Главная » Просмотр файлов » Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей

Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 54

Файл №1115276 Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей) 54 страницаЕ.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276) страница 542019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Можно дока­зать, что ошибка, возникающая от отбрасывания всех членовбесконечной суммы, начиная с r-го, меньше, чем -— -—-—— е~ р ^.п!г!Предположим, что вероятности р 0 , рг,..., рп ,..., рп+г, ... вы­числены, и покажем, как можно найти характеристики даннойСМО: относительную пропускную способность Q, среднее числозаявок в очереди г и др. Найдем прежде всего Q.

Обслужены бу­дут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно.Подсчитаем, сколько заявок в среднем уходит из очереди досроч­но в единицу времени. Интенсивность потока уходов, приходя­щаяся на одну заявку, стоящую в очереди, равна У, а суммарнаясредняя интенсивность потока уходов, приходящаяся на все заяв­ки, стоящие в очереди, равна у г. Значит, абсолютная пропускнаяспособность СМОA = \-vr,(11.28.2)а относительнаяQ = A/\ = l - v r / \ .(11.28.3)Таким образом, для того чтобы найти Qy нужно прежде всегознать F, которую непосредственно можно было бы найти по фор­муле г = 1рп+1 + 2рп+2 +•••+ гРп+г +••• • Но эта формула плохатем, что содержит бесконечное число слагаемых. Этого можно из­бежать, если воспользоваться выражением для среднего числа за­нятых каналов к через А: к = А / |х или, учитывая (11.28.2),к = (X - У г) / \i = р - Рг.(11.28.4)Из (11.28.4) получимr = (p-t)/p,(11.28.5)а среднее число занятых каналов А: можно подсчитать как математи­ческое ожидание случайной величины К (число занятых каналов) свозможными значениями 0, 1, 2, ..., п и соответствующими вероят­ностями p0J pv р2, ..., pn_v [1 - Оо +рг+...рп_г)]:390n[l-(p0++ p1+...+ pn_1)}.(11.28.6)Далее по формуле (11.28.5) вычисляем г.

Величину tOH нахо­дим по формуле Литтла:(11.28.7)Среднее число заявок в СМОz — г + к,(11.28.8)а среднее время пребывания заявки в СМО^СИСТ =^ /(11.28.9)X.П р и м е ч а н и е . Можно доказать, что для рассмотренной СМО с «не­терпеливыми» заявками финальные вероятности существуют всегда,если только (3 > 0. Это подтверждается тем, что ряд в первой формуле(11.28.1) сходится при любых положительных р и (3. По существу это озна­чает, что очередь не может расти неограниченно: чем больше длина очере­ди, тем интенсивнее уходят из нее заявки.11.29.

Рассматривается простейшая двухканальная СМО с «не­терпеливыми» заявками (см. задачу 11.28). Интенсивность потоказаявок X = 3 заявки/ч; среднее время обслуживания одной заявкиto6cjl = 1 / |х = 1 ч; средний срок, в течение которого заявка «терпе­ливо» стоит в очереди, равен 0,5 ч. Подсчитать финальные вероят­ности состояний, ограничиваясь теми, которые не меньше 0,001.Найти характеристики эффективности СМО: Q, А, к, г, tm , tcliCT.Р е ш е н и е . Имеем X = 3, и.

= 1, у = 2; р = 3, (3 = 2, п = 2. Поформулам задачи 11.28 получаем:зРо2У2 44-6+ 4-6-8-10-12 + 4-6-8-10-12-14 ++ 4-6-8З4• +•4-6-8-10• +-1З7i 0,0692;4-6-8-10-12-14-16откудаPl= Зр 0 « 0,208; р2 = |Pl« 0,311; р3 = | р2 « 0,234;Pi = | Р З ~ °>117; Ръ = | Р 4 ~ 0,044; р6 = ^-р5Оо« 0,013;1U391Pr =— Рв «0,003; Ps=—P71218«0,001.Среднее число занятых каналов согласно (11.28.6): k = \рх ++ 2 (1 - £д - р х ) « 1,654; средняя длина очереди согласно (11.28.5)f = (р — &)/(3 = (3 — 1,654)/2 « 0,673; абсолютная пропускная спо­собность А = k[i « 1,654 заявки/ч; относительная пропускная спо­собность <5 — ^4/^ ~ 0,551 и далее: tQ4 = F/X « 0,224 ч; z == г + к « 2,327; £сист = г / \ « 0,776 ч.11.30. Простейшая СМО с «ошибками». Имеется п-канальнаяСМО с неограниченной очередью.

На ее вход поступает простей­ший поток заявок с интенсивностью X; время обслуживания — по­казательное с параметром \х. Обслуживание происходит без гаран­тии качества; с вероятностью р оно удовлетворяет заявку, а с веро­ятностью q = 1 — р — не удовлетворяет, и заявка обращается вСМО вторично и либо сразу обслуживается, если нет очереди,либо становится в очередь, если она есть. Ввести состояния СМО(нумеруя их по числу заявок в СМО); найти финальные вероятно­сти состояний и характеристики эффективности СМО. Найтисреднее число рекламаций, поданных в единицу времени, если ка­ждая неудачно обслуженная заявка подает рекламацию с вероят­ностью R.Р е ш е н и е .

Состояния СМО:s0 —СМО свободна;sx — занят один канал;...;очереди нет;sk —занято к каналов (1 < к < п ) ; . . . ;5„ —заняты все п каналовзаняты все п каналов, а г заявок стоят в очереди(г=1,2, ...)•£XXX2]х}z\£(&+l)fiX,ХXтщтг\х тщП|1Рис. 11.30Граф состояний приведен на рис. 11.30, где jl = ^|ji. Из этогографа видно, что данная СМО эквивалентна другой СМО с пол­ной гарантией качества обслуживания, но с интенсивностью по­токаобслуживании,равной \х — p\i; дляэтойСМОр = X /jl = X / (р[л). Формулы (11.0.21)—(11.0.25) остаются спра­ведливыми, но при замене р на р, р, Hajl.11.31.

Простейшая одноканальная замкнутая СМО. Один ра­бочий обслуживает т станков, которые время от времени отказы392вают (требуют наладки). Интенсивность потока отказов одногостанка равна X. Если в момент отказа станка рабочий свободен, оннемедленно приступает к наладке; если нет — станок становится вочередь на наладку, поток отказов станка простейший, время на­ладки — показательное с параметром \i = 1 /to6cjl. Ввести состоя­ния СМ О, нумеруя их по числу неисправных станков; найти фи­нальные вероятности состояний СМО и следующие характери­стики ее эффективности: А — среднее количество станков,ремонтируемое рабочим в единицу времени; w — среднее числонеисправных станков; г — среднее число станков, ожидающих ре­монта в очереди; Р зан — вероятность того, что рабочий будет занят.Р е ш е н и е .

Состояния СМО:s0 — все станки исправны (рабочий свободен);sx — один станок неисправен (рабочий занят его наладкой); ...;sk — к станков неисправны, один налаживается, к — 1 ждут оче­реди;sm — все га станков неисправны, один налаживается, га — 1ждут очереди.Граф состояний показан на рис. 11.31.Рис. 11.31По общим формулам схемы гибели и размножения, обозначаяр = Х/|л, получаемРо = {! + ТПР + m (m ~ 1) Р 2 +---++m (га - 1)...(га - к + 1) р*+...+га ! р т - 1 ;Pi = гарр0; Рг = m ( т - 1 ) Р 2 РО; •••;рк = га (га - 1)...

(га - к + 1) ркр0 (1 < к < п ) ; . . . ;pm=mlPmp0.(11.31.1)Чтобы определить абсолютную пропускную способность А,найдем сначала вероятность того, что рабочий занят:Рзан = 1 - П 0 .(11.31.2)Если рабочий занят, он налаживает |JL станков в единицу време­ни; значит,A = {1-PO)\L.(11.31.3)393Среднее число неисправных станков w можно выразить черезА с помощью следующих рассуждений.

Каждый работающий ста­нок порождает поток отказов с интенсивностью X; в среднем рабо­тает т — w станков; порождаемый ими поток отказов имеет ин­тенсивность (га - w) X; все эти неисправности ликвидируютсярабочим, значит, (1 - р0)р, = (га - w)\ откудаw=m -(i-Po)/p.(11.31.4)Среднее число г станков в очереди найдем следующим путем:w = r + k,(11.31.5)где к — среднее число обслуживаемых станков (или, иначе, среднеечисло занятых каналов обслуживания).

В нашем случае число заня­тых каналов равно 0, если рабочий свободен, и 1, если он занят:к = 0 • р0 4-1 (1 — р0) = 1 — р 0 . Следовательно,г = т - ( 1 - Р 0 ) / Р - ( 1 - Ро)илиr = m - ( 1 - р 0 ) ( 1 + 1/р).(11.31.6)11.32*. В условиях задачи 11.31 найти среднее время tQ4, кото­рое будет ожидать наладки произвольно выбранный вышедший изстроя станок.Р е ш е н и е .

Формула Литтла, которой мы пользовались ранее,пригодна только для открытых СМО, где интенсивность потоказаявок не зависит от состояния СМО.Для замкнутых СМО онанепригодна. Время iQ4 найдем с помощью следующих рассужде­ний. Пусть в какой-то момент t появилась заявка (отказал ста­нок). Найдем вероятность того, что в этот момент СМО находи­лась в состоянии sk (к = 0, ..., га — 1) (ясно, что в состоянии sm онанаходиться не могла).

Рассмотрим га гипотез:# 0 — в момент появления заявки СМО находилась в состоянииНг — в момент появления заявки СМО находилась в состоянииsvНк — в момент появления заявки СМО находилась в состоянииsk>•••>Нт_ j — в момент появления заявки СМО находилась в состоя­нии sm_vАприорные вероятности этих гипотез равны р0, рг, ..., рк, ...,•"УРТП-VТеперь найдем апостериорные вероятности гипотез при усло­вии, что наблюдено событие Л = {на элементарном участке време394ни (t, t + dt) появился отказ станка}.

Условные вероятности это­го события при гипотезах Н0, Hv ..., Hm_t равны:Р (А\Н0) = m\dt;Р (А\Н1) = ( т - 1)Р (А\Нк ) = (m-k)\dt;...;P\dt;...;{А\Н т_,) = \dt.По формулам Бейеса найдем апостериорные вероятности ги­потез (при условии, что событие А произошло). Обозначая эти ве­роятности р0, рх,..., рк,..., рт _х, получаем:Ро =(ттр0Pi =га—1J2(m -k)pk-1)р1т— 1]П(т -к)рк/t=oк=0(m - к) ркРкm-l'т-1'(11.32.1)m kY,( ~ )Pkk=oк=0Зная эти вероятности, найдем полное математическое ожида­ние времени пребывания отказавшего станка в очереди.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее