Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В рассматриваемой С М О в стационарном режимебудет иметь место очевидное равенство (см. рис. 11.55)Х = ХЧ*01 ~(11.55.1)* 2 ~~ ^ 0 2 'Следовательно, интенсивность потока заявок, которые прошли однократное обслуживание и контроль в CMOj и С М 0 2 ,будет \р. Поток заявок, не прошедших контроль в С М 0 2 и направляемых на повторное обслуживание в С М 0 3 и С М 0 4 , будет иметь интенсивность X (1 — р). Работа системы повторногообслуживания СМО э и С М 0 4 (от точки 1 до точки 2 на рис.11.55) принципиально ничем не отличается от работы системы,приведенной в задаче 11.53.СМО\CMC»!"Тпх01 х2смо 2Щ^2KSh:х =хФX(l-p)f\ (1-р) Поток заявок, не прошедших контроль в СМ 0 21СМ0 3t\з\0X,смо 4п 4 , (х4г&-*,Поток заявок на повторное обслуживаниеV(i-*)=^(i-*)Рис.
11.55423Из всего сказанного следует, что для стационарной работырассматриваемой в этой задаче СМ О должны выполняться совместно следующие условия:XXi =«iM-iX1<i; х 2 =Х(1-р)<!;1х 3 = — — — <i;nn s p, 8x.-^i^)<i.(11.55.2)-гстг4р,4Кроме того, будут иметь место равенства (см. рис. 11.55)\ = \з = Х4 = Х04 = X (1 - р)*" 1 .(11.55.3)11.56. Для условий предыдущей задачи определить среднеевремя t пребывания заявки в СМО и среднее число заявок z, находящихся в СМО.Р е ш е н и е .
Среднее время пребывания заявки в СМО х будетопределяться из условия, что на вход этой системы поступаетпростейший поток заявок с интенсивностью Хх = X [см. рис. 11.55и формулу (11.55.1)], число каналов обслуживания nv интенсивность обслуживания в канале цх, число мест в очереди не ограничено. Для этих условий в соответствии с (11.0.21)—(11.0.25)fi=(Pi+ri)X= —+——.v-i"i-"iKi-Xi)x(11.56.1)гдеPi =PoiАналогичноХ2 = X, n 2 , [i2:_ Pi .Xi =inx+li + b . + £!+...+PL + .РГ1!2!рассчитываем'1 'nl-nl\l-Xiвеличину t2дляCM0 2приn9+lР02^*2=(p2+f2)X-1- — +\х2 п2 • n 2 ! ( l - x 2 )гдеЛ„2 —424'x(11.56.2)Р021!2"22!n"2 •'ПЛ2-l+ 1n„' " 2 -n' "2 'Л• -1X.2JСреднее время пребывания заявки в СМО х и С М 0 2 равноT12=t~+f2.(11.56.3)Среднее время t3 однократного пребывания заявки в СМО э будет определяться из следующих условий: на вход этой системыпоступает простейший поток заявок с интенсивностьюХ3 = X (1 — р) Iтс[см.
рис . 11.55 и формулу (11.55.3)], число каналов обслуживания щ, интенсивность обслуживания в канале ц3,число мест в очереди не ограничено. Тогда в соответствии с(11.0.21)—(11.0.25)«з=(Рз + ^ з ) ^ з 1 = 1 / ^ з + Р з П з + Ч з / К ^ з К 1 - Х з ) 2 Х 3 ] ,(П.56.4)гдеРз= — =М^зРозХ(1-Р).Рз2Р«з2!п3!1!Хз = •тсИзАналогично рассчитываемХ4 = Х ( 1 - р ) / т с , п 4 , ц , 4 :п,+1jV+п3• п3 ! 1величину tiХздля С М 0 4 приi 4 = ( p 4 + r 4 ) X - 2 1 = l / l x 4 + p 4 ^ + 1 F 04/["4-«4!(l-X4) 2 X 4 ],(11.56.5)гдеХ4Х(1-р).Ро4Лi + £i + £i+...1!2!"•Р4"4n4!_Х4 =-л \х3V-A+Р4 .Р 4 " 4+1n4-n4!l-x4Следовательно, среднее время однократной обработки заявкив С М 0 3 и С М 0 4 будетT«=£3+f4.(11.56.6)В соответствии с формулой (11.54.6) математическое ожидание времени пребывания заявки в СМО э и С М 0 4 (см.
рис. 11.55)с учетом возможной повторной обработки равнот м =т<зУ/*.(11.56.7)425Для определения среднего времени пребывания заявки в СМОрассмотрим две гипотезы: 1) Ех — заявка подвергалась только однократной обработке; Р(Нг) = р\ 2) Я2 — заявка подвергалась многократной обработке; Р{Н2)> = 1 - р.При гипотезе Нг математическое ожидание времени пребывания заявки в СМО будет определяться по формуле (11.56.3), пригипотезе Я2 — по формулам (11.56.7) и (11.56.3). Полное математическое ожидание времени пребывания заявки в СМО будет*=т12+т^(1-?)/*•(И-56.8)Среднее число заявок, находящихся в СМО, определяется поформуле Литтла:J=*"X.(11.56.9)11.57. Рассмотрим условия задачи 11.53 применительно к многократной обработке информации в двух фазах. С целью контроляправильности перфорации она осуществляется дважды: на перфораторе и на «контрольнике», с помощью которого обнаруживаютошибку.
Перфораторщица осуществляет в среднем одну ошибкуна 1000 знаков (букв, цифр и т.п.). Каждая перфокарта содержит всреднем 80 знаков. Если во время контроля на перфокарте обнаружена хотя бы одна ошибка, то эта перфокарта возвращается снована перфорацию. За год необходимо обработать 50 000 документов,каждый из которых содержит в среднем 400 знаков.Найти минимально необходимое число перфораторщиц, работающих на перфораторах и контрольниках, если одна перфораторщица в год перфорирует 4,2 • 106 знаков, и определить характеристики такой системы.Р е ш е н и е. Из условий задачи следует, что в год необходимо всреднем отперфорировать и проконтролировать 50 000 • 400 / 80 == 250 000 перфокарт. Следовательно, X = 250 000 перфокарт/год =125 перфокарт/ч = 2,083 перфокарт/мин. Производительностьперфораторщицы, работающей за перфоратором или на «контрольнике», составляет \1г — \i2 = 4,2 • 106 / 80 = 52 500 перфокарт/год = 26,25 перфокарт/ч = 0,438 перфокарт/мин.
Вероятность необнаружения ни одной ошибки на перфокарте равнар = 0,99980 « 0,9. При этом мы пренебрегаем вероятностью того,что и перфораторщица и контролер ошибутся одинаково в одноми том же знаке. Эта вероятность намного меньше, чем(0,001)2 = 10~6, так как клавиатура перфоратора и «контрольника»имеет около 50 различных знаков. Если считать, что ошибочноможет быть нажат на клавиатуре любой знак из 50, то получим вероятность одинаковой ошибки, равную 10~6 / 2500. Если считать,что ошибочно может быть нажат на клавиатуре только ближай426ший к нужному знаё (а их от 5 до 8), то эта вероятность будет1(Г6 / 25 - Ю -6 / 64.Условие стационарной работы перфораторщиц будет [см.
формулы (11.53.5), (11.53.6)]X / (n№iP) = Xi < l; x / (п2\х2р) =х2<1,откуда пг > X / (ргр) = 250 000 / (52 500 • 0,9) = 5,29; п2 > 5,29.Таким образом, нужно иметь шесть перфораторщиц и шестьконтролеров.Характеристики работы перфораторщиц:Хвх1 = X / р == 250 000 :0,9 = 278 000 перфокарт/год; пг = 6; щ = 52 500 перфокарт/год; Xi = X /(пгр\1) = 0,882; рг = X / (рщ ) = 5,29.По формуле (11.0.22) находим вероятность того, что все шестьперфораторщиц будут заняты и «очереди» документов, подлежащих перфорации, нет:Рпni=^lihl=vД(» 1 > р 1 ) + Р ( п 1 > р 1 ) г ^ -2ДЁН=0Д07.08820,282+0,152^^-^Среднее число перфокарт, ожидающих перфорации, гг == J>»Xi/(l-Xi)2=6,78.Среднее время ожидания перфокарты в очереди: £оч1 == rlp\~1 =2,92 мин; ix = tQ4l + 1/\1г =5,21 мин.Общее число перфокарт в первой фазе гг = гг + кг == гг + P l = 12,07.Так как характеристики второй фазы (контроля) такие же, каки первой, то можно выписать общие характеристики работы системы с учетом возврата перфокарт на новую обработку.
Общеесреднее число перфокарт, находящихся в системе, z = 2zx = 24,14;из них в очереди будет г = 2г2 = 13,56. Общее среднее время обработки одной перфокарты с учетом ее возможного возврата на повторную обработку равно t —т12 / p = (tl + t2) / р = 2bг / р == 11,57 мин.ПРИЛОЖЕНИЯПриложение 1Таблица 1Значения вероятностей Q (т, а) = 1- R (т, а) = 1- ] р — ета = 0,1а = 0,2а = 0,3а = 0,4а = 0,501239,5163~21,8127 -12,5918 -13,2968 -128,9347 -19,0204 -21,43881,751б"34,6788" 31,7523 -23,6936 -241Д485"3_37,9263 _35,6840"547,7625 -42,2592"61,5785"56Д243 - 54,0427 _61,5465"3,8468" 643,59952,6581"566Д552"гаа = 0,6а = 0,7о = 0,8а = 0,901234,5119" 11,21902,3115" 23,3581" 35,0341 -11,55803,4142"25,7535" 35,5067 -11,91214,7423~29,0799 _35,9343 _12,27526,2857 -21,345945673,9449 -43,885б~53,2931" 67,8554~49,002б~58,8836 _61,41131,8434"42,0747" 52,0502" 62,3441~ 33,4349"44,340Г 54,8172~б1,7212"41,4165"51,0024_6Вероятность Р (т, а) = — е а может быть найдена через вероятность Q (т, а)тследующим образом:•P(m,a) = Q(m-l,a)-Q(m,a) (m>0),P(0>e)=l-Q(Qa).Такая запись принята для краткости.
Число 9,5163~2 означает 9,5163 -Ю -2 .428Продолжение табл. 1та= 1а= 2а = 3а = 4а = 50123б,3212 -12,64248,030Г 21,89888,6466 _15,93993,23321,42889,5021 - 18,00855,76813,52779,8168 - 19,08427,61905,66539,9326 -19,59578,75357,3497456783,6598~35,9418~4! 8,3241 - 51,02491Д252" 65,2653"21,65644,5338" 31,09672,3745~41,84748,3918~23,35091,19053,8030" 33,71162,14871,10675Д134" 22,13635,59513,84042,37821,33376,8094 -24,6498 -58,3082 _61,36461 1,1025! 2,9234 -47Д387 - 51,61493,4019"68Д322" 32,83989Д523Г42,73727,6328~53,18281,3695! 5,453Г 32,01896,9799" 41,99324,8926" 61,13282,26256,9008 -51,98695,4163"61,40179101112131415161718mа = 6а= 7а = 8о= 9а= 1001239,9752 -19,82659,38038,48809,9909 -19,92709,70369,18239,9966 -19,96989,86259,57629,9988 -19,98779,93779,78779,9995^9,99509,97239,8966456789101112137,14945,54323,93702,56021,52768,3924 -24,26212,00928,8275" 33,62858,27016,99295,50294,01292,70911,6950 -19,852Г 25,33502,70001,28119,00378,08766,86635,47044,07452,8338 - 11,84111,11926,3797" 23,41819,45048,84317,93226,76105,44354Д259" 12,94011,96991,24237,385Г 29,70759,32918,69867,79786,67185,4207 -14,16963,03222,08441,355414151,4045,0910"41,74885,6917 -51,75975,7172" 32,40669,5818" 43,61781,29851,72578,2310~33,71801,59436,5037" 44,14662,20361,11065,3196"32,42648,3458 -24,87402,70421,42787Д865" 316!1718||J429Продолжение табл.
1та= 6о= 7а=8а= 9а = 1019202122235Д802"61,45514,4402"51,44954,5263"61,35432,52949,3968-53,34071,13853,7255_61,05604,3925~41,74956,6828~52,45193,45431,58836,9965-42,95741,20121,17228,6531"62,94144,6949-51,76806,4229"62,2535а = 13а= 14а =159,9997-19,99789,98959,9999-19,99919,99539,9996-19,997924252627т0 = 11а = 121 °1-1-19,99999,99929,99489,9771239,99989,99809,98799,9508456789,84909,62489,21398,56817,68019,92409,79669,54189,10158,44979,96269,89279,74119,45979,00249,98199,94479,85779,68389,37949,99149,97219,92379,82009,62559101112136,59495,40114,20733,11302,18717,57616,52775,38404,24033,18468,34197,48326,46845,36904,26968,90608,24327,39966,41545,35559,30158,81548,15257,32396,367814151617181,45969,2604-25,59243,21911,76872,27981,55581,01296,2966"23,74163,24872,36391,64511,09546,9833"24,29563,30642,44081,72801,17365,34354,31913,35882,51141,805319202122239,2895_34,67112,25191,04234,6386-42,12801,15986,065Г 33,04741,47294,26692,50121,40817,6225"33,97187,6505"24,79082,8844'1,67129,3276"31,24788,2972_35,31063,27441,94652425261 27281,98718,2050"53,26931,25844,6847~66,8563~43,07761,33355,5836-52,26161,99439,6603Г44,51902,04358,9416-55,01992,60761,30876,3513-42,98371,11656Д849-33,31191,71588,6072-44301Продолжение табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
