Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Имеется одноканальная СМО с двумя местами в очереди. На ее вход поступает пальмовский поток заявок с интерваломТу распределенным по обобщенному закону Эрланга с параметрами412Х 1? Х 2 ; время обслуживания — показательное спараметром |л. 1) Применяя метод фаз, написатьуравнения для финальных вероятностей состояний рф pv р2, р3.
Выразить через эти вероятностихарактеристики СМО: P 0TK ,Q, A,z,r,tmcT,t04.2) Вычислить финальные вероятности и характеристики эффективности для следующих исходных данных: \ 1 = 3 , Х 2 = 6 ; р, = 4 и сравнить их стеми, которые соответствуют простейшей СМО спараметрами X = (1 / \ + 1 / Х2 ) - 1 = 2, |х = 4,рассмотренной в задаче 11.45.Р е ш е н и е . 1) Если рассматривать, как мыделаем обычно, состояния СМО, нумеруя их соответственно числу заявок в СМО: s0, sv s2, s3, тоРис. 11.46система не будет марковской. Чтобы ее марковизировать, разделим на две фазы (I и II) не время обслуживания, а интервал Т между заявками: Т = Тг + Т2, гдеслучайные величины 7\ и Т2 имеют показательное распределениес параметрами \г и Х2 соответственно.Состояния СМО будем нумеровать по числу заявок в СМО иномеру фазы между заявками:s01 — заявок в СМО нет; интервал между заявками в первой фазе;502 — заявок в СМО нет; интервал между заявками во второйфазе;sn — в СМО одна заявка (обслуживается); интервал между заявками в первой фазе;512 — в СМО одна заявка (обслуживается); интервал между заявками во второй фазе;5 2 1 — в СМО две заявки (одна обслуживается, другая в очереди); интервал между заявками в первой фазе;5 2 2 — в СМО две заявки (одна обслуживается, другая в очереди), интервал между заявками во второй фазе;531 — в СМО три заявки (одна обслуживается, две в очереди);интервал между заявками в первой фазе;s32 — в СМО три заявки (одна обслуживается, две в очереди),интервал между заявками во второй фазе.Граф состояний СМО дан на рис.
11.46.Уравнения для финальных вероятностей:\Р01 = М>11 iХ2Р()2= \Р01(Х 2 + МО Р12 = \РП(х2+[L)P22= \P2 1+ М>12 5 ( Х 1 + М-) Pll = Х2?02 + М-Р215+ WP22 5 ( Х 1 + И») Р21 =+№32;( X I +М-)РЗ1(Х 2 +[i)p32=X1fti-= ХХ2^12 + № l 52^22 +Х2РЗ2;413Нормировочное условие р01 + р02 + ри + р12 + р21 + р22 ++Ры + Рз2 = LЭти уравнения удобнее всего решать, выражая вероятности p{jчерез последнюю, р32.
Выражения для вероятностей р{- (г = 0, 1,2,3; j = 1,2) имеют вид:! I ^+%2 =Х2 [ И» (и» + \ + Х 2 ) , М-(^2 + Х1и, + 2Х2и, + Х 2 )+ХХХ2ХХХ22[ I ^ 0 I + 2 X 1 I I + 2X 2 II + X2+X 1 X 2 -f X 2 )[2 2.х+22. 22(|Г/ 3 -\-2\\i, о\ 2..2 +ЗХ, о\ |л..2 +, Х\2..о\ Х\ .. . о\2.. , \3\\)|о,|л +, 2Х21 2|х + 3\2М, +\\+2+ХХХ2+\ 2 + 2 x ^ 2 ^ + 3X2^ +|Г(|Г + 2Хх|л/ -\-3\2\iz .2 +. x^fi\\_ р , + Х2Р31 ~ГЛ^JJL2(JJL2_ [х (|л + \+ Х2)Г~ТЛ1^32'1Л2+ Х1м, + 2Х2|х + Х 2 )Р21 ~_-12Pz2-> P22 ~_[X(|JL 2\2)Г77ХР$2 51Х2+ 2X1p, + 2X 2 ii + X2 + Х г Х 2 + Х 2 )Р\2 —х9ч 9Р&>ХХХ22/. 3 , о\ ..2 , о\ . 2 , \2..
. о\ \ .. i о\2,. , \3_ \i\\i + 2Х1н«2 +зх 2 |л + х ^ + г х ^ ^ + з х ^ + х^)XjX 2р 11 _^02 = 7 5 Т Г ^ 3 +Х3Xi^2+ЗХ2^2 +рз25Xi^ +4X Xi 2^ +*2 2+ зх 2 # + \\ + х 2 х 2 + ххх2 + х 3 2 )^ 2 ;_|Г(м,' 5 + 2Х1р,2 +ЗХ2м- +Х21|л + 2Х1Х2и, + ЗХ 2 |л+Х 2 )Poi =4\2х*х^32-Переходя обратно к исходной (немарковской) С М О , получаем:Ро = Рог + Ро25 Р\ = Р\\ + Pi25 ^2 = Р21 + Р22; Pz = Р31 + Pz2-414Далее,_Ротк =р3; Q^l-p^;z х= \р2 +2р 3 ;^ист = I ; ^оч =гА = QX; 2 = 1^ +2р2 +3р3; г =хI -Финальные вероятности состояний: р01 «0,308; р02 «0,208; рп «« 0,231; р12 « 0,082; р 21 « 0,091; р 22 « 0,032; pzl w 0,037; р32 ~ 0,011.Для исходной (немарковской) СМО р0 «0,616; рх «0,313;р 2 « 0,123; Ротк w 0,048; Q « 0,952; А « 1,904; J « 0,703; г « 0,219;fCHCT « 0,352; *оч «0,110.Из сравнения этих данных с результатами предыдущей задачи11.45 делаем вывод, что СМО задачи 11.46 имеет незначительноепреимущество перед СМО задачи 11.45 по всем характеристикамэффективности и несколько большее преимущество перед простейшей СМО с теми же X, |л.11.47.
Простейшая СМО без очереди с неограниченной взаимопомощью между каналами. На п-канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью X. Каналы работаютсо «взаимопомощью» — если в момент обслуживания очередной заявки в СМО есть свободные каналы, то все они подключаются к обслуживанию данной заявки. Интенсивность простейшего потокаобслуживании заявки есть некоторая функция \i = ф (к) числа к каналов, одновременно обслуживающих ее.
Построить граф состояний СМО и найти финальные вероятности состояний. Выразитьчерез них характеристики эффективности СМО: вероятность отказа Ротк, относительную пропускную способность Q, среднее числозанятых каналов к. Подсчитать эти характеристики при п = 4,X = 1, \i(k) — k\i, \x — 0,5 и сравнить их с теми же характеристикамив случае отсутствия взаимопомощи между каналами.Р е ш е н и е . Так как в момент прихода первой же заявки все пканалов подключаются к ее обслуживанию, то это означает, чтовсе каналы вместе всегда работают как один.СМО превращается в одноканальную СМО с отхказами; ее состояния: s0 — ни один канал не за- | s0 |"*j 5n Iнят; sn — все п каналов заняты.
Размеченный '—'%(п) — 'граф состояний показан на рис. 11.47. Пользуясьэтим графом, получаем финальные вероятностиРис. 11.47состояний:1+Рохф(п)XPi=—T^POip(ra)У (я) ,ф(п) + X'Xф(п) + ХПри ф(п) = пц,имеем р0 = (пц,) / (n\i+ X); р : = X / (п\х. + X).При п = 4, X = 1, \х = 0,5 имеем р0 = 2 / 3 ; Р0ТК — рх = 1 / 3 ;р 1 = 1 / 3 ; д = 1 - р 1 = 2 / 3 ; Л = Х<2 = 2 / З и 0,667.415Среднее число занятых каналов к = 4 • 1/3 + 0 • 2/3 == 4/3«1,333. Этот же результат получим, разделив А на |л:к = (2/3) / 0,5 = 4/3.Для сравнения рассчитаем характеристики эффективности четырехканальной СМО без взаимопомощи между каналами [см.формулы Эрланга (11.0.6) и (11.0.7)]; прир = X / \х> — 2р0-{1 + р+ р2/2 + р3/6 + р4/24}-1-1/7;Р0ПС=Р4=(2/3)(1/7) = 2/21;А = X (1 - 2 / 21) « 0,905; Q = A\k = A/\i&1,81.Сравнивая эти характеристики с ранее полученными для СМОсо взаимопомощью между каналами, приходим к выводу, что внаших условиях взаимопомощь невыгодна.
Это на самом делетак — для СМО с отказами неограниченная взаимопомощь (когдавсе каналы сразу «набрасываются» на одну заявку, а тем временем вновь приходящие заявки получают отказ) всегда невыгодна.11.48. Простейшая СМО без очереди с равномерной взаимопомощью между каналами. Имеется простейшая n-канальная СМО с отказами, на которую поступает поток заявок с интенсивностью X. Между каналами осуществляется взаимопомощь, но не объединениемвсех каналов в один, как в предыдущем примере, а так называемая«равномерная» организованная следующим образом. Если заявкаприходит в момент, когда все п каналов свободны, то все каналыпринимаются за ее обслуживание; если в момент обслуживания заявки приходит еще одна, часть каналов переключается на ее обслуживание; если, пока обслуживаются эти две заявки, приходит ещезаявка, часть каналов переключается на ее обслуживание и т.д., покане окажутся занятыми все п каналов; если они все заняты, вновьпришедшая заявка получает отказ.
Функция ср (k) = k\i7 т.е. обслуживание к каналами в к раз быстрее обслуживания одним каналом.Составить размеченный граф состояний СМО, определить финальные вероятности состояний и характеристики эффективности:Q, А, к. Подсчитать их при п = 4, X = 1, р, = 0,5, т.е. в условиях задачи 11.47, и сравнить с тем, что получается без взаимопомощи.^Р е ш е н и е . Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся в ней. Граф состояний (11.48) — тот же, что для простейшейодноканальной СМО с производительностью р,* = пр, и ограниченной очередью, имеющей п — 1 мест. Для определения характеристик можно воспользоваться формулами (11.0.16) — (11.0.19); полагая р = р* = X / |л* = X / (п \х) = 0,5; имеем при га = 3:При нашей постановке задачи все равно, какая часть каналов переключается наобслуживание вновь прибывшей заявки; важно, что все время работают все п каналов и ни одна вновь пришедшая заявка не получает отказа, пока в СМО не окажетсяп заявок и все п каналов будут по одному их обслуживать.416А_ _ _ Л72|1П|1Л- _ .П|ХЛП|ХЛПЦРис.
11.48Р 0 =Г ^=Г Г ^ " ° ' 5 1 4 ; ^-(Р*)^о -0,032;А = X (1 - р4) » 0,968; Q = 1 - р 4 « 0,968; jfc = А /ji* w 1,936.В условиях задачи 11.47 при отсутствии взаимопомощи А «0,905;Q « 0,905; А; « 1,81, т.е. взаимопомощь несколько увеличивает пропускную способность СМО.В данном случае это увеличение незначительно, так как СМО сравнительно мало нагружена.11.49. Для простейшей трехканальной СМО с отказами и параметрами: X = 4 заявки/мин, среднее время обслуживания заявкиодним каналом 1 / \х == 0,5 мин, интенсивность обслуживания заявки к каналами Ф_{&) = к\х, определить характеристики эффективности СМО Qy А, к для трех вариантов использования СМО: 1) приотсутствии взаимопомощи; 2) при неограниченной взаимопомощи; 3) при равномерной взаимопомощи между каналами.
_О т в е т . l)Q«0,79; J 4«3,16;Jk«l j 58;2)Q=0,6;i4=2 > 4;Jk = l,2;3) Q w 0,887; А « 3,51; jfc « 1,76.11.50. Простейшая СМО с неограниченной очередью и со взаимопомощью между каналами. Имеется простейшая п-канальнаяСМО, на которую поступает поток заявок с интенсивностью X;время обслуживания заявки одним каналом — показательное с параметром }1. Интенсивность потока обслуживании заявки к каналами пропорциональна их числу: ц>{к) = &|л.Каналы распределяются по заявкам, находящимся в СМО, произвольным образом, нопри условии, что если в СМО находится хотя бы одна заявка, все пканалов заняты обслуживанием.Построить граф состояний, найти финальные вероятности состояний и характеристики эффективности: &, z, r,fCHCT, £оч.Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
