Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 41
Текст из файла (страница 41)
двух сечений случайных функций: X(t) при t — 0 и У ( Опри*' = 1).Р е ш е н и е . На основании решения предыдущей задачиRJ9(t,t') =L^{Kt(t,t')},где L ^ — однородная часть линейного преобразования, примененная по аргументу t'. В нашем случаеt'at1и= 3t'e-{t+t,)+ Зе"* [е-*' (-4' - 1) + 1] = Зе"' (1 - е - *').Полагая t = 0; t ' = 1, получаем* *«ц, y(i) = Л* (°> 1) = 3 (1 - е" 1 ) » 1,90.9.51. В различных технических задачах, относящихся к стационарным случайным процессам, часто пользуются в виде характеристики так называемым «временем корреляции»ооТк =/|p(T)|rfr,0где р(т) — нормированная корреляционная функция случайногопроцесса.На рис.
9.51, а время корреляции геометрически интерпретируется заштрихованной площадью.310Найти время корреляции т к для стационарного случайногопроцесса с нормированной корреляционной функцией вида1 — а |т| прит€-1-1а 'ар(т) =Опри т £.1.1)ааJгде а > 0.Р е ш е н и е . Изобразим на рис. 9.51, б график зависимости р (т).Величина т к численно равна заштрихованной на рис. 9.51, б пло1 11щади:Тк = - • - = - .Рис.
9.519.52. Найти время корреляции т к для стационарной случайнойфункции X(t), нормированная корреляционная функция которойимеет видр( т ) = е - а | т |(а>0).Как будет вести себя время корреляции при а —» 0 и а —> оо?Решение. т к = / еаПри а —»0 случайная функция вырождается в случайную величину и ее время корреляции т к —> оо. При а —» оо случайнаяфункция превращается в стационарный белый шум, а т к —> 0.9.53. Найти время корреляции для стационарной случайнойфункции X(t) с нормированной корреляционной функцией видар(т)==е-(ат)2.О т в е т , т.2а3119.54.
В радиотехнике в качестве характеристики случайногопроцесса иногда пользуются величиной А/ э — «энергетическойшириной спектра» стационарной случайной функции:15°°Я12-max 2 * оS^max *max2^где 5 т а х — максимальное значение спектральной плотности, достигаемое в точке ш т а х : 5 т а х - S(umax);smax= -g=-. Найти энергетическую ширину спектра стационарной случайной функции,нормированная корреляционная функция которой имеет вид1 —а|т|притеОприт£|Р,(т) =аа; —|,а агде а > 0.Р е ш е н и е . Нормированная спектральная плотность случайной функции X(t) имеет видSx ( W ) = - f Px ( Т )-K J 0COS W T d T= -^Т 1 - COS — .тгиГ IOL)Эта функция достигает своего максимума при UJ = w max = 0 :ИмеемД/эЭ =1а^шах2^29.55.
Показать, что для стационарной случайной функции снормированной корреляционной функциейр(т) = е - а ' т ' ,независимо от значения а, произведение т к А / э равно 1/4.Р е ш е н и е . Из задачи 9.52 имеем т к = ~ . Нормированнаяаспектральная плотность равна3122а( \тт ( а 2 + и 2 ) '2—,откуда-гса.л1 тхаа 2 • 2тс149.56*. Показать, что для любой стационарной случайной функции X(t), корреляционная функция которой неотрицательна(К(т) ^ 0), произведение времени корреляции т к на энергетическую ширину спектра Д/ э равно 1/4.Р е ш е н и е .
В данном случае р^.(т) > 0,поэтомуТк =/|Px(T)HT = /px(T)dT-Нормированная спектральная плотность выражается черезр х (т) интегралом2 °гx(u) = - IsITJpx(r)cos^TdT.оПолагая в этой формуле w = 0, имеем*,(0) = - / p , ( T ) r f r = 2 T i c .TV «^0ТСПокажем, что если р ж (т) > 0, то максимум спектральной плотности достигается в точке w = 0:*max = ^ ( 0 ) .Это непосредственно вытекает из оценки интеграла:52 °г2 °гоо*(w) = - / р Л т ) с ° 8 Ш Т б г т < - / р в (т)-1с*г = ^ ( 0 ) .Таким образом, при рх (т) > 025*тах = « х ( 0 ) = - Т5к;А/Э=1шах *27Г14ТВоткуда43139.57. На вход колебательного звена системы автоматическогорегулирования, передаточная функция которой имеет видФ(Р) =ка>о),2Тр +ip + kподается белый шум, спектральная плотность которого равна5*(u)) = N.
Определить дисперсию выходного сигнала^.Решение.NkS*y(u) = S:(u)№(ju)\2=откуда".-INk <L>2\T(ju)-KkN+ Uu + k\iЗаметим, что дисперсия выходного сигнала не зависит от постоянной времени колебательного звена Т, а зависит лишь от коэффициента усиления к, коэффициента демпфирования £ и мощности сигнала N9.58. Передаточная функция системы, на которую подаетсясигнал X(t), имеет видФ(р) =где к = 25T{V +p + k; Г 1 = 0,05[с].Спектральная плотность входного сигнала*2Г6 Тl + u>2T2 'щеТ=1[с],Ьх= 4 град'Требуется найти дисперсию выходного сигнала.Решение.s*y(u)=s:(u)\<s>(ju)\2.-Тг2= 26„\ТТг(juf+ (Т+Тг)(iu)2+l(JCJ) 2+ (1 + кТ) ju + k\Подразумевается, что речь идет о достаточно удаленных участках времени, послеокончания переходных процессов.314-а 2 6 0 4 - ^аз2а 0 (а 0 а 3 - а ^ а )=.в нашем случае 60 = 0 , Ьг = — Т*, 62 = 1, а 0 = ТТг,а2 = 1 + кТ, аъ = к.Qhах = Г + Гх,i62£ у = 4*Г6 Я —^-«0,0428 [град2].2(а 0 а 3 - a ^ J9.59.
Случайная функция X(t) имеет математическое ожиданиеmx (t) = 5 и спектральную плотность-гс(1 + и 2 )Найти корреляционную функцию случайной функции X(t).Р е ш е н и е . В задаче 9.17 было показано, что для корреляционной функции вида Кх(т) = Вхе~а^Т^ спектральная плотностьимеет вид£> а* , »=-к ( а 2 + ш 2 )Следовательно, в нашем случае а = 1; Dx = 8; /сх (т) = 8е ' т '.9.60. Случайная функция X(t) имеет математическое ожиданиеmx (t) = 8и спектральную плотностьс +/,5 + и220TV 25 + 6 u 2+CJ 4Найти корреляционную функцию случайной функции X(t).Р е ш е н и е .
В задаче 9.18 было показано, что для корреляционной функции видаkx(T) =Dxe-«^cos$Tспектральная плотность имеет вид315slH_DxaтгDxair [ а 2+а2+82+ш;(В-ш)2][а2+(6 +ш)2]а2+(32+ы2(а2+32)2+2(а2-(32)ы2+Ш4'Следовательно, a 2 + S 2 =5, a 2 —8 2 = 3 , откуда a 1 2 = V4 = ±2.Нас удовлетворяет только положительное значение корня: a = 2; тогда S = ±1 (оба корня отвечают условиям задачи), а Dx = — = 10.aТаким образом, кх (т) = 10е _2 ' т ' cos т.ГЛАВА 10потоки СОБЫТИЙ.МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫПотоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени.
Примеры: поток вызовов на телефонной станции; поток забитых шайб при игре в хоккей; поток сбоев ЭВМ; поток заявок на проведение регламентныхработ в вычислительном центре и т. п.Поток событий наглядно изображается рядом точек с абсциссами615 9 2 , .
. . , 6 П , . . . (рис. 10.0.1) с интервалами между ними: Тг = 9 2 — 6 1?Т2 = 0 3 — 9 2 , ..., Тп = Gn+1 — в п .При его вероятностном описании потоксобытий может быть представлен как последовательность случайных величин: е1?- 9 2 = 0 ! + Тг; Q3 = вг + Тг + Т2; ... .Заметим, что термин «событие» в понятии «поток событий» совершенно отличен по смыслу от ранее введенного термина «случайное событие». В частности, не имеет смысла говорить о вероятностях «событий»,образующих поток (например, о «вероятности вызова» на телефоннойстанции; ясно, что рано или поздно вызов придет, и не один). С «потокомсобытий» можно связывать различные случайные события, например:А = {в течение времени от t0 до ^ + т придет хотя бы один вызов}илиВ = {в течение того же времени придут ровно два вызова}.Вероятности таких событий можно вычислять.Заметим также, что на рисунке в виде ряда точек можно изобразить несам поток событий (он случаен), а только какую-то его конкретную реализацию.В гл.
5 упоминалось о потоках событий и некоторых их свойствах;здесь осветим их более подробно. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от выбора началаотсчета или, более конкретно, если вероятность попадания того или дру-Рис. 10.0.1317лЧ111••ii0©1ii••С©п©2@3Рис. 10.0.2того числа событий на любой интервал времени зависит только от длины тэтого интервала и не зависит от того, где именно на оси 0^ он расположен.Поток событий называется ординарным, если вероятность попаданияна элементарный интервал времени Л t двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.Практически ординарность потока означает, что события в нем появляются «поодиночке», а не группами по два, по три и т.д. (точное совпадениемоментов появления двух событий теоретически возможно, но имеет нулевую вероятность).Ординарный поток событий можно интерпретировать как случайныйпроцесс X(t) — число событий, появившихся до момента t (рис.
10.0.2).Случайный процесс X(t) скачкообразно возрастает на одну единицу вточках е 1 ,е 2 ,...,е п .Поток событий называется потоком без последствия, если число событий, попадающих на любой интервал времени т, не зависит от того, сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним интервал.Практически отсутствие последствия в потоке означает, что события,образующие поток, появляются в те или другие моменты времени независимо друг от друга.Поток событий называется простейшим, если он стационарен, ординарен и не имеет последействия.Интервал времени Г между двумя соседними событиями простейшегопотока имеет показательное распределение(10.0.1)f(t) = \e~xt(при t>0)tгде X = 1 / М[Т] — величина, обратная среднему значению интервала Т.Ординарный поток событий без последствия называется пуассоновским.
Простейший поток есть частный случай пуассоновского (а именностационарный пуассоновский поток).Интенсивностью X потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на единицу временни. Для стационарного потока X = const; для нестационарного потока интенсивность в общем случае зависит от времени: X = \(t).Мгновенная интенсивность потока \(t) определяется как предел отношения среднего числа событий, которые произошли за элементарный интервал времени (£, t + At), к длине A t этого интервала, когда она стремится к нулю. Среднее число событий, наступающих на интервале времени т,следующем непосредственно за моментом t0 (см.
рис. 10.0.1), равно318a (*Q, T) =/ \(t) dt Если поток событий стационарный, то а (^, т) =to= а (т) = \ т .Ординарный поток событий называется потоком Пальма (или рекуррентным потоком, или потоком с ограниченным последствием), если интервалы времени Tv Т2,... между последовательными событиями (см. рис.10.0.1) представляют собой независимые, одинаково распределенныеслучайные величины. В связи с одинаковостью распределений Tv T2,...поток Пальма всегда стационарен. Простейший поток является частнымслучаем потока Пальма; в нем интервалы между событиями распределены по показательному закону (10.0.1), где X — интенсивность потока.Потоком Эрланга k-го порядка называется поток событий, получающийся «прореживанием» простейшего потока, когда сохраняется каждаяк-я точка (событие) в потоке, а все промежуточные выбрасываются (нарис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
