Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Условия предыдущей задачи усложняются тем, что в парке прибытия железнодорожной сортировочной горки могут находиться одновременно не более трех составов (включая обслуживаемый). Если состав прибывает в момент, когда в парке прибытия уже находится три состава, он вынужден ожидать своейочереди на внешних путях. За один час пребывания состава навнешних путях станция платит штраф а руб. Определить среднийсуточный штраф, который придется уплатить за ожидание составов на внешних путях.Р е ш е н и е . Вычислим среднее число zB — составов, находящихся на внешних путях:ООООjfc=4оооооок=Ак=Ак=АООJJk=4d9Jb=4«P4J4d pp (4-3p),= p—= ——-,dp 1 - p(1 - p) 2Аz = p0^kp*=JdкCOP*=4P4(4-3P)^11Q=—«1,18.1~PПо формуле Литтла среднее время, проводимое одним составом на внешних путях, tB « 1,18 / X = 1,18 / 2 = 0,59 ч.
За сутки(24 ч) на станцию приходит в среднем 24Х = 48 составов. Среднийсуточный штраф составляет 48 • 0,59 • а « 28,3 а.11.7. Вычислить непосредственно по графу состояний, пользуясь схемой гибели и размножения, финальные вероятности состояний для простейшей двухканальной СМ О (п = 2) с тремя местамив очереди (га = 3) при X = 0,6; р, = 0,2; р = X / р, = 3. Найти для этойСМО характеристики z, г, £ сист , iQ4, не пользуясь формулами(11.0.26), а непосредственно через финальные вероятности, и сравнить с теми, которые получаются по формулам (11.0.26).Рис.
11.7Р е ш е н и е . Граф состояний СМО показан на рис. 11.7. По схеме гибели и размножения, обозначая X / р, = р, получаем:f374~2345= (40,58)-1 и 0,025;0,074; р2 = - ^ » 0,111; pz = - ^ » 0,165;40,5840,5840,58р —10,15~ 0,25015,18р5 —540,58« 0,с$7540,58г = 1 • 0,074 + 2 • 0,111 + 3 • 0,165 + 4 • 0,250 + 5 • 0,375 w 3,67;f = 1 • 0,165 + 2 • 0,250 + 3 • 0,375 « 1,79;*~сист = * / 0,6 « 6,11; *оч = г / 0,6 « 2,98.11.8. Формула для г (11.0.28) справедлива для любого \ < 1или х > 1- При х = 1 она перестает работать (дает неопределенность вида 0/0). Пользуясь непосредственно схемой гибели и размножения, вывести для этого случая вероятности состоянийРо> Рг » ••• 5 Vn+m и найти характеристики эффективности СМО: А,Ч/> *.ОТК>"*» ^ 5Z1 t ОЧ ' ^ СИС Т 'X ,X,ХПр,np,П|ХРис.
11.8Р е ш е н и е . Граф состояний СМО имеет вид, показанный нарис. 11.8. Пользуясь общими формулами для схемы гибели и размножения и обозначая X / |х — р, имеемЛ2пЛ1п+1Po=i ! + £ + £_+...+£_ + ] ! _+...+•п1! 2!п\п-п\= ]i+ £ + £_+...+£_1!2!п!-п\^p^-+U+...+In;При х = Р / п = 11!2!P* = T^Po (1 < * < n);к!n!(11.8.1)n!p n + r = ^ p o (1 < r < m); (11.8.2)n!Pn+m; <2 = i - Pn+m = i — г ь ;n!375A=\Q=\1P_-•=-;-Po;к =A/[L = p 1 П!•Pop n m (m + 1 )P=E'» = E'^-^E'-^r=ln!П!r=l+ k]z = rtcllcT=z/\]p 0 ;(11.8.3)П!r=ltm=r/\.11.9. Автозаправочная станция (АЗС) имеет две колонки (п == 2); площадка возле нее допускает одновременное ожидание неболее четырех автомобилей (га = 4). Поток автомобилей, прибывающих на станцию, простейший с интенсивностью X = 1авт/мин. Время обслуживания автомобиля — показательное сосредним значением to6cjl = 2 мин.
Найти финальные вероятностисостояний А З С и ее характеристики: A, Q, POTK, A;, I , F, £ сист , f04.Р е ш е н и е . Х = 1, |л = 1 / 2 = 0,5; р = 2 ; х = р / п = 1- По формулам (11.8.1)—(11.8.3) имеем:Гр0=\11 - 1о+ 2+ — +42! 2!= — ; Pi = Р2 = Рг =13POTK=2/13;Q = l-POTKРА= Ръ = Рб2_13 5=11/13;i4 = XQ = l l / 1 3 « 0,85 авт/мин;к =А / |х = 22 / 13 « 1,69 колонки;г =2!— « 1 , 5 4 автомобиля;132j = г + к « 3,23 автомобиля.11.10. Имеется двухканальная простейшая С М О с отказами.На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью X = 4 заявк и / ч .
Среднее время обслуживания одной заявки t ^ = 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход с = 4 рубГ Содержаниекаждого канала обходится 2 руб/ч. Решить: выгодно или невыгодно в экономическом отношении увеличить число каналов С М О дотрех?Р е ш е н и е. По формулам Эрланга (11.0.6)Ро =\ 1 + 3,2 +3,222!= (9,32) -1 « 0,107;Q = 1 - р2 « 0,450;376р25,129,32Л = 4Q « 1,8 заявки/ч.! 0,550;Доход от заявок, приносимый СМО в данном варианте, равенD = А -с «7,2руб/ч.Подсчитаем те же характеристики для трехканальной СМО(отмечая их штрихом вверху):3 1 —^2р'о=\ 1 + 3,2 + ^ - + ^ Ц« 0,0677; р3' ~ 5 > 48 ' °> 0677 ~ °>3715Q' = 1 - р3' « 0,629; Л' = 4Q' « 2,52; £>' = А' • с « 10,08руб/ч.Увеличение дохода равно D' — D = 2,88 руб/ч; увеличение расхода равно 2 руб/ч; из этого видно, что переход о т п = 2 к п = 3экономически выгоден.11.11.
Рассматривается простейшая СМО с практически неограниченным числом каналов (п —> оо). На вход СМО поступаетпоток заявок с интенсивностью X; интенсивность потока обслуживании (для одного канала) равна [i. Найти финальные вероятностисостояний СМО и среднее число занятых каналов к.Р е ш е н и е . Данная СМО не дает ни отказов, ни очередей; ееможно рассматривать как предельный случай СМО с отказамипри п —> оо. Формулы Эрланга (11.0.6) даютооРок ]У—ке _ р , где р = X / щ рк = ?-е-р= Р (к, р)к\(см.
прил. 1). При неограниченномчисле каналовЛ = Х; к =11.12. Рассматривается одноканальная СМО с отказами; на еевход поступает простейший поток заявок с интенсивностью X.Время обслуживания — показательное с параметром |л = 1 / to6cJl.Работающий канал может время от времени выходить из строя(отказывать); поток отказов канала — простейший с интенсивностью v. Восстановление (ремонт) вышедшего из строя канала начинается мгновенно после его^ отказа; время ремонта Гр — показательное с параметром ч = 1 / 1 . Заявка, которая обслуживалась вмомент выхода канала из строя, покидает СМО необслуженной.Найти финальные вероятности состояний СМО: s0 — каналсвободен; sx — канал занят, исправен; s2 — канал ремонтируется ихарактеристики СМО: А и Q.Р е ш е н и е .
Граф состояний СМО дан на рис. 11.12, а. Алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний:^Ро =M-Pi + Ч Р 2 ;(t*> + v)Pi =^Po',^Pi=lP2'^(Н.12.1)к ним прибавляется нормировочное условие377(11.12.2)LРо + Vi + Р2 =Выразим вероятности pv р2 из (11.12.1) через р0:XЛу-Ро5|Х + УХУРо1 (М- + v)1Подставляя рг и р2 в (11.12.2), получаем^2 =Ро = {1 + X / Ох +-PlУ)+ХУ/ h (М- + " Ю - 1 • (11.12.3)Чтобы найти относительную пропускную способность Q, нужно вероятность pQ того, что заявка будет принята к обслуживанию,умножить на условную вероятность р' того, что заявка, принятаяк обслуживанию, фактически будет обслужена (канал не откажетза время обслуживания заявки). Найдем эту условную вероятность по интегральной формуле полной вероятности.
Сделаем гипотезу, состоящую в том, что время обслуживания заявки попалона участок от t до t + dt; вероятность этой гипотезы приближенноравна f{t) dt, где f(t) — плотность распределения времени обслуживания: f(t) = [ie~^ (t > 0). Условная вероятность того, что канал не выйдет из строя за время t, равна e~~vt; отсюда•.f\Le^+v»dtJixe^e-^dt=\х. + vЭту условную вероятность можно найти и проще: она равнавероятности того, что начатое обслуживание закончится раньше,чем канал выйдет из строя. Представим на оси 0t (рис. 11.12, б)совмещение (суперпозицию) двух потоков: потока обслуживании с интенсивностью |л (обозначен крестиками) и потока отказов канала с интенсивностью v (обозначен кружками).
Зафиксируем любую точку t на оси 0t и найдем вероятность того, чтор(ГН0--*-©—IXV __«1*2\" м-X X©*-*X - поток обслуживании \i© - поток отказов ибРис. 11.12378-*-©-©—*-первый после нее крестик придет раньше, чем кружок. Очевидно, она равна отношению интенсивности потока крестиков ксуммарной интенсивности потока крестиков и кружков;\i I (\х + v).Таким образом,(\ (X1+Q = PoP'z, {\*> + v)-+-ХУИ»\i + У + 1 (1 + v / ч ) 'A = \Q.(11.12.4)11.13.
Условия задачи 11.12 повторяются, но с той разницей,что канал может выходить из строя и в неработающем состоянии(с интенсивностью у' < у).Р е ш е н и е . Граф состояний СМО дан на рис. 11.13. Из уравнений(\ + v')pQ =«>! + щ р 2 ;GA + W P I = X P O ;ЧР2==y^i +yVo;Ро + Pi + Р2 = !найдем финальные вероятностиРо= 1 +Xfi + ^-1\ v + р,у' + vi/Ш (М- + v)Xy-frnZ + yy7;—:—;— Ро;[i + У Ро; Pi =4fa+ v)XPiQ = p0-; A = \Q = p0\i + v11.14.
Рассматривается простейшая одноканальная СМО сограниченной очередью т = 2; работающий канал может иногдавыходить из строя (отказывать). Заявка, которая обслуживается вмомент отказа канала, становится в очередь, если в ней еще естьсвободные места; если нет, она покидает СМО необслуженной.Интенсивность потока заявок X, потока обслуживании |i, потокаотказов канала У, потока восстановлений (ремонтов) ^. Перечислить состояния СМО и найти для них финальные вероятности, аXд00XX*20"10д30И^УX5Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
