Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 40
Текст из файла (страница 40)
функция Y(t) представляет собой стационарный белый шум с интенсивностью G = Xи средним уровнем т у = X. Спектральная плотность такого белого шума будет—оо3009.38*. Имеется функция кх (т), обладающая следующими свойствами:1)М-т) = *Лт);2)А;Х(0)>0;3)|А я (т)|<А; х (0).Требуется выяснить, может ли функция кх(т) быть корреляционной функцией стационарной случайной функции, т. е.
обладаетли она свойством положительной определенности. Показать, чтодостаточным условием положительной определенности являетсяусловие, чтобы функцияSx(u) = - fkx(т)cos urr dr(9.38a)обыла неотрицательна при любом значении ш:Sx(u)>0,(9.386)т.е. чтобы, вычисляя спектральную плотность по формуле 9.38а,мы ни при каких w не получали отрицательных значений этойплотности.Р е ш е н и е . Предположим, что Sx (и) > 0, и докажем, что приэтом функция кх(т) = kx(t' — t) будет положительно определенной. Имеем00кх(т) =/ SX(<JJ)COS (JOT duo =оооооf= / SX(UJ) cos {jjt cos ut (ко + I S X(UJ) sin ijjt smut'do.(9.38B)ооПоложительная определенность функции kx(t' — t) состоит втом, что для любой функции ф(£) и любой области интегрирования В должно выполняться условиеJ/**(*'-0ч>(0Ф ( О Л Л ; > о .(5)(^)Проверим это неравенство по отношению к функции (9.38в):f ооI I \ I Sx(b))cOSWt COS U)t' ф (t) ф (t') (L) +(B)(5) I 0оо/+ I Sx(u) sin ut sin и£'ф (£) ф (t ) cb \dtdt' =О301ооi 5 x (u;)j / cos ut ф (t) dt I cos wt' cp (tf) dtf0[(B)(B)+I sin ut у (t) dt / sin utf у (tf) dt' I cL.(B)(B)Обозначая/ cos ut cp (£) eft = 1^(5, UJ),/ sin UJ£ ф (£) aft = я|; 2 (5, и ) ,(5)имеемГ [hi* - О Ф (ОФ (t')dtdt' =(£)(S)/ S .
M { K ( B , ы)]2 + [<ф2(Я, w)] 2 } dw > О,так как по условию Sx (оо) > 0.Можно доказать, что условие (9.386) является не только достаточным, но и необходимым для того, чтобы корреляционнаяфункция была положительно определенной.9.39. Имеется стационарная случайная функция с характеристикамиmx(t) = mx]Kx(t,t')= kx(T),где T =t'-t.Найти характеристики ее производной Y(t) =—X(t) и покаdtзать, что она также стационарна.Р е ш е н и е .
Так как Y(t) связана с X(t) линейным однороднымпреобразованием, тоdт (t) = —Tnx(t) = 0 = const;dtK(t,t')v= -?—Kx{t,t')dtdt'= -?—-kx(T) = — A*, coldtdt'at dt'\dt TtKiT)d?302дтдтНо —- = 1 и — = —1, поэтомуdtdtuKAt,t')=£*- (т) !7 = -£*- (т) -=кЛг)dt •гат(hzdtdrzТак как правая часть равенства зависит только от т, тоати случайная функция Y(t) стационарна.9.40. Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию кх(т). Случайная функция Y(t) получается из неедифференцированием:Y(t) = — — .dtНайтикорреляционнуюфункцию ку (т), если:а)Л,(т) = е - в ' т | ; б) кх(г) = е^(1+ а |т|);cos (Зт Ч а sin Р|т | (а > 0).в)кх(т) = е~Р/Р е ш е н и е .
При решении задачи будем применять аппаратобобщенных функций, правила пользования которым приведеныв начале данной главы.чт / \d -а1т|d Id\T\-_аЛ| |т1т|а|т|-аеа)ку(т) = -—еdTdTат2а -ае, d2|T|-а|т| \d\r\)+dT_ а 1| тт|2dT= а е - а | т | [ 2 8 ( т ) - а (sgn-r) 2 ].Наличие слагаемого 26 (т) показывает, что в составе случайнойфункции Y(t) есть белый шум.б)^ ( T ) = - i l [ e - * M ( l + a|T|)]=:<h'А.. a e - ° M ^ i l l ( l + a|T|) + a^llle-0ldTdTa 2 —J [ e - a | T | s g n T . | T | ] = : a 2 — [ е " а | т 1 т ]~dT= a e' ' — аеdT' 'тЛс/т2 - а | т | /-i= a e(1-а|т|).' ' n—303в)cos В т Н oc sin 81 т Ich'rfr —ае+е-а|т|•|т|.sdh\cos (3 т Ч а sin (31 т |<h+.<*|тП— (3 sin (3 т Ч- а cos (31 тйтА.а 2 + Р2— sin (3 т -а|т|еРа2Ч-32(3cos(3Te_0,|T| - a s i n B T e - 0 ^ 1<Лт<*Г= ( a 2 + 3 2 ) e - Q | T | cos (Зта sin ВI т(39.41. Найти спектральную плотность стационарной случайнойфункции с корреляционной функцией:jfcy(T) = a e - a | T | [ 2 8 ( т ) - а (sgnr) 2 ].Решение.-00ОО5*y(u;) = — Jky(T)e-ib3Td\T\= — Jae-alT|28(T)e~iwT(iT-1 °°__L r a 2 ( s g n T ) 2 e - a | T | e - i 0 J T d T .2TV JТак как(sgn т) 2 =1 приО прит^О,т=Ои подынтегральная функция второго интеграла в точке т = 0 не имеет особенностей, во втором интеграле можно пренебречь точкойт = 0.
Получим2aaaau;2IT2ira +oj2^a2+uj2График спектральной плотности представлен на рис. 9.41.Спектральную плотность S* (ш) можно было получить проще следующими рассуждениями. Представим случайную функцию Y(t) как производную случайной функции X(t) из задачи 9.40 (пункт а). Имеемs»=304*,(т) = е- в ' т ";s*H = -оо '-к а + игамплитудно-частотная характеристика оператора дифференцирования равна Ф (г и) == г ш, следовательно,s;( W ) = s:(u))^(» W )i 2 = i 2тг а + о;2-к а 2 + ю29.42. Спектральная плотность стационарной случайной функции X(t) на участке от —ш1 до +OJ 1 постоянна, а вне его равнанулю, т.е.
имеет вид, показанный на рис. 9.42 а:вд=s; и а2а sinojjTт2аш 1 /iiii•-wi(jj0"Wi\У 0^ Ч У2тт Зт?ЫХUJ XOJiРис. 9.42* » =а при[О при|UJ |< UJ1,|uj |> ojjили, в другой записи,иS*(id) = a - 1W iНайти корреляционную функцию кх(т) случайной функцииX(t).Решение.оошхАя(т) - J X * ( u ) е* UTdu =2а J cos шт До = ^-оо8 Ш Ы1Т;ОГрафик корреляционной функции показан на рис. 9.42, б.3059.43. Показать, что не существует никакой стационарной случайной функции X(t)7 корреляционная функция которой кх (т) постоянна в каком-то интервале (—тг, тг) и равна нулю вне его.Р е ш е н и е .
Предположим противное, т. е. что существует случайная функция X(t), для которой корреляционная функция равна& ^ 0при | т | < тг и равна 0 при | т | > тг.Попробуем найти спектральную плотность случайной функции X(t):$х (°°) — ~" / кх ( т ) c o sоWT с?т= — lb cos шт (h =о-.Из этого выражения видно, что функция Sx (w) для некоторыхзначений и; отрицательна, что противоречит свойствам спектральной плотности, и следовательно, корреляционной функции указанного выше вида существовать не может.9.44.
Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, у которой корреляционная функция задана выражениемzKH = Dxe -\<rР е ш е н и е . Имеемооe- x V - < W T A\— 00—COПользуясь известной формулой-Ax2±2Bx-Ci_\Ъdx = J—e~АС-В2А{Л>0)и имея в виду, что г2 = — 1, получим224Х^2гс V X22ХVTVГрафик этой функции подобен кривой нормального закона.9.45. Показать, что взаимная корреляционная функция&ху ( М О стационарной случайной функции X{t) и ее производнойY(t) = —X(t) удовлетворяет условиюdtт. е. при перемене местами аргументов меняет знак.306Р е ш е н и е .
ПустьK x (t,t') = & х (т),гдет —R„(t,t')= M *(0|7*(*')-d-Kdt'(t,t') =dt't'-t.M X(t)X(t')-?-kx(T).dt'Но т = t' — t, следовательно,Rkk»^=i -^=i *^С другой стороны,dtdrdrK(T) =at-K(t,t'),что и требовалось доказать.9.46*. Определить, обладает ли функцияа sh р|т|*Лт) = е-в1т| ch рт + —(а > 0, (3 > 0)свойствами корреляционной функции.Р е ш е н и е .
Нужно проверить выполнение следующихсвойств:1)*,(0) >0; 2 ) * , ( - т ) = М т ) ; 3 ) | А х ( т ) | < Л Л 0 ) ; 4 ) 5 ; ( ы ) =1= — I кх (т) е~г WTC?T > 0 при любом и.2тт-ооСвойства 1) и 2) очевидны. Проверим остальные.3) Так как функция кх(т) четная, достаточно исследовать еепри т > 0:2[(3J1 -(а+3)т—е1.Так как кх (0) = 1, нужно, чтобы это выражение по модулю непревосходило единицы. Можно доказать, что при а < (3 это условие не выполняется, так как при т —> оо выражение е~ ( а "^ т будетнеограниченно возрастать. В случае а = (3 кх(т) = 1; при а > [3кх(г)<1.
Таким образом, свойство 3) выполняется только приа >(3.3071 °°4) $*(и) = -L J fkx(r)2TT-(a+(3+iu)T+~ 2a1IV}°°e~iwtdT = — R e 1 + - f e - ( a " 3 + i ^ d r +2TV3HrfTp-aa + P+ieol.RejP+a2тф[a-p+iu;o21—p2ттр(a-p)2+u;21(a + p )12Wo22a>0—pIT[ ( a _ 3 ) 2 + u 2 ] [ ( a + p)2+U;2]при a > P (Re — действительная часть).При a = P имеем 5*(w) = 6(w).~ 2aТаким образом, функция кх(т) = e~ a ' T ' ch Рт Нsh Э|т| приa > Р обладает всеми свойствами корреляционной функции. Графики кх(т) и S*x (ш) при a > Р показаны на рис. 9.46, а и б.Рис. 9.469.47. Случайная функция X{t) имеет корреляционную функциюМ т ) = е-* 1т| chpT + a- s h p | T | (a > Р > 0).
Случайная функцияY(t) = —X(t). Найти ее корреляционную функцию ку (т) и спектральную плотность S*y (u>).Р е ш е н и е . При нахождении ку (т) применяем свойства 3, 4 и9 обобщенных функций (см. с. 270):d\r\_e-aiTia^xdrй|тП'-a | T |(3 sh (Зт + a ch 0 | тchpT + a- s h | 3 | T | + erfr*.w~£w-£308(o2rfrIP "2a3( a 2 - ( 3 2 ) e " a | T | c h ( 3 r - -a s h p | T(3+(Зе- а | т | сЬрт5y(W)a 2 - Po 2 -ae" a l T | s h ( 3 r ^ +e-"'T'shpT= 5*(w)l*Wl2=2au"7Гa 22 - (Q32[ ( a - p ) 2 + u ; 2 ] [ ( a + 3)2+u;2]Так как предел lim ky (т) существует (он равенfcy(0) = a 2 — (З2),то случайная функция X(t) дифференцируема.9.48. Случайная функция X(t) с характеристиками mx(t) == t2 -\-3nKx(t,tf)= 5tt/ подвергается линейному преобразованиювидаt+ tz.Y(t) = frX(T)dTоОпределить характеристики случайной функции Y(t): m (t)nKv{t,t>).1j.
4оРешение.ту(0 = J т (т 2 + 3)dT + *3 = — + -t2 +tz.оОднородная часть рассматриваемого линейного преобразования будет L[°^{X(t)}= J тХ(т) ^.Следовательно,*Kt(t,t')\t'= JdT jTT'Kx(T,T')dr'=5jTT00JVr'dx'0{ 099.49. Случайная функция X(t) с характеристикамиmx(t) = 0;Kx(t,t')подвергается линейному неоднородному преобразованию:Y(t) = LW{X(t)}+ 4>(t),гдеср (t) — неслучайная функция. Найти взаимную корреляционнуюфункцию Rryit, t').Р е ш е н и е . ИмеемX = X(t);Y(t) =L\V{X(t)},309так как при центрировании случайной функции Y{t) неслучайноеслагаемое ср (t) уничтожается.ОтсюдаR^(t,t')= M[X(t)Y(t')}= M[X(t)L[V{X'(t')}}= L\yM[X(t)X(t')}==L\?Kx(t,t').9.50. Случайная функция X(t), имеющая характеристикиmx(t) = 0 и Kx(t, t1) = 3e~(t+t\ подвергается линейному преобразованию видаdX(t)Y(t) = -t ^ ^ + ГтХ(т) dr + sin wt.JdtоНайти корреляционный момент случайных величин Х(0) и7(1) (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
