не работает» (на рис.
10.27, вучастки работы показаны утолщенной линией). Среднее время tH ,в течение которого ЭТУ не работает (математическое ожиданиедлительности нерабочего периода), очевидно равно 1 / (2|л) (так какна ЭТУ, находящееся в состояние «не работает», действует потокпереходов в «рабочее» состояние с интенсивностью 2р,).Далее, отношение среднего времени бесперебойной работы tp ксреднему времени простояв равно отношению финальной вероятности 1 — р2 того, что ЭТУ работает, к вероятности р2 того, чтооно не работает: tp /tn? = (1 - р2) / р2. Отсюда, учитывая, что*„Р = l / ( 2 i 0 ,1 - р2t?~*прр21 1 - р2=р22\L10.28. Условия и вопросы те же, что и в задаче 10.27, с той разницей, что пока один из узлов работает, другой находится в «холодном резерве» и выходить из строя не может. При включениирезервного узла он немедленно начинает работать и подвергаетсяпотоку отказов с интенсивностью X.Р е ш е н и е .
Граф состояний Э Т У будет иметь вид, показанн ы й на рис. 10.28, а, граф с «поглощающим состоянием» — нарис. 10.28, 6.XПП^ПП jlT]2р.Рис. 10.28Ответы на вопросы:4.,чaeat-bebt/хочeat - ebtа —Ъa2eatPI(*)=_b2ebt(X+3[1)1_-(2\ + 3\i) + ^4\i\ + \i2_3502(aeat+bebt)[i (a — b) "|j, (a — b)aeP£ 3*a-(32а —ЪP2(*) =2)p0(t).ft+^1beat - aebtabab (a — b)r.«ta—bX^-[eat-ebt)+-p0(t);Po(*)-Pi(*);;+ (Х + ц)- ( 2 X + 3|i) + ^4\i\ + \i2_a -P;_ -(2\P2(0 = I - P O ( < ) - P I ( 0 ;3=-3)p xо-(2X + (i)-V 4X M- + ^ 2lfX \ 2•Po; P 2It* J4)I-P2;+ \i) + ^4\\i + \i2p0;5)<; p(t) = l - ? 2 ( ' ) ;[X]Po =1 12^2MP2P210.29.
Условия задачи 10.27 изменены таким образом, что неработающий узел находится в «облегченном резерве» и выходитиз строя с интенсивностью X7 < X. 1) Построить граф состояний ЭТУ, написать\+x;уравнения Колмогорова для вероятно2[iстей состояний. 2) Не решая этих уравнений, найти финальные вероятности соРис. 10.29стояний; вычислить их для Х = 1;Х' == 0,5, |х = 2 3) Для этих же численных данных найти среднее времяt? бесперебойной работы ЭТУ.Р е ш е н и е . 1) Граф состояний показан на рис. 10.29.
Уравнения Колмогорова:^ L = -(X + X ' ) p 0 + № i ;at- А = -(X + \i)Pl + (X + Х')Ро + 2|ip 2 ;atPo + Pi + Р 2 = 12) Финальные вероятности состояний найдем, пользуясь общими формулами (10.0.23) для схемы гибели и размножения:Х + Х'Pi = — ; — р 0 ;м-Ро =г |(Х + Х')ХР2 = — — — Р2ц/х + х' ( (х + хрхм-0;-12\S351Подставляя сюда X = 1, X' = 0,5, \i = 2, получаемi+ M+ I ^0,516; рх « 0,387; р2 « 0,097.28l 1 " ^ ^ 2,32.3)*„ =4 р210.30. В состав ЭВМ входят четыре накопителя на магнитныхдисках (НМД). Бригада в составе четырех человек обслуживающего персонала проводит профилактический ремонт каждого диска.
Суммарный поток моментов окончания ремонтов для всейбригады — пуассоновский с интенсивностью Х(£). После окончания ремонта диск проверяется; с вероятностью р он оказываетсяработоспособным (время проверки мало, и им можно пренебречьпо сравнению со временем профилактики). Если диск оказалсянеработоспособным, то вновь проводится его профилактика (время, потребное на нее, не зависит от того, проводилась ли ранеепрофилактика) и т.д. В начальный момент все НМД нуждаются впрофилактическом ремонте.Построить граф состояний для системы S (четыре НМД), написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний. Найти М т — математическое ожидание числа дисков, успешно прошедших профилактику к моменту т.Р е ш е н и е .
s0 — все четыре НМД нуждаются в профилактическом ремонте; sx — один НМД успешно прошел профилактику, атри НМД нуждаются в профилактическом ремонте; s2 — дваНМД успешно прошли профилактику, а два нуждаются в профилактическом ремонте; s3 ~~ Т Р И НМД успешно прошли профилактику, один нуждается в профилактическом ремонте; s4 — все четыре НМД успешно прошли профилактику.То, что каждый профилактический ремонт заканчивается успешно с вероятностью р, равносильно ^-преобразованию потокаокончаний ремонтов, после которого он остается пуассоновским,но с интенсивностью р\ (t).Граф состояний показан на рис.
10.30. Уравнения Колмогорова:РоФо /dt = -p\(t)p0;dp2 /dt = p\(t)(pldpx /dt = p\(t)(p0- p2)\ dp3 /dt = p\(t)(p2dp4 J dt =1 so |PM*)I^*i\рЩ\*"*2p\(t)p3.-p3);(10.30.1)H^HPM*)|Рис. 10.30352- рг);IPM<)Начальные условия р0 (0) = 1; рг (0) = ... = р4 (0) = 0.Математическое ожидание числа дисков, успешно прошедшихпрофилактику к моменту т, равноМт=£>Лт).(Ю.30.2)г=1При постоянной интенсивности X решениями уравнений(10.30.1) будут:p0(t) = e-^;Pl(t)= \pte-^;p 2 (i) = ^ ^ e ^ ;«*•i=010.31. В условиях предыдущей задачи за каждым членом бригады закрепляется свой НМД, который он ремонтирует.
Потококончаний профилактики, приходящийся на одного члена бригады, имеет интенсивность \(£) / 4 Ответить на вопросы предыдущей задачи.Р е ш е н и е . Граф состояний дан на рис. 10.31. Уравнения Колмогорова:Фо /dt = -p\(t)p0;dp2/dtdp3 I dt = p\(t)((ldPl /dt = p\(t)(p0=-(3/4)Pl)]p\(t)tt3/4)Pl-(l/2)p2);J 2)p2 - (1 / 4)p s ); dp, /dt = (l/ 4)pX(0 p3.Выражение (10.30.2) дляМ т сохраняется.p\(t)£pX(t)ipX(t)ipX(t)Рис. 10.3110.32.
Техническое устройство (ТУ) подвергается простейшемупотоку отказов с интенсивностью X. Отказ обнаруживается не сразу, а через случайное время, распределенное показательно с параметром У. Как только отказ обнаружен, производится осмотр ТУ, врезультате которого оно либо направляется в ремонт (вероятностьэтого р), либо списывается и заменяется новым. Время осмотра —показательное с параметром % время ремонта — показательное спараметром |л, время замены списанного ТУ новым — показательное с параметром \- Найти финальные вероятности состоянийТУ. Определить: 1) какую долю времени в среднем ТУ будет рабо353тать нормально; 2) какую долю времени ТУ будет работать с необнаруженным отказом (давать брак);3) какова средняя стоимость ремонтов ТУ и его замен за единицу времени, если средняя стоимость ремонта равна г, а нового ТУ равна с;4) какова средняя величина потерьРис. 10.32за единицу времени от ТУ, работающего иногда с необнаруженным отказом, если такое ТУ приносит в единицу времени убыток IР е ш е н и е .
Состояния ТУ: s0 — исправно, работает; sx — неисправно, но отказ не обнаружен, дает брак; s2 — неисправность обнаружена, ведется осмотр; s3 — ремонтановым. Граф состояний дан на рис. 10.32.Линейные алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний:>Ф0 = №* + ХРА ; хРо = vPi; fPi = ЧР 2 ; Р IP2 = м#3;(l- P)lP2 =XP4Нормировочное условие р0 + рг + р2 + pz + р4 = 1. Решая этиуравнения, получаем:1XPi=-Po]vМ-XXP2=-Po',^р\Рг=—Po'iМ-(1-р)хР А =РоX1) Доля времени нормальной работы ТУ равна р0; 2) рг; 3) ТУпроводит в среднем долю времени рг в состоянии ремонта; каждый ремонт длится в среднем 1 / р.; поток отремонтированных ТУ,выходящих из состояния 53, имеет интенсивность \ipz; средняястоимость ремонтов в единицу времени r\x,pz.
Аналогично средняя стоимость новых ТУ в единицу времени с х Р±; общая средняястоимость того и другого равна r\ipz + СХР±] 4) средние потериот работы ТУ в неисправном состоянии за единицу времени равны I v рг.10.33. Рассматривается процесс накопления информации в базах данных, хранимых в ЭВМ. Интенсивность поступления единиц информации в базы данных равна \(t) и не зависит от того,сколько их накоплено. Каждая единица информации, поступив354шая в базы данных, хранится в них бессрочно. Найти характеристики mx(t), Dx (t) случайной функции X(t) — числа накопленныхединиц информации в базах данных в предположении, что потокпоступлений единиц информации пуассоновский с интенсивностью X (t) и в начальный момент времени t = 0 случайная функциялхо)=.о.Р е ш е н и е . В этой задаче мы имеем дело с процессом «чистогоразмножения» без ограничения числа состояний (п —> оо).
Все интенсивности «размножения» Х^. = \(t) (рис. 10.33) и интенсивности «гибели» \ik = \хк (t) = 0.|Тр^Рис. 10.33Дифференциальные уравнения (10.0.24) и (10.0.25) для этогослучая примут видdmx(t)dtdD (t)Лdt;$ > ( 0 А ( 0 = Ч0;к=о°°= X)[^(*) + 2*X(t)-2m I (*)X(t)b*(*) = X(t),к=0так какХ>(*) = 1, J2kpk(t) = mx(t).к=0к=0Решая эти уравнения для начальных условий тх (0) = Dx (0) == 0, получаемmx(t) = Dx(t) = J\(r)dr.Этот результат можно было ожидать; его можно найти непосредственно из теории потоков.
Можно доказать, что случайнаявеличина X(t) для любого момента времени t будет подчинена закону Пуассона с найденными характеристиками mx(t) = Dx(t).10.34. Условия те же, что и в предыдущей задаче, за исключением того, что принятая на хранение в базах данных единица информации хранится некоторое время, после чего по определенному признаку исключается из баз данных. Поток исключенийдля каждой единицы информации — пуассоновский с интенсивностью^).355Р е ш е н и е . В этой задаче имеет место процесс «гибели и размножения» числа единиц информации, хранимых в базах данныхЭВМ.Интенсивность гибели \ik (t) = Л;JJL(t), так как в состоянии skв базах данных накоплено к единиц информации и на каждую изних действует поток исключений с интенсивностью \x(t).Дифференциальные уравнения для функций тх (t) и Dx (t) имеют видdmx(t)= £ ( X ( i ) - *ц(0)it*=о+2mx(t)k[L(t)}pk(t)Рк(0= Х(0 - Ji(*) m,(t);(10.34.1)= \(t) + [i(t)mx(t)-2[i(t)Dx(t),(Ю.34.2)так как£p t (*) = i; £ * А ( о = тЛ*);ЫО&=0J2k2Pk (t) = oto(*) = я (0 + mi (О*=оДля начальных условий mx(0) = m0, DX(0) = DQ постоянныхинтенсивностей пополнения и исключения единиц информацииX (t) = X; |х (t) = [i решения этих уравнений будут иметь видmx(t) = т0е-*+ - ( 1 - е~* ) = - +~\it-2м.* _ 2е~^*£,(*) = х+ ( \ + |хД,М--1и-Jе^ mf+[im0),u \ _+ l ? 0 ( 2 e - ^ - e - -И-*) = m s (t) + ( ^ o - " » o ) e-2\it• +-2ц.*Для начальных условий га0 = J90 = 0 получим mx(t) = Dx(t) == — (l — e-Mi ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
