Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 53
Текст из файла (страница 53)
По формулам Эрланга (11.0.6)-1Ро =1+2!- {1 + 0,8 + 0,64 / 2} _ 1 w 0,472;рх « 0,8 • 0,472 = 0,378; R = р0 + рх « 0,850; р2 = 0,150;384к = 1 • рг + 2р2 = 0,678.Очевидно, тот же прием (сведения к СМО с отказами) можетбыть применен и в случае, когда число дублирующих ТУ болееодного.11.24. Система массового обслуживания — обувной магазин, вкотором каждый покупатель проходит три фазы обслуживания:1) примерка и выбор обуви; 2) уплата денег в кассу и 3) получениепокупки на контроле. В магазин прибывает простейший поток покупателей с интенсивностью X = 45 чел/ч.В отделе примерки имеются четыре стула, занимая которые,покупатели могут самостоятельно выбирать и примерять обувь.Среднее время примерки и выбора обуви tx = 5 мин. Выбравшийобувь покупатель направляется в кассу, где вторично становитсяв очередь (касса в магазине одна).
Среднее время оплаты товара вкассе t2 = 1 мин. После оплаты покупатель идет на контроль, гдестановится в новую очередь и получает покупку. На контроле работают три продавца; среднее время выдачи покупки t = 2 мин.Все потоки событий — простейшие.Рассматривая магазин как трехфазовую СМО, найти характеристики ее эффективности:h (*2 > *з) ~~ с Р е Д н е е число покупателей в очереди к первой(второй, третьей) фазе обслуживания;zx (z2,z3) — среднее число покупателей, связанных с первой(второй, третьей) фазой обслуживания;^оч(1)> (^оч(2\^"оч(3)) ~~ среднее время ожидания покупателя вочереди к первой (второй, третьей) фазе;^сист(1)5 (^сист(2) J ^сист(3)) ~~ среднее время пребывания покупателя в первой (второй, третьей) фазе обслуживания;г — общее среднее число покупателей во всех трех очередях;| — общее среднее число покупателей в магазине;t оч — общее среднее время, проводимое покупателем в очередях;*сист — общее среднее время, затрачиваемое покупателем наприобретение обуви в магазине.Дополнительно ответить на следующие вопросы: 1) В какомзвене и как нужно улучшить обслуживание для того, чтобы сократить затраты времени покупателей? 2) Как можно было бы учестьтот факт, что не все покупатели находят себе подходящую обувь,и какая-то доля а из них (0 < а < 1) уходит из магазина, не сделавпокупки?Р е ш е н и е .
Так как все потоки событий простейшие, то выходные потоки всех трех фаз тоже будут простейшими, и можнорассматривать три последовательные фазы как три отдельныеСМО со своими характеристиками.3851 . П е р в а я ф а з а . Так как в отделу примерки четыре стула, точисло каналов щ = 4. Далее, имеем tx — 1/\хг — 5 мин = 1/12 ч;рх = 45/12 = 15/4 и 3,75; Xi = P i l n \ = 15/ 1 6 < !• По формулам(11.0.21)—(11.0.25) находим:№=+4, о^г v(3,75)(3,75)3 (3,75);1 + 3,75 + ' ' + v ' ' + v+22-32-3-4-i(3,75) 52-3-4-4(1-15/16)]» (151,58)-1 « 0,0066; jfe, = 3,75;(3,75)5p<1}5 = \ ' ;, ,, ° ^22 «13,01;4-4! ( 1 - X l )z1= 16,76;f W = Fj /X «0,289 ч и 17,3 мин; i^.T = zx /X « 0,372 ч « 22,3 мин.2. В т о р а я ф а з а . X = 45; п 2 = 1; р 2 = 0,75 < 1.
По формулам(11.0.12)—(11.0.14) получаем:г2 = р*/(1 - р а ) = 9/4 = 2,25; z 2 = р 2 /(1 - р 2 ) = 3;t£> = f2/p, = 0,05 ч ^ З мин; * ^ т = 1/15 ч = 4 мин.3. Т р е т ь я ф а з а . Пд = 3; Х = 45; р 3 =3/2; х 3 =0,5< 1 . По формулам (11.0.21)—(11.0.25) находим: р^ и 0,210; г3 » 0,237;z3 « 1,737; t^) « 0,316 мин; t ^« 2,316 мин.Складывая средние численности трех очередей, получаем общую среднюю численность очереди:r = r1+f2+r3«15,5.Аналогично находим среднее число покупателей в магазинеz = гг -Ь z2 -f J 3 ~ 21,5.Среднее время пребывания покупателя в очереди'"оч = i£> + ££> + t™ ~ 20,6 мин.Среднее время пребывания покупателя в магазине^сист==^сист "т" ^сист "•" ^сист ~ ^",0 М И Н .1) Улучшить обслуживание можно, уменьшая время пребыванияпокупателя в первой фазе, которая представляет собой наиболееслабое звено СМО. Всего проще достигнуть этого, увеличив числопх стульев в отделе примерки, т.е.
число каналов обслуживания впервой фазе. Например, простое увеличение числа стульев на еди386ницу (т.е. переход от щ — 4 к щ = 5) дает существенный выигрышво времени. Действительно, при щ — 5 для первой фазы получим:Рх =3,75; x i =3,75/5 = 0,75; р^ 4 ={59,71}" 1 ; гг «2,08;гг « 5 , 1 3 ; * ^ « 1,84 мин; t£j.T « 6,84 мин.2) Учесть наличие доли покупателей а, уходящих из магазинабез покупки, можно, умножив интенсивность входного потокавторой и третьей фаз на (1 - а).11.25. На железнодорожную сортировочную станцию поступает эрланговский 10-го порядка поток составов с интенсивностью X = t2 состава/ч.
^ Время обслуживаниясостава Гобсл распределено в интервале от 0 до 1 чпо закону с плотностью ф(£), показанной нарис. 11.25. Оценить приближенно [по формулам(11.0.34)—(11.0.37)] характеристики эффективности станции — среднее число z составов настанции, в очереди г, среднее время tcmT пребывания состава на станции, среднее время t04ожидания составом очереди на обслуживание.Решение.Для законаср (t)имеемto6cjl = 1 / 3; р = X / |i = 0,8 < 1. Для потока Эрланга 10-го порядкаvl = (1 / Vfc)2 = 0,1; v* определяем, разделив дисперсию D[To6cJ1]на квадрат математического ожидания: v * = 1 / 2 = 0,5.Находим характеристики СМО:г = Р2 («х + vl) / [2 (1 - р)] = 0,82 (0,1 + 0,5) / (2 • 0,2) = 0,96;z = г + р « 0,96 + 0,8 = 1,76;*~оч = г / Х « 0 £ ч ; *сист =im + l / | i » 1,13 ч.11.26.
Показать, что для простейшей п-канальной СМО с неограниченным числом мест в очереди среднее число заявок, находящихся в очереди, заключено в пределахXn+1п1-Х Хп(п-1) + 1_ xn+11-ХР е ш е н и е . Запишем выражение для г в следующем виде [см.формулы (11.0.23), (11.0.21)]:-P n + 1 Роn-n!(l-x)2X1-х)РпnlПодчеркнем, что здесь X — интенсивность именно эрланговского потока, а не тогопростейшего потока, прореживанием которого получен эрланговский.387Следовательно,2(Vn£1>-1nP.+...+ P_ + £2L2n! n! 1 - x J1 + ^ + ^ L 1) +...+- П ! + X1+ p+n!In12x)i1 + IL + IL.+...+IL -+...+- x2PP>P= X" ( 1 - Х ) -x)С другой стороны,Pn <,1nnnppp1 + - + —+...+— + 1X"(l-X)nX"(n-1) + 1XX)Так как [ x " ( l - x ) n ] / [ x " ( n - l ) + l ] < p „ < x " ( l _ x ) r T oуказанное в задаче неравенство также выполняется. Заметим, чтопоследнее неравенство может быть использовано для приближенного определения всех характеристик рассматриваемой СМО.11.27.
Железнодорожная касса имеет два окошка, в каждом изкоторых продаются билеты в два пункта: Ленинград и Киев. Потоки пассажиров, приобретающих билеты в Ленинград и в Киев,одинаковы по интенсивности, которая равна Х0 = 0,45 пасс/мин.Среднее время обслуживания пассажира (продажи ему билета)*"обсл = 2 МИН.Поступило рационализаторское предложение: для уменьшения очередей (в интересах пассажиров) сделать обе кассы специализированными: в первой продавать билеты только в Ленинград,а во второй — только в Киев. Считая в первом приближении всепотоки событий простейшими, проверить разумность этого предложения.Р е ш е н и е . 1) Вычислим характеристики очереди для двухканальной СМО (существующий вариант). Интенсивность потоказаявок X = 2Х0 =0,9 пасс/мин; \i = 1 / to6cjl = 0,5 пасс/мин;р = X / [х = 1,8; х = Р / 2 = 0,9 < 1, финальные вероятности существуют.
По формуле (11.0.21)-1РоU1 + 1,8 + 1,8' +411-0,9• 0,0525;по формуле (11.0.23)1,83 -0,0525г =2 • 2 • 0,013887,7 пасс; t04 =1J_ 8,56 мин.0,92) Во втором варианте (предлагаемом) имеем две одноканальные СМО: р = Х0 / р, = 0,45 / 0,5 = 0,9 < 1.Средняя длина очереди у одной кассы [по формуле (11.0.13)]равна г = р 2 / (1 — р) = 0,92 / 0,1 = 8,1 пасс. Суммарная длина очереди к обеим кассам будет 2г = 16,2 пасс.Время пребывания пассажира в очереди (11.0.14) tQ4 = г / X == 8,1 / 4,5 = 18 мин, что почти вдвое превосходит время стояния вочереди в существующем варианте: 8,6 мин.Вывод: «рационализаторское» предложение нужно отвергнуть,как резко снижающее эффективность СМО.
Резкое ухудшение характеристик СМО при переходе от двухканальной СМО (существующий вариант) к двум одноканальным СМО (предлагаемый вариант)объясняется тем, что, разделив кассу на две специализированные,мы лишили кассиров возможности подменять друг друга.11.28*. Простейшая многоканальная СМО с «нетерпеливыми»заявками и с неограниченным числом мест в очереди. Имеется простейшая n-канальная СМО с очередью; интенсивность потока заявок X, потока обслуживании |л = 1 / to6cJl.
Время пребывания заявки в очереди ограничено некоторым случайным сроком Г, распределенным по показательному закону с параметром У (на каждуюзаявку, стоящую в очереди, действует «поток уходов» с интенсивностью У).Написать формулы для финальных вероятностей состояний,найти относительную пропускную способность СМО Qy среднююдлину очереди г, среднее время tm пребывания заявки в очереди,среднее число z заявок в СМО и среднее время £сист пребываниязаявки в СМО.X\XSn2р.3(JLk[in\iSSn+1n+rn[i+vn\i-t-rvРис.
11.28Р е ш е н и е . Состояния системы по-прежнему будем нумеровать соответственно числу заявок, находящихся в СМО. Граф состояний показан на рис. 11.28. Пользуясь общими формулами длясхемы гибели и размножения и вводя обозначения р = X / р,;(3 = у / р,, получаем:РО=Ч11+£+Р_+...+ Р_+Р_1! 2!п\п! п + Э + (п + (3)(тг+2(3)+ ...+1+•+...(п + Р)(п + 2Э)...(п + ф)389fcPi =—.Poi — \1!л =TTPO (!<fc<");•••;k\nVn = ^ - T P O ;n!^ = n ^! ' (n^+ p)(n+2(3).../ 1 (n^ +^ rf3)• ^ 1 > - - ( 1 1 - 2 8 Л >В первую формулу (11.28.1) входит бесконечная сумма, не являющаяся геометрической прогрессией, но члены которой убывают быстрее, чем члены геометрической прогрессии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
