Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 50
Текст из файла (страница 50)
. . + £о : + J >o:1!п ! п -п ! 1 — х+кп+гРк = ^:Ро(1<Ь<п)\Рп+г = -г:Ро (*•>!)•(И-0.21)А:!п -п !С помощью функций Р(га, а) и R(m, а) формулы (11.0.21) могут бытьприведены к видуР{К Р)Pit(fc=0,...,n);(11.0.22)R(n,p)+P(n,p)-^i-xХарактеристики эффективности СМО:г = Р " + Ч / [ * - П ! ( 1 - Х ) 2 ] = ХР П / ( 1 - х ) 2 ;(11.0.23)z = г + к = г + р;(11.0.24)^сост=* / \Ъч=Г /\.(11.0.25)5.
Простейшая многоканальная СМО с ограничением по длине очереди. Условия и нумерация состояний те же, что в п. 4, с той разницей,что число т мест в очереди ограничено. Финальные вероятности состояний существуют при любых X и |л и выражаются формулами:Ро = 1лр1!p =pnп!p n+1 1 Xп -п ! 1 — х* i~! Po ^ - * - п ) ;368nn+rPn+r=-l—,Po(l<r<m),гдех = ?/ n = \/ (n\x).Характеристики эффективности СМО:A = \(l-pn+m);Q = l-pn+m,POTK=Pn+m;•=р^1-(т +n-n\z*оч =ГI Xfc=p(l-pn+m);(11.0.26)(11.0.27)1)хЧ-тх^(1-х) 2r + k;(11.0.29)*сист =Z / \ .(11.0.30)6. Многоканальная СМО с отказами при простейшем потоке заявоки произвольном времени обслуживания. Формулы Эрланга (11.0.6) остаются справедливыми и тогда, когда поток заявок — простейший, а время обслуживания_ Тобсл имеет произвольное распределение с математическим ожиданием t^^ = 1 / \i.7.
Одноканальная СМО с неограниченной очередью при простейшемпотоке заявок и произвольном времени обслуживания. Если на одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью X, авремя обслуживания Тобсл распределяется по произвольному закону с математическим ожиданием 1 / р и коэффициентом вариации v , то среднеечисло заявок в очереди выражается формулой Полячека—Хинчинаr=p2(l+tV)2/[2(l-p)],(Н.0.31)где р = X / |i, а среднее число заявок в СМО^ = {р2(1+^)2/[2(1-р)]}+р.(11.0.32)Из (11.0.31) и (11.0.32) по формуле Литтла получим^ i ± ^ ;u T = p 2 ( 1 + ^ \ i .(Н.0.33)K}2 Х ( 1 - р ) ' сист2Х(1-р)р8.
Одноканальная СМО при произвольном (пальмовском) потокезаявок и произвольном времени обслуживания. Точных формул дляэтого случая не существует, приближенная оценка длины очереди можетбыть произведена по формулеiоч=^«р2(^+<)/[2(1-р)],(Н.0.34)где i\ — коэффициент вариации интервала между событиями во входномпотоке; р = X / р; X — величина, обратная математическому ожиданиюэтого интервала; р = 1 / to6cjl — величина, обратная среднему времени обслуживания; v — коэффициент вариации времени обслуживания.
Среднее число заявок, связанных с СМО,* « {Р 2 К 2 + <)/ [2 (1 - Р)]} + Р,(Н.0.35)а средние времена пребывания заявки в очереди и в СМО соответственноравны:369*;4«P2K+<V2)/[2\(l-p)];(H-0.36)Lcr « { p 2 ( ^ + < ) / [ 2 X ( l - p ) ] } + l / l x .(11.0.37)9. Простейшая многофазовая СМО с очередью. Анализ многофазовых СМО в общем случае затруднен тем, что входящий поток каждой последующей фазы является выходным потоком предыдущей и в общемслучае имеет последействие. Однако если на вход СМО с неограниченнойочередью поступает простейший поток заявок, а время обслуживания показательное, то выходной поток этой СМО — простейший, с той же интенсивностью X, что и входящий.
Из этого следует, что многофазовуюСМО с неограниченной очередью перед каждой фазой, простейшим входящим потоком заявок и показательным временем обслуживания на каждой фазе можно анализировать как простую последовательность простейших СМО.Если очередь к фазе ограничена, то выходной поток этой фазы перестает быть простейшим и вышеуказанный прием может применятьсятолько в качестве приближенного.Далее будем пользоваться обозначениями для характеристик эффективности СМО, приведенными на с.
364, и по мере необходимости вводить некоторые другие обозначения.В дальнейшем, задавая плотность f(x) различными формулами на разных участках оси Ох, мы также не будем указывать значения f(x) на границах участков.Если единица измерения времени не фиксирована, будем для краткости обозначать интенсивности потоков событий просто буквами X, |а,...(без указаний размерностей). То же относится и ко времени гсист, tm • Еслиже единица времени фиксирована (час, минута, год и т.д.), то мы будемуказывать единицы измерения.В данной главе нам удобно будет записывать закон распределениясмешанной случайной величины Т не в форме функции распределенияF(i), а в форме «обобщенной» плотности f(t), которая определяется следующим образом:где F^(t) — производная функции распределения на участках ее непрерывности: р{ = Р{Т = t{); Ь(х) — дельта-функция, свойства которой даны в при л. 2.11.1. На вход одноканальной СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью X; время обслуживания — показательное с параметром р.
В начальный момент времени t = 0 канал свободен. Построить размеченный граф состоянийСМО. Написать и решить дифференциальные урав|—L_VJ1 нения Колмогорова для вероятностей состоянийI ° h—I Sl I СМО. Найти финальные вероятности состояний и(для установившегося режима) характеристики эфРис. 11.1фективности СМО: A, Qy POTK, к.370Р е ш е н и е . Состояния СМО: s0 — свободна; sx — канал занят.Граф состояний показан на рис. 11.1. Уравнения Колмогорова:dp0/dt = -\p0+[iPl]dp1/dt = \p0-[ipl.(ll.l.l)Так как р0 4- рг = 1 для любого t, можно выразить рг через р0:р — 1 — р0 и получить одно уравнение для р0:dpQ /dt = -(\ + ii)p0 + ц .(11.1.2)Решая это уравнение, получаем р0 как функцию tРо(0_М-Х + |л1+±е-<х+^отсюдаА( 0 = 1-Ро(') = т ^ - [ 1 - е - ( х + | 1 ) ' ] .Х+А|При t —> оо получим финальные вероятностиР о = и / ( Х + и); P I = \ / ( \ + \L),(П.1.3)которые можно было бы найти и гораздо проще, решая линейные алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний:\ р 0 = M-Pi 5 Ро + Рг = 1Формулы (11.1.3) можно записать компактнее, если ввестиобозначение р = X / р,:Р о = 1 / ( 1 + р); Р х = р / ( 1 + р).Характеристики эффективности СМО:А = \р0=-; Q= ; Ротк = рAlх = • р •1 + р'1 + р'^1 + р'*=1-р0=_е_.1+ р(11.1.4)11.2.
Одноканальная СМО с отказами представляет собойодну телефонную линию, на вход которой поступает простейшийпоток вызовов с интенсивностью X = 0,4 вызов/мин. Средняя продолжительность разговора £обсл = 3 мин; время разговора имеетпоказательное распределение. Найти финальные вероятности состояний СМО: р0 и pv а также A, Q, Р отк , к. Сравнить пропускнуюспособность СМО с номинальной, которая была бы, если бы разговор длился в точности 3 мин, а заявки шли одна за другой регулярно, без перерывов.371Р е ш е н и е . X = 0,4; \i = 1 / £обсл = 1 / 3 ; р — Х/|л = 1,2.
По формулам (11.1.3) р0 «1/2,2^0,455; рх «0,545; Q«0,455; A = \Q&«0,182; к = ^ « 0 , 5 4 5 .Таким образом, линия в среднем будет обслуживать 0,455 поступающих на нее заявок, т.е. 0,182 разговора в минуту. Номинальнаяпропускная способность канала была бы (при регулярно приходящих и регулярно обслуживаемых заявках) Аиом — 1 /to6cJl == 1/3 « 0,333 разг/мин, что почти вдвое больше, чем действительнаяпропускная способность А.11.3.
Имеется одноканальная СМО с отказами. Поток заявок —простейший с интенсивностью X . Время обслуживания — не случайное и в точности равно to6cJl = 1 / \х. Найти относительную и абсолютную пропускную способность СМО в предельном стационарном режиме.Р е ш е н и е . Рассмотрим на оси 0t простейший поток заявок синтенсивностью X (рис. 11.3). Будем отмечать кружками все заявки, которые приняты к обслуживанию. Пусть какая-то заявка,собсл^обсл*0-о t,^обсл-А•—•—•0—•—•—•^F~^©А^•'—'—^t"~^Рис.
11.3пришедшая в момент tv принята к обслуживанию. Тогда все заявки, пришедшие после нее за время to6cjl, получат отказ; следующейбудет принята к обслуживанию заявка, пришедшая в момент Ц такой, что t2 —tx> t^^. Рассмотрим интервал Г между концом обслуживания первой заявки и моментом t2 прихода ближайшейследующей, которая будет принята к обслуживанию. Из-за отсутствия последействия в простейшем потоке распределение интервала Т совершенно такое же, как и в вообще интервала между заявками, т.е. показательное с параметром X. Средняя длина интервала Т равна mt = 1/Х.Итак, на оси 0t будут чередоваться неслучайные интервалы занятости канала длины £обсл = 1/|л и случайные свободные интервалы со средней длиной 1/Х. На первые попадет доля всех заявок,равная1/И._ Xl/p.
+ 1/XХ + |х'а на вторые — доля, равная|л(Х + |л) = 1/(1 + р), где р = Х/|л.372Эта величина и есть относительная пропускная способностьСМОg = i / ( i + P),(и.3.1)откудаA = XQ = X / ( l + p).(11.3.2)Отметим, что формулы (11.3.1), (11.3.2) совпадают с (11.1.4),соответствующими показательному распределению времени обслуживания. Это и естественно, так как формулы Эрланга остаются справедливыми при любом распределении времени обслуживания со средним значением, равным 1/\х.11.4. Доказать, пользуясь формулой (11.0.5), что для простейшей одноканальной СМО с неограниченной очередью среднеечисло заявок, находящихся в СМО, равно z = р / (1 — р), гдер = X/JJL, а среднее число заявок в очереди г = р 2 / ( 1 — р).Р е ш е н и е . По формулам (11.0.12) р0 = 1 - р; pk = р*(1-р)(А; = 1,2,...).Обозначим Zфактическое (случайное) число заявок в СМО:ооооооz = M[Z] = £ > , = £ > р* (1 - р) = (1 - р) Х > Р* •к=0к=1к=1По формуле (11.0.5) для р < 1учР*=—Р—,ка-?)2откуда J = р / (1 — р).
Среднее число^заявок в очереди равное минуссреднее число занятых каналов к = А /\ь — Х/р, = р, т.е. г == E P / ( I - P ) ] - P ^ P 2 /(1-р).11.5. Железнодорожная сортировочная горка, на которую подается простейший поток составов с интенсивностью X = 2 состава в час, представляет собой одноканальную СМО с неограниченной очередью. Время обслуживания (роспуска) состава на горкеимеет показательное распределение со средним значением^обсл = 20 мин. Найти финальные вероятности состояний СМО,среднее число z составов, связанных с горкой, среднее число г составов в очереди, среднее время tCOCT пребывания состава в СМО,среднее время tQ4 пребывания состава в очереди.Р е ш е н и е .
X = 2 состава/ч; to6cJl = 1/3 ч; |х = 3 состава/ч;р = \Дх = 2 / 3 . По формулам (11.0.12) р0 = 1-2/3 = 1/3; рг =(2/3) хх(1/3) = 2/9; р 2 =(2/3) 2 (1/3) = 4/27;... рк = (2/3)*(1/3);... По форм у л а м ^ 1.0.13), (11.0.14) J = p / ( l - p ) = 2 состава; г = 4 / З с о става; tcliCT = 1 ч; tm = 2 / Зч.37311.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
