Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Граф состояний этой СМО совпадает с графом состояний простейшей одноканальной СМО с неограниченной очередью, с интенсивностью потока заявок X и потока обслуживанииn\i (см. J * 2, с. 366, 367). Полагая в формулах (11.0.12)—(11.0.15)Р = Х= - /\n\i\ получаем р0 = 1 - Х ;Р к = Х*(1 - х ) (* = 1, \— )"»* = х /(1 - х); г = х 2 /(1 - х);^"сист = * ',tm =—^—-.41-х)x(i-x)Характеристики эффективности СМО в данном случае совершенно не зависят от топ> обслуживают ли каналы заявки «всекак один» или «равномерное т а к к а к заявки не получают отказов417(заметим, что не меняются от этого только средние значения случайных величин Д R, Гсист, Гоч, а не их распределения).11.51. Простейшая СМО с ограниченной очередью и равномернойвзаимопомощью между каналами.
Рассматривается простейшаяСМО с п каналами и равномерной взаимной помощью между каналами. На СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью X; поток обслуживании одного канала — простейший с интенсивностью \х; к каналов, обслуживающих одну заявку, дают суммарный поток обслуживании с интенсивностью ip(k) = k\i. Каналыраспределяются между заявками «равномерно» в том смысле, чтокаждая вновь пришедшая заявка начинает обслуживаться, еслитолько есть возможность выделить для этого канал.
Заявка, пришедшая в момент, когда все п каналов заняты, становится в очередь.Число мест в очереди га; если они все заняты, заявка получает отказ.Нумеруя состояния СМО по числу заявок, находящихся в ней,составить размеченный граф состояний СМО и найти финальныевероятности состояний. Найти характеристики эффективностиСМО: Р отк , Q, л, г, г, г сист , t04.Р е ш е н и е . Состояния СМО:sQ — система свободна;st — одна заявка обслуживается всеми п каналами; ...;sk— к заявок обслуживаются всеми п каналами (1 < к < п);...;sn— n заявок обслуживаются п каналами, одна заявка стоит вочереди; ...;sn+m — п заявок обслуживаются п каналами, га заявок стоят вочереди.X77-|JLП\ЪП|ХП[1П\1П[1П\1Рис.
11.51Граф состояний СМО дан на рис. 11.51. Этот граф состоянийСМО совпадает с графом состояний простейшей одноканальнойСМО с ограниченным числом га мест в очереди, интенсивностьюпотока заявок X и интенсивностью потока обслуживании n\i(см. п. 3, с. 367). Подставляя в формулы (11.0.16)—(11.0.20)X = X / (п |х) вместо р и п + га вместо га, получаем:p0=(l-x)/(l-Xn+m+2);*отк — Pn+miг-»., п + тl , 2 n+m{nf_X [l-X(i-x418P*=X*Po(* = l...-.,nVm);Q ~ 1 ~~ Рп+т 5+ m + l-{nn+m+2^ ~-+ ^)x)\) ( i - x iJ\Q-г^сист — z I \to4 ~r/ У^-11.52.
На вход автоматизированного банка данных (АБД) подается в среднем X = 335 статей/ч. Первая операция по обработкевходного потока первичных информационных документов (ПИД)состоит в отборе тех статей, которые должны вводиться в АБД.В отборе участвует 6 чел. (отборщиков); средняя производительность каждого отборщика |х = 60 статей/ч. Известно, что в среднемиз входного потока отбирается для ввода в АБД 61,3 % ПИД.
Всепотоки событий — простейшие. Рассматривая систему отбораПИД для ввода в АБД как шестиканальную (п = 6) СМО с неограниченной_очередью, определить ее характеристики эффективности: АуQ,k,z,r,tcvlCTJm.Р е ш е н и е . Так как очередь неограниченна, Q = 1; А — X. Интенсивность потока ПИД, отобранных для ввода в АБД, Х0 = \р,где р « 0,613, т.е. Х0 = 335 • 0,613 « 205статей/ч.Интенсивность потока ненужных для ввода в АБД ПИД будетХн = X (1 - р) « 130статей/ч._Среднее число человек, занятых отбором ПИД, k = \/\i == р = 5,58 и не зависит от числа каналов (отборщиков).
Стационарный режим в СМО существует, если выполнено условиеX = X / (п |х) < 1; в нашем случае оно выполнено (х = 0,93).Вероятность того, что в СМО будут заняты работой все п отборщиков [см. формулу (11.0.22)], определяем по формуле:рп = Р ( п , р ) / Д(п,р) + Р ( п , р ) -ХXjПользуясь таблицами, данными в приложениях 1, 2, получаем:р6 =0,1584/ 0,7603 + 0,15840,93л0,07 J! 0,0569.Среднее число ПИД в очереди [см.
(11.0.23)] г == РпХ I (1 - х ) 2 ~ 10,8. Среднее время пребывания ПИД в очереди fOH = г / X « 1,87 мин. Среднее число ПИД, находящихся в системе (в очереди и на обработке), z == г + р « 15,38. Среднее времяпребывания ПИД в системе £сист —t04 + 1 / \L « 2,87 мин.11.53. На вход СМО (рис.
11.53) подается простейший потокзаявок с интенсивностью X. Обслуживание состоит из двух последовательных фаз, выполняемых в СМО х и СМ0 2 . В СМО!проводится обслуживание заявки, а в С М 0 2 контролируется качество проведенного в СМО х обслуживания. Если в С М 0 2 не обнаружено недостатков в обслуживании, то заявка считается обслуженной в СМО; если в С М 0 2 обнаружены недостатки в обслуживании, то заявка возвращается на повторное обслуживание419в СМС^ (см.
рис. 11.53). Вероятность того, что заявка, обработанная в CMOj, будет в результате контроля в С М 0 2 возвращена наповторное обслуживание в СМ0 2 , равна 1 — р и не зависит оттого, сколько раз она была обработана в СМО х .смо\!\©^смо,ЛгиЛгсмо2Пу М-1р®Х 0 =ХПоток заявок на повторное обслуживание в СМО,^О2(1-Р)Рис. 11.53СМО х и СМ0 2 представляют собой пг- и п2-канальные системы с неограниченной очередью и интенсивностью потоков обслуживании в каждом канале |а1 и |л2 соответственно. Время повторного обслуживания заявки в канале в СМО! и повторногоконтроля качества обслуживания заявки в канале в С М 0 2 распределено (так же, как и при проведении этих операций впервые) попоказательному закону с параметрами |лх и |л2 соответственно.Определить условия существования стационарного режима работы рассмотренной СМО, считая, что потоки заявок, поступающиев СМО х и СМ0 2 , простейшие.Р е ш е н и е .
Обозначим \ интенсивность потока заявок, подаваемых на вход СМОх. Очевидно, что \ г > X, так как на входСМОх будет поступать поток заявок, направляемых на обслуживание в СМОх впервые (интенсивность потока X), плюс поток заявок,направляемых на повторное обслуживание (см.
рис. 11.53). Еслистационарный режим существует, то интенсивность потока обслуженных в СМОх заявок Х01 будет равна интенсивности Х г Потокобслуженных в СМОх заявок поступает в СМ0 2 , следовательно, навход СМ0 2 поступает поток заявок с интенсивностью Х2 = \ t == Х01. В силу наличия стационарного режима в СМ0 2 интенсивность потока заявок на выходе СМ0 2 (Х02) будет также равна Х2.Таким образом,X, = Х 01^2—^02'(11.53.1)Очевидно, что интенсивность потока обслуженных заявок Х0на выходе СМО в стационарном режиме будет равна интенсивности входного потока X.Интенсивность потока обслуженных в СМО заявок Х0 будетравна интенсивности потока заявок на выходе С М 0 2 (Х02), умно420женной на вероятность р того, что заявка не будет возвращена вСМО х на повторное обслуживание:Х02р = Х0 = Х,(11.53.2)откудаХ02 = \/р.(11.53.3)Таким образом [см.
формулы (11.53.1)—(11.53.3)],\ х = \ 2 =\/р.(11.53.4)Для того чтобы существовал стационарный режим работы вСМО, необходимо, чтобы как СМО х , так и С М 0 2 «справлялись»с потоком поступающих на них заявок; следовательно, должнывыполняться два условия:Xi = \ /(^M'i) = X / ( P ^ i M ' i ) < l ;Х2= Х2 / (^2^2) =Х(11.53.5)/ ( ^ ^ 2 ^ 2 ) < !•(И-53.6)Они вытекают из того, что как СМО х , так и С М 0 2 представляют собой nx- и ^-канальные системы с интенсивностью обслуживания в каналах щ и |л2 соответственно, с неограниченными очередями (см. п. 4, с.
368).11.54. Для условий предыдущей задачи определить среднеевремя пребывания заявки в СМО и среднее число заявок, находящихся в СМО.Р е ш е н и е . Среднее время однократного пребывания заявки вСМО х tt (см. рис. 11.53) будет определяться из условия, что навход этой системы поступает простейший поток заявок с интенсивностью Хх = X / р, число каналов обслуживания nv интенсивность обслуживания |лх, число мест в очереди не ограничено. Дляэтих условий в соответствии с (11.0.21)—(11.0.25) имеем*i=(Pi+r1)XT1=- +РXPi = — ;Wi\,"' + 1 Р И ^2^ ' С11"54-1*где2Рт.1!2!pjXi = — ;niX= —;Р„niлn,!n^nj'l-Xiпл +1-1Аналогично рассчитываем величину t2 — среднее время однократного пребывания заявки в СМ0 2 для условий X 2 = X/p;n2;\i2:421п,+1Ч = (р 2 + г г ) Х 2 1 = — +И-2ПР02-, (11.54.2)!п2 - 2 ( 1 - Х 2 )х:гдеХР2 ~_ Р2 .Х.2 ~~'п2'p\i2^021• 1 11Р21!112Р2~ П 2Р2™211 • • • 112!Ргх _ X.^ 2 ~~ 'р11п2!+ 1п2-п2\11-х 2 _Следовательно, среднее время однократной обработки заявкиСМОх и СМ0 2 будет12:^(11.54.3)+t2.Из условия задачи 11.53 следует, что случайная величина X —число циклов обработки одной заявки в СМО х и СМ0 2 будетиметь геометрическое распределение, начинающееся с единицы, спараметром р:12X:рpqк3pq2(11.54.4)РЧк~1Обозначим Tv Т2> ..., Th ...
— время первого, второго, ..., А;-гоцикла обработки заявки в СМО х и СМ0 2 . По условиям задачислучайные величины Tv ..., Th ... независимы, одинаково распределены и имеют математическое ожидание т 12 .Время пребывания заявки в СМ О ^с учетом возможных возвратов заявки на повторное обслуживание' можно записать в виXде Т = У2 Тк у т - е - о н о представляет собой сумму случайного числаы\случайных слагаемых, где число слагаемых X не зависит от случайных величин Tv Г2, Т3У ... В соответствии с решением задачи7.64 находим математическое ожидание величины Г:i = M[T] = M[Tk]M[xy.12/Р-(11.54.5)Для рассмотренной СМО формула Литтла также справедлива,поэтому среднее число заявок, находящихся в СМО, будет определяться по формулеz — t X, z = zx + z2 = рх + р 2 + гг + г2.422(11.54.6)11.55. Условия задачи (11.53) изменены так, что в С М О х иС М 0 2 проводится только первичное обслуживание и его контроль; если заявка не прошла контроль в С М 0 2 , то она направляется на повторное обслуживание в С М 0 3 и повторный контроль вС М 0 4 (рис.
11.55). С М 0 3 и С М 0 4 представляют собой п 3 - и п 4 -канальные системы с показательным распределением времени обслуживания заявок в каналах с параметрами |л3 и |л4 соответственно. Вероятность того, что заявка, обработанная в С М 0 3 , будет врезультате контроля в С М 0 4 возвращена на повторное обслуживание в С М 0 3 , равна 1 — IT.Определить условия существования стационарного режимаработы рассмотренной в этой задаче С М О , считая, что потокизаявок, поступающие в C M O j , C M 0 2 , С М О э и С М 0 4 , являютсяпростейшими.Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
