Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Можно доказать, что ошибка, возникающая от отбрасывания всех членовбесконечной суммы, начиная с r-го, меньше, чем -— -—-—— е~ р ^.п!г!Предположим, что вероятности р 0 , рг,..., рп ,..., рп+г, ... вычислены, и покажем, как можно найти характеристики даннойСМО: относительную пропускную способность Q, среднее числозаявок в очереди г и др. Найдем прежде всего Q.
Обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно.Подсчитаем, сколько заявок в среднем уходит из очереди досрочно в единицу времени. Интенсивность потока уходов, приходящаяся на одну заявку, стоящую в очереди, равна У, а суммарнаясредняя интенсивность потока уходов, приходящаяся на все заявки, стоящие в очереди, равна у г. Значит, абсолютная пропускнаяспособность СМОA = \-vr,(11.28.2)а относительнаяQ = A/\ = l - v r / \ .(11.28.3)Таким образом, для того чтобы найти Qy нужно прежде всегознать F, которую непосредственно можно было бы найти по формуле г = 1рп+1 + 2рп+2 +•••+ гРп+г +••• • Но эта формула плохатем, что содержит бесконечное число слагаемых. Этого можно избежать, если воспользоваться выражением для среднего числа занятых каналов к через А: к = А / |х или, учитывая (11.28.2),к = (X - У г) / \i = р - Рг.(11.28.4)Из (11.28.4) получимr = (p-t)/p,(11.28.5)а среднее число занятых каналов А: можно подсчитать как математическое ожидание случайной величины К (число занятых каналов) свозможными значениями 0, 1, 2, ..., п и соответствующими вероятностями p0J pv р2, ..., pn_v [1 - Оо +рг+...рп_г)]:390n[l-(p0++ p1+...+ pn_1)}.(11.28.6)Далее по формуле (11.28.5) вычисляем г.
Величину tOH находим по формуле Литтла:(11.28.7)Среднее число заявок в СМОz — г + к,(11.28.8)а среднее время пребывания заявки в СМО^СИСТ =^ /(11.28.9)X.П р и м е ч а н и е . Можно доказать, что для рассмотренной СМО с «нетерпеливыми» заявками финальные вероятности существуют всегда,если только (3 > 0. Это подтверждается тем, что ряд в первой формуле(11.28.1) сходится при любых положительных р и (3. По существу это означает, что очередь не может расти неограниченно: чем больше длина очереди, тем интенсивнее уходят из нее заявки.11.29.
Рассматривается простейшая двухканальная СМО с «нетерпеливыми» заявками (см. задачу 11.28). Интенсивность потоказаявок X = 3 заявки/ч; среднее время обслуживания одной заявкиto6cjl = 1 / |х = 1 ч; средний срок, в течение которого заявка «терпеливо» стоит в очереди, равен 0,5 ч. Подсчитать финальные вероятности состояний, ограничиваясь теми, которые не меньше 0,001.Найти характеристики эффективности СМО: Q, А, к, г, tm , tcliCT.Р е ш е н и е . Имеем X = 3, и.
= 1, у = 2; р = 3, (3 = 2, п = 2. Поформулам задачи 11.28 получаем:зРо2У2 44-6+ 4-6-8-10-12 + 4-6-8-10-12-14 ++ 4-6-8З4• +•4-6-8-10• +-1З7i 0,0692;4-6-8-10-12-14-16откудаPl= Зр 0 « 0,208; р2 = |Pl« 0,311; р3 = | р2 « 0,234;Pi = | Р З ~ °>117; Ръ = | Р 4 ~ 0,044; р6 = ^-р5Оо« 0,013;1U391Pr =— Рв «0,003; Ps=—P71218«0,001.Среднее число занятых каналов согласно (11.28.6): k = \рх ++ 2 (1 - £д - р х ) « 1,654; средняя длина очереди согласно (11.28.5)f = (р — &)/(3 = (3 — 1,654)/2 « 0,673; абсолютная пропускная способность А = k[i « 1,654 заявки/ч; относительная пропускная способность <5 — ^4/^ ~ 0,551 и далее: tQ4 = F/X « 0,224 ч; z == г + к « 2,327; £сист = г / \ « 0,776 ч.11.30. Простейшая СМО с «ошибками». Имеется п-канальнаяСМО с неограниченной очередью.
На ее вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью X; время обслуживания — показательное с параметром \х. Обслуживание происходит без гарантии качества; с вероятностью р оно удовлетворяет заявку, а с вероятностью q = 1 — р — не удовлетворяет, и заявка обращается вСМО вторично и либо сразу обслуживается, если нет очереди,либо становится в очередь, если она есть. Ввести состояния СМО(нумеруя их по числу заявок в СМО); найти финальные вероятности состояний и характеристики эффективности СМО. Найтисреднее число рекламаций, поданных в единицу времени, если каждая неудачно обслуженная заявка подает рекламацию с вероятностью R.Р е ш е н и е .
Состояния СМО:s0 —СМО свободна;sx — занят один канал;...;очереди нет;sk —занято к каналов (1 < к < п ) ; . . . ;5„ —заняты все п каналовзаняты все п каналов, а г заявок стоят в очереди(г=1,2, ...)•£XXX2]х}z\£(&+l)fiX,ХXтщтг\х тщП|1Рис. 11.30Граф состояний приведен на рис. 11.30, где jl = ^|ji. Из этогографа видно, что данная СМО эквивалентна другой СМО с полной гарантией качества обслуживания, но с интенсивностью потокаобслуживании,равной \х — p\i; дляэтойСМОр = X /jl = X / (р[л). Формулы (11.0.21)—(11.0.25) остаются справедливыми, но при замене р на р, р, Hajl.11.31.
Простейшая одноканальная замкнутая СМО. Один рабочий обслуживает т станков, которые время от времени отказы392вают (требуют наладки). Интенсивность потока отказов одногостанка равна X. Если в момент отказа станка рабочий свободен, оннемедленно приступает к наладке; если нет — станок становится вочередь на наладку, поток отказов станка простейший, время наладки — показательное с параметром \i = 1 /to6cjl. Ввести состояния СМ О, нумеруя их по числу неисправных станков; найти финальные вероятности состояний СМО и следующие характеристики ее эффективности: А — среднее количество станков,ремонтируемое рабочим в единицу времени; w — среднее числонеисправных станков; г — среднее число станков, ожидающих ремонта в очереди; Р зан — вероятность того, что рабочий будет занят.Р е ш е н и е .
Состояния СМО:s0 — все станки исправны (рабочий свободен);sx — один станок неисправен (рабочий занят его наладкой); ...;sk — к станков неисправны, один налаживается, к — 1 ждут очереди;sm — все га станков неисправны, один налаживается, га — 1ждут очереди.Граф состояний показан на рис. 11.31.Рис. 11.31По общим формулам схемы гибели и размножения, обозначаяр = Х/|л, получаемРо = {! + ТПР + m (m ~ 1) Р 2 +---++m (га - 1)...(га - к + 1) р*+...+га ! р т - 1 ;Pi = гарр0; Рг = m ( т - 1 ) Р 2 РО; •••;рк = га (га - 1)...
(га - к + 1) ркр0 (1 < к < п ) ; . . . ;pm=mlPmp0.(11.31.1)Чтобы определить абсолютную пропускную способность А,найдем сначала вероятность того, что рабочий занят:Рзан = 1 - П 0 .(11.31.2)Если рабочий занят, он налаживает |JL станков в единицу времени; значит,A = {1-PO)\L.(11.31.3)393Среднее число неисправных станков w можно выразить черезА с помощью следующих рассуждений.
Каждый работающий станок порождает поток отказов с интенсивностью X; в среднем работает т — w станков; порождаемый ими поток отказов имеет интенсивность (га - w) X; все эти неисправности ликвидируютсярабочим, значит, (1 - р0)р, = (га - w)\ откудаw=m -(i-Po)/p.(11.31.4)Среднее число г станков в очереди найдем следующим путем:w = r + k,(11.31.5)где к — среднее число обслуживаемых станков (или, иначе, среднеечисло занятых каналов обслуживания).
В нашем случае число занятых каналов равно 0, если рабочий свободен, и 1, если он занят:к = 0 • р0 4-1 (1 — р0) = 1 — р 0 . Следовательно,г = т - ( 1 - Р 0 ) / Р - ( 1 - Ро)илиr = m - ( 1 - р 0 ) ( 1 + 1/р).(11.31.6)11.32*. В условиях задачи 11.31 найти среднее время tQ4, которое будет ожидать наладки произвольно выбранный вышедший изстроя станок.Р е ш е н и е .
Формула Литтла, которой мы пользовались ранее,пригодна только для открытых СМО, где интенсивность потоказаявок не зависит от состояния СМО.Для замкнутых СМО онанепригодна. Время iQ4 найдем с помощью следующих рассуждений. Пусть в какой-то момент t появилась заявка (отказал станок). Найдем вероятность того, что в этот момент СМО находилась в состоянии sk (к = 0, ..., га — 1) (ясно, что в состоянии sm онанаходиться не могла).
Рассмотрим га гипотез:# 0 — в момент появления заявки СМО находилась в состоянииНг — в момент появления заявки СМО находилась в состоянииsvНк — в момент появления заявки СМО находилась в состоянииsk>•••>Нт_ j — в момент появления заявки СМО находилась в состоянии sm_vАприорные вероятности этих гипотез равны р0, рг, ..., рк, ...,•"УРТП-VТеперь найдем апостериорные вероятности гипотез при условии, что наблюдено событие Л = {на элементарном участке време394ни (t, t + dt) появился отказ станка}.
Условные вероятности этого события при гипотезах Н0, Hv ..., Hm_t равны:Р (А\Н0) = m\dt;Р (А\Н1) = ( т - 1)Р (А\Нк ) = (m-k)\dt;...;P\dt;...;{А\Н т_,) = \dt.По формулам Бейеса найдем апостериорные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло). Обозначая эти вероятности р0, рх,..., рк,..., рт _х, получаем:Ро =(ттр0Pi =га—1J2(m -k)pk-1)р1т— 1]П(т -к)рк/t=oк=0(m - к) ркРкm-l'т-1'(11.32.1)m kY,( ~ )Pkk=oк=0Зная эти вероятности, найдем полное математическое ожидание времени пребывания отказавшего станка в очереди.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
