Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 52
Текст из файла (страница 52)
11.1321Рис. 11.14379также характеристики эффективности СМО: А, &, f, z, £сист ,£очпри X = 2, \i = 1, v — 0,5, ч = 1.Р е ш е н и е . Состояния СМО:500 — СМО свободна, канал исправен;510 — канал занят и исправен, очереди нет;sn — канал вышел из строя, ремонтируется; в СМО имеетсяодна заявка, ждущая очереди;s20 — канал занят и исправен; одна заявка обслуживается, другая ждет очереди;521 — канал вышел из строя, ремонтируется; в очереди ждут двезаявки;%) — канал занят и исправен; две заявки ждут очереди, однаобслуживается.Граф состояний СМО показан на рис.
11.14. Уравнения дляфинальных вероятностей состояний:м>ю=хРоо;м>2о + ЧРП + хРоо = (и» + 1 + v) Рю;м>зо + чр 2 1+Х^ю>Ф20 = 0х + У ) ^30 5^ ю = (ч + х ) Р п ;х=(м« + 1 + у ) Р2о;VP20 = (М- + У ) РЗО 5^ п + уР2о + у^зо = ч ?21;Р00 + PlO + Pll + ^20 + ?21 + РЗО =LРешая эти уравнения при X = 2, \i = 1, у = 0,5, ч = 1, получаем:р 00 = 3/61 « 0,049; р10 = 6/61 « 0,098; р 20 = 14/61 « 0,230;р30 = 56/183 « 0,306;Pl= 1 / 6 1 « 0,016; р 21 = 5/183 « 0,301.ОтсюдаJ = 1 (р10 + р и ) + 2 (р20 + р21) + 3 рзо = 383/183 « 2,09;г = 1 (р 20 + рп ) + 2 (р 21 + pzo) = 89/61 « 1,46.fc = 1 (р10 + р20 +р30) = 116/183 « 0,63.Абсолютная пропускная способность Л для СМО с неотказывающими каналами могла бы быть найдена умножением к на |х; внашем случае производительность одного канала (среднее числозаявок, фактически обслуживаемых в единицу времени) можнонайти, умножая к на вероятность |л / (|л + у) тогс^ что начатое обслуживание будет доведено до конца: А = k\i -\i / (\i + v) == k[i2/ (\i + v) «0,42.11.15.
В стоматологическом кабинете три кресла (п = 3), а в коридоре имеются три стула (га = 3) для ожидающих приема. Потокклиентов — простейший с интенсивностью X = 12 клиент/ч. Время обслуживания (приема клиента) — показательное со средним380значением to6cjl = 20 мин. Если все три стула в коридоре заняты,клиент в очередь не становится.
Определить среднее число клиентов, обслуживаемых за час, среднюю долю обслуженных клиентовиз числа пришедших, среднее число занятых стульев в коридоре,среднее время £сист, которое клиент проведет в коридоре и в кабинете; то же самое среднее время при условии, что клиент будет обслужен.Р е ш е н и е . р = 12/3=4; х = р/3 = 4/3; п = 3; т = 3 . По формулам (11.0.26)-(11.0.30) находим:[424344 1 — ( 4 / 3 ) 3 1 _ 1V / ;р = J1 + 4 + — + — +'« 0,01218 « 0,012;[263-61-4/3Jрг = 4 • 0,01218 « 0,049; р2 = 8 • 0,01218 « 0,097;3244рг = _ .
0,01218 « 0,130; p3+i = — * 0,01218 « 0,173;3364Рз+2 = -Рз+1 ~ °' 231 5О4^3+3 = -Рз+2 ~ ° ' 3 0 7 'ОСредняя доля обслуживаемых клиентов Q = 1 — Ротн == 1 - Рз+з ~ ! ~ °> 307 = °' 693 Среднее число клиентов, обслуживаемых за час, равно А == \ Q « 12 -0,683 ^8,32.Среднее число занятых каналов (кресел) [по формуле (11.0.27)]к = 4(1 - р 3 + з ) «2,78.Среднее число клиентов в очереди [по формуле (11.0.28)]_ 4 4 -0,01218 1 - 4 - ( 4 / 3 ) 3 + 3 ( 4 / 3 ) 41 _23-6(1-4/3)z = г + А; = 4,34; *оч = г / X w 0,13 ч; *сист = z / X « 0,362 ч.Такие малые значения fCHCT и f04 связаны с тем, что некоторыеклиенты уходят, не становясь в очередь.
Условное среднее время,проведенное клиентом в системе, при условии, что он был обслужен, равно tcliCT = £сист / Q « 0,52 ч, а условное среднее время пребывания в очереди (при том же условии) tQ4 =tQ4 / Q « 0,19 ч.11.16. Формулы (11.0.26), (11.0.28) при х = 1 дают неопределенность вида 0/0. Раскрыть эту неопределенность и написатьформулы, справедливые при х = 1Р е ш е н и е . При правилу Лопиталя1-Хш_~т т-1Um- ^— - — ^ Х= т;x=i 1 - х-X381Ро! + £+...+*•1!П\vn+l+П-П(11.16.1)Рк ^тт^о (*<*<*);(11.16.2)А:!(11.16.3)п!т.е. все вероятности, начиная с рп и заканчивая p n+m , равны другдругу.Формулы для A, Q, Р отк , к остаются прежними.Раскрывая неопределенность в формуле (11.0.28), получаемliml-(m+l)xm+ m x га+1 _ т (т + 1);~2(i-x)2p n + 1 p 0 m (m + 1 )2n • п!(11.16.4)Формулы (11.0.29), (11.0.30) остаются прежними.Формулы (11.16.1)—(11.16.3) можно было бы вывести и не раскрывая неопределенность, а непосредственно из схемы гибели иразмножения.11.17.
1) Подсчитать характеристики эффективности A, Q,Р отк , к, f, z, tQ4, fCHCT для простейшей одноканальной СМ О с тремяместами в очереди (га = 3) при условиях: Х = 4 заявки/ч;to6cji = 1 / (х = 0,5.2) ВЫЯСНИТЬ, как эти характеристики изменяются, если увеличить число мест в очереди до т = 4.Р е ш е н и е .
|i=2; р = \Дх=2; по формулам (11.0.12)—(11.0.16)при т = 3 имеем: р 0 = 1/31; р 4 = 16/31; Q « 0,484; Л = XQ « 1,93заявки/ч; к = р<3 ~ 0,968; г « 2,19 заявки; J « 3,16 заявки; £оч « 0,55ч;*сист «0,79 ч.2) При m = 4 имеем р0 = 1/63 « 0,0158; р 5 = 32/63 « 0,507;Q « 0,493; Л «1,96 заявки/ч; г « 3,11 заявки; z = 4,09 заявки;£оч «0,78ч;*"сист «1,02 ч.Таким образом, увеличение числа мест s с трех до четырех приводит к незначительному увеличению абсолютной (и относительной) пропускной способности, сопровождаясь при этом некоторым увеличением среднего числа заявок в очереди и в системе, атакже соответствующих средних времен. Это и естественно, таккак некоторые заявки, получающие отказ в первом варианте, всеже становятся в очередь во втором.38211.18.
Как изменятся характеристики эффективности СМОпредыдущей задачи, если X и [i остаются прежними, га = 3, но число каналов обслуживания увеличится до п = 2?Р е ш е н и е , х = 1; по формулам (11.16.1), (11.16.2) имеемр0 = 1 / 1 1 ; р 1 =...= р 5 = 2 / 1 1 ; (9 = 1 - 2 / 1 1 «0,818; А «3,27 заявки/ч; f = 12 / 11 « 1,09 заявки; к = А / \i « 1,64; z = f + i « 2,73заявки; £оч «0,27ч;£ сист «0,68 ч.11.19.
Система массового обслуживания — билетная касса с одним окошком (п = 1) и неограниченной очередью. В кассе продаются билеты в пункты А и В; пассажиров, желающих купить билетв пункт А, приходит в среднем трое за 20 мин, в пункт В — двое за20 мин. Поток пассажиров можно считать простейшим. Кассир всреднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Время обслуживания — показательное. Установить, существуют ли финальныевероятности состояний СМО и если да — вычислить первые трииз них: pQ, pv p2. Найти характеристики эффективности СМО:zi ri ^сист И^оч •Р е ш е н и е . \А = 3 / 2 0 = 0,15 заявки/мин; \ в = 2 / 20 = 0,10 заявки/мин.
Общая интенсивность потока заявок X = \А ++ \ в = 0,25 заявки/мин; |х = 3 / 10 = 0,3 заявки/мин; р = X / р, «« 0,833 < 1, финальные вероятности существуют. По формулам(11.0.12)—(11.0.14): р0 «0,167; рг «0,139; р2 «0,116; z« ^ ^ «0,167« 4,99 / 0,25 «« 4,99 заявки; г = 0,8332 / 0,167 « 4,16 заявки; tcllCT« 20,0 мин; fOH « 4,16 / 0,25 « 16,7 мин.11.20. Одноканальная СМО — ЭВМ, на которую поступают заявки (требования на расчеты).
Поток заявок — простейший сосредним интервалом между заявками t = 10 мин. Время обслуживания Гобсл распределено по закону Эрланга 3-го порядка с математическим ожиданием to6cJl = 8 мин. Определить среднее число zзаявок в СМО и среднее число F заявок в очереди, а также средниевремена пребывания заявки в системе £сист и в очереди tQ4.Р е ш е н и е . Характеристики СМО могут быть найдены поформуле Полячека — Хинчина (11.0.31), (11.0.32). Имеем: X = 0,1заявки/мин; |л = 0,125 заявки/мин; р = ХДх = 0,8.Коэффициент вариации времени обслуживания для законаЭрланга 3-го порядка равен 1/V3.
По формуле (11.0.31)f=0,64(1 + 1/3):(2 -0,2)«2,13. По формуле_ (11.0.32) z = г + 0,8 «« 2,93. По формуле Литтла tQ4 « 21,3 мин, £сист « 29,3 мин.11.21. Условия предыдущей задачи изменены: поток заявокуже не простейший, а пальмовский, причем интервал между событиями в потоке распределен по обобщенному закону Эрланга 2-гопорядка (см.
задачу 8.31) с параметрами Хх = 1/2; Х2 = 1/8. Найти383приближенно, по формулам (11.0.34)—(11.0.37), характеристикиэффективности СМО.Р е ш е н и е . Случайная величина Г, распределенная по обобщенному закону Эрланга 2-го порядка, есть сумма двух случайных величин Тг и Г2, распределенных по показательным законамс параметрами: 1г — 1 / 2; Х2 = 1 / 8 . Отсюда М[Г] = 1 / Хх + 1/Х„ =:10мин; D[T] = D p ; ] + D[T2] = 2 2 + 8 2 =68; v* =68/10 2 = 0,68; ^= 1/3.
Следовательно, г = 1,62 заявки; z=2,42 заявки; £оч =16,2 мин;*сист= 24,2 мин.11.22. Техническое устройство (ТУ) может время от временивыходить из строя (отказывать). Поток отказов ТУ — простейшийс интенсивностью X = 1,6 отказа в сутки. Время Тв восстановления(ремонта) ТУ имеет равномерное распределение на участке от 0 до1 сут. Найти (для предельного стационарного режима) среднююдолю R времени, в течение которого ТУ работает.Р е ш е н и е .
Состояния ТУ: s0 — работает; sx — ремонтируется.Граф состояний ТУ показан на рис. 11.22, где |л = 1 /М[Г В ] == 1/0,5 = 2. Этот граф в точности совпадает с графом состоянийодноканальной СМО с отказами. Мы знаем, что если поток заявок, поступающих на СМО, — простейший, а время обслуживания имеет произвольное распределение, то справедливы формулы Эрланга (11.0.6); в данном случае р = Х/|л = 0,8; р0 == {1 + Р / 11}"1 = 1/1,8 « 0,556; рг = 1 - 0,556 « 0,444. Итак, R «« 0,556, т. е. ТУ будет работать немногим более половины всеговремени, а остальное время ремонтироваться.11.23. В условиях предыдущей задачи ТУ дублировано точнотаким же ТУ, которое может выходить из строя только в работающем состоянии; X, |л — такие_же, как в задаче 11.22.
Найти величину Л, а также среднее число к неисправных ТУ.М-Рис. 11.222[хРис. 11.23Р е ш е н и е . Состояния системы S: s0 — оба ТУ исправны (одноиз них работает, другое нет); sx — одно ТУ работает, другое ремонтируется; s2 — оба ТУ ремонтируются. Граф состояний дан на рис.11.23. Граф в точности совпадает с графом состояний двухканальной СМО с отказами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
