Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Если станок отказал в момент, когда система находится в состоянии s0, онне будет стоять в очереди; если в состоянии sv то будет находиться в ней в среднем время 1 / |л, если в состоянии s2 — время 2 / |л ит.д. Умножая вероятности (11.32.1) на эти числа и складывая, получаемtr1m~(11.32.2)= -£*&•М- к=\Проводя аналогичные рассуждения, можно получить выражения для плотностей распределения случайных величин:Гоч — времени нахождения в очереди ивремени простоя станка:•прjfe-iе-*Рк(11.32.3)При этом будет иметь место равенство:М[Тпр} = М[Точ] + М[Т(обе"02395гдет— 1k*02= Г*/м(*) = - Yj Pk_ (P ( m - А;, х )МНаходим p t p t = — ^ —; X = vIл(т,х)X(т-Л)Р(т-А2>х)/Д(го,х)ft=-^i=2(т-Л)Р(т-Л,х)/Р(т>Х)Jfc=0( т - А;) Р(т - к, х )(™> ~ *) Р{т - к, х)J2(m-k)P(m-k,X)£Р(*,х)к=0ifc=0( т - *) Р(т -к,Х)Р(т-к-1,х)xR(rn - 1 , х )R(™> - I , x )(fc = 0,...,m - 1 ) .Следовательно,^fc!(m-l-fc)!R(m-l,x)R (га - 1 , х ) ( т - 1 ) ! f^k\(m-l-k)\l i e ^ P C m - l .
x ) , , , x ,x m -i•(1 + Xt)R(m-l,x)Таким образом, мы показали, что fOH(t) и / п р ( 0 представляютсобой вероятностную смесь законов распределения.11.33. Рабочий обслуживает четыре станка (га = 4); каждый станок отказывает с интенсивностью X = 0,5 отказа/ч; среднее времяремонта t? = 1 / |л = 0,8 ч.
Все потоки событий — простейшие. Пользуясь формулами задач 11.31, 11.32, найти: 1) финальные вероятности состояний; 2) пропускную способность А; 3) среднее относительное время простоя рабочего Рпр; 4) среднее число станков в очередиг; 5) среднее число неисправных станков w; 6) среднее время пребывания в очереди t04 одного отказавшего станка; 7) среднюю производительность группы станков с учетом их неполной надежности, еслив работающем состоянии один станок дает /единиц продукции.Р е ш е н и е .
р , = 1/г = 1,25; р = X /|л = 0,4.1) По формулам (11.31.1) имеем:р0 = {1 + 1,6 + 1,92 + 1,53++ 0,61}_1 = 6,66-1 « 0,150; рг = 1,6р0 « 0,240; р2 = 1,92р0 « 0,288;р3 = 1,53р0 « 0,230; р 4 = 0,061р0 « 0,092;3962)А = 0,850м, « 1,06 станка/ч;3 ) Р п р = р 0 = 0,150;4) г « 4 - 0,850 (1 + 2,5) » 1,03;5) 57 « 1,03 + к « 1,03 + 0,85 = 1,88;4р26) по формулам (11.32.1) и (11.32.2) р 0 =°*Po+3p1+2p2+pz« 0,283; рг « 0,340; р 2 = 0,270; р 3 = 0,108;tO4 = 0,8 (рг + 2£2 4- Зр3) ««0,964 ч;7) производительность группы станков равна (га - w) I « 2,12/.11.34. Простейшая многоканальная замкнутая СМО. Бригадаиз п рабочих обслуживает га станков (п < га). Поток отказов каждого станка имеет интенсивность X; среднее время наладки станка^обсл = 1 / И- Все потоки событий — простейшие.
Найти финальныевероятности состояний СМО; абсолютную пропускную способность А; среднее число неисправных станков Ш.Р е ш е н и е . Состояния СМО нумеруем по числу неисправныхстанков:50 — все станки исправны, рабочие не заняты;sx — один станок неисправен, один рабочий занят, остальныесвободны; ...;sk — к станков неисправны, к рабочих заняты, остальные свободны (к< га); ...;sn — п станков неисправны, все рабочие заняты;sn+\ ~~ п + 1 станков неисправны, из них п налаживаются, одинстоит в очереди;...;sn+r — п + г станков неисправны, из них п налаживаются, г вочереди (п + г < га);...;sm — все га станков неисправны, из них п налаживаются, га - пждут очереди.Предоставляя читателю самостоятельно построить граф состояний СМО, приведем только окончательные формулы для вероятностей состояний:Рога1+ т p+(га — 1)р +9 + тп (га — 1)...
(га — к р+ 1)u -4iто (то - 1 ) . . . ( т - п)-г. -."i- ——нта+1рh(та -1)...[та - ( п + г - 1)]-f-...-]хп\пгп\пга In=гаPi Y ipp ;°гаР2 =(га - 1)—2!—р2Ро]'"'397Рк =т (т - l ) . . . ( m - fc + 1) ^ (л ^ и ^ п\.Р Ро (1 < к < nhк\т (т - l ) . . . ( m ~ n + l ) ^ w ^Рп =;р р 0 ;---;п!r ^ = m ( ' " - l M 7 : ( " + ''~ 1 V'Ml<r<m-l);= — ^ Р т е Р о , г д е р = Х/^.^(11.34.1)Через эти вероятности выражается среднее число занятых рабочих:к = 0-р0 +lPl + 2р2+...+(п-1)рп_г+ n (p n + p n + 1 +...+p TO ) == Pl + 2p 2 +...+(n - 1 ) ^ + n (1 - p 0 - P l - . . .
- P n - 1 ) . (11.34.2)Абсолютная пропускная способностьА = кц,(11.34,3)а среднее число неисправных станковw = m-k[i/\= m-k/p.(11.34.4)11.35. Двое рабочих (п = 2) обслуживают шесть станков (га = 6).Станок требует наладки в среднем через каждые полчаса. Наладказанимает у рабочего в среднем 10 мин. Все потоки событий — простейшие. 1) Определить характеристики СМО: среднее число занятых рабочих к; абсолютную пропускную способность А; среднеечисло неисправных станков w; 2) Установить, улучшатся ли характеристики СМО, если рабочие будут налаживать станки совместно,тратя вдвоем на наладку одного станка в среднем 5 мин.Р е ш е н и е .
1) Решаем задачу в первом варианте (рабочие налаживают станки порознь). Имеемга=6;п= 2 ; \ = 2;(л = 6;р = Х/|х = 1/3. По формулам (11.34.1)Ро1+ - 1 + — — + 6 '131-2 З6-5-4-3-2 11-2-2 3 З 525 4J_ .1-2-2 З6 53' 4 ' 3 J_ .1-2-2 2 З 46-5-4-3-2-1 11-2-2 4З60,153;рг = 6 / 1 - 1 / 3 - р0 « 0,306.Среднее число занятых рабочих находим по формуле (11.34.2);к = 1 • рг + 2 (1 - р0 - рг) « 1,235. Абсолютная пропускная спо398собность А — k\t, «7,41. Среднее число неисправных станковw = 6 - 7,41 / 2 « 2,30.2) Если рабочие налаживают станки вместе, то СМО превращается в одноканальную (то = 6; п = 1) при р, = 12.
Расчеты произведем для р = Х/р, = 1/6. По формулам (11.31.1)6-5Роб6-5-4-3-2-116-5-42б6-5-4-33б6-5-4-3-24б51«0,264;б6рх «0,264; р2 «0,220; р3 «0,147;р4 » 0,076; р5 « 0,024; р 6 « 0,004; 57 = 6 - - ^ — w 1,59.1/6Среднее число занятых каналов к =1 — р0 = 0,736. Однако,учитывая, что «канал» обслуживания состоит в данном случае издвух рабочих, среднее число занятых рабочих будетV = 2 • 0,736 « 1,47;А = jfcp, = 0,736 • 12 « 8,8.Таким образом, взаимопомощь между рабочими (каналами обслуживания) в данном случае повысила среднюю занятость с 1,23до 1,47, снизила среднее число неисправных станков с 2,30 до 1,59и повысила пропускную способность с 7,4 до 8,8.11.36. Имеется простейшая трехканальная СМО с отказами; нанее поступает поток заявок с интенсивностью X = 4 заявки/мин;время обслуживания заявки одним каналом £обсл = 1 / \i = 0,5 мин.Спрашивается, выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу?Причем в этом случае среднее время обслуживания уменьшаетсявтрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки вСМО?Р е ш е н и е .
1) Находим вероятности состояний СМО безвзаимопомощи между каналами по формулам Эрланга (11.0.6):Ро1!2!3!Q = l-POTH«0,158;2*Р<ля=рз=—Ро«0^1;«0,79; A = \ Q « 3 , 1 6 .Среднее время пребывания заявки в СМО вычислим как вероятность Q того, что заявка будет принята к обслуживанию, умноженную на среднее время обслуживания: tcliCT « 0,79 • 0,5 « 0,395 мин.2) Объединяем все три канала в один с параметром \х = 3 • 2 = 6;получаем399Ро=-VTТ= 06' ' Л ^(2/3)0,6 = 0,4;(1 + 2/3)" 1P O T K = P l = 0 , 4 ; g = l - P O T K = 0 , 6 ; Л = \Q = 4 -0,6 = 2,4.Сравнив эту пропускную способность с пропускной способностью СМ О в первоначальном варианте, видим, что она не увеличилась (как это было в предыдущей задаче), а уменьшилась! Легкопонять, почему это произошло: благодаря объединению двух каналов в один увеличилась вероятность отказа (того, что пришедшаязаявка застанет оба канала занятыми и уйдет необслуженной).Среднее время пребывания заявки в СМО во втором вариантебудет меньше, чем в первом: tCUCT = Q (1/6) = 0,1 мин.
Однако этоуменьшение куплено «дорогой ценой» — тем, что ряд заявок вовсе не обслуживаются и, значит, проводят в СМО нулевое время.Почему же в предыдущей задаче объединение двух каналов водин повысило эффективность обслуживания? Предлагаем читателю подумать над этим вопросом и объяснить кажущееся противоречие. Не потому ли, что в СМО с отказами заявки не становятся в очередь?11.37.
Имеется простейшая трехканальная СМО с неограниченной очередью. Интенсивность потока заявок X = 4 заявки/ч;среднее время обслуживания £обсл = 1 / \i = 0,5 ч. Выгодно ли, имеяв виду: 1) среднюю длину очереди, 2) среднее время пребываниязаявки в очереди, 3) среднее время пребывания заявки в СМО,объединить все три канала в один, с втрое меньшим средним временем обслуживания?Р е ш е н и е . 21) В первоначальном варианте (трехканальнаяСМО): п = 3, Х = 4,м, = 1 / 0 ^ = 2;р = Х/р, = 2;х = р / п = 2 / 3 < 1 .Финальные вероятности существуют.
Вычисляем р0 по формулам(11.0.21):Ро =]=1I21!2 -1/93-3!(1/3)2|=222!I233![_24-(1/3) ] _ 1 _ 1 .3! (1 — 2/3)189*сист = * о , + < о 6ч°г_ = 2 ^X 92«°>722-2) При объединении трех каналов в один: п = 1; X = 4; JJL = 6;р = 2/3. По формулам (11.0.12)—(11.0.14) имеемг = ¥-Ш- » 1,333; *_= - « 0,333 ч;оч1/3X*сист = * м + «„б = 1 / 3 + 1 / 6 = 0,500.400Таким образом, объединение трех каналов в один, несколькоснизив среднее время пребывания заявки в СМО (с 0,722 до0,500), повысило среднюю длину очереди и среднее время пребывания заявки в ней.
Это произошло потому, что, пока три каналасовместно обслуживают одну заявку, другим (вновь пришедшим)заявкам приходится ждать в очереди.Повышение эффективности обслуживания, наблюдаемое приобъединении каналов в замкнутой СМО, связано с тем, что интенсивность потока заявок при выходе из строя их источников(станков) уменьшается.11.38. Рассматривается система массового обслуживания —стоянка такси, на которую поступают простейший поток пассажиров с интенсивностью X и простейший поток автомобилей с интенсивностью [L. Пассажиры образуют очередь, которая уменьшается на единицу, когда к стоянке подходит автомобиль (берется«идеальный» случай, когда водитель безропотно везет каждогопассажира туда, куда ему требуется).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
