Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Случайные величины W и 0 независимы. Определитьхарактеристики случайной функции Y(t): математическое ожидание, корреляционную функцию. Определить, является ли случайная функция Y(t) стационарной и эргодической. Если она стационарна, найти ее спектральную плотность Sу (ш).Р е ш е н и е . Представим случайную функцию Y(t) в видеY(t) = H^cos ( и ^ — 0 ) = W cos 0 cosojjtf + W sin 0 sin u ^ .ОбозначимW cos 0 = U, W sin 0 - 7 .Найдем сначала основные характеристики системы случайныхвеличин U и V:M[U] = M[W cos 0] = M[W] M[cos 0] = 0;M[V] = M[W sin 0] = M[W] M[sin 0] = 0;D[J7] = M[(W cos 0) 2 ] = M[W2] M[cos2 0] = DJV^cos2 0];B[V] = M[(W sin О) 2 ] = £ JM[sin2 0];tf uv = M[W cos 0 Ж sin©] = I> JVf [sin0cos 0 ] .Так как величина 0 распределена равномерно в интервале(0,2тт),тоM[sin2 0] = M[cos2 0] = J*cos2 0 — d0 = i ;о2nM[sin0cos0]= fsinecosG— dG = 0.Итак, имеемM[tf] = M[K] = 0, D[tf] = D[K] = ^ ,K„=0.Следовательно, выражениеY(t) = W cos(u 1 t — 0 ) = U cos wxt + 7 sin u ^287Рис.
9.26представляет собой спектральное разложение стационарной случайной функции, корреляционная функция которой имеет видк„у \ (т)i = —^-COSU^T,12aту=0.График этой функции показан на рис. 9.26.Функция Y(t) эргодичной не является, так как характеристики,найденные по одной реализации, не совпадают с характеристиками, определенными по множеству реализации. Действительно, каждая реализация случайной функции Y(t) есть гармоническоеколебание, амплитуда которого представляет собой значение, случайно принятое величиной W. Среднее по времени для каждой такой реализации будет равно нулю и совпадает с математическиможиданием случайной функции Y(t), но дисперсия и корреляционная функция, найденные как средние по времени для одной реализации, уже не будут совпадать с соответствующими характеристиками случайной функции Y(t).
Например,1Тlim — fY2(t)dtт^оо2Т=т= l i m — JГW2 i f l + cos 2 (ьзЛ- Q)]dt =xT-+OO2T2-W2.2Найдем спектральную плотность случайной функции Y(t). Покажем, что она пропорциональна дельта-функции:s»=D.•б (ш — ojj)(0< w < оо).Действительно, при такой спектральной плотности корреляционная функция будет равна°Г°rDDJ Sy (u)cos u)T dijj = i ——б (ш — Uj) COSUT du = ——cos шхт,288что совпадает с корреляционной функцией для Y(t).
А так как прямое и обратное преобразования Фурье определяют спектральнуюплотность и корреляционную функцию взаимно однозначно, то написанное выше выражение для Sy (to) дает спектральную плотностьслучайной функции Y(t).Если воспользоваться не действительной, а комплексной формой преобразований Фурье, получим спектральную плотностьS*y (u) в виде5 * ( и ) = —22-[8(w + O J J + 6 (W - w x )]( - o o < oo < oo).Заметим, что в аналогичном виде можно было бы записать и^ ( " b ^ H w + uJ + M"-^)],но для положительных и (так как оо1 > 0) б (ш + OJX ) = 0.9.27.
Случайная функция X(t) представляет собой случайнуювеличину U: X(t) = U с заданными числовыми характеристикамиmu1Du.Найти характеристики случайной функции X(t): математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию. Определить, является ли случайная функция X(t) а) стационарной,б) эргодичной. Если она стационарна, найти ее спектральнуюплотность.Решение.mx(t) = M[X(t)] = M[U} = mu;Kx(t,t')= M{X(t)X(t'))= M[UU] = Du;Dx(t) = Kx(t,t)= Du.Так как mx{t) — const и Кх (t, t') = const, то случайная функцияX(t) стационарна. Так как среднее по времени для каждой реализации равно значению, принятому случайной величиной U в этойреализации, и различно для разных реализаций, то случайнаяфункция X(t) неэргодична.Рассматривая случайную функцию X(t) как частный вид приUJX = 0 случайной функции Y(t) = U cos шх£ + V sinuj^, приведенной в предыдущей задаче, получим для нее спектральную плотность видаС(ы) = Д и 6( Ш ); S » = 2S;(uO = 2A,8(u).2899.28.
Случайная функция X(t) строится следующим образом.В точке t — О она случайным образом и с одинаковой вероятностью принимает одно из значений: +1 или -1 и остается постоянной до t= 1. В точке t= 1 она снова, с одинаковой вероятностью1/2 и независимо от того, какое значение она имела на предыдущем участке, принимает одно из значений +1 или - 1 и сохраняетего до следующей целочисленной точки t = 2, и т. д. Вообще функция X(t) постоянна на любом участке от п до п + 1, где п — натуральное число, а на границе каждого нового участка независимо отпредыдущих принимает одно из значений +1 или - 1 с вероятностью 1/2. Одна из возможных реализаций случайной функцииX(t)\b(t)1ОИ2 3| t 4 *;'5;6-1+t = tfРис.
9.28X(t) показана на рис. 9.28, а. Требуется определить характеристики случайной функции X(t): математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию. Определить, является ли случайная функция X(t) стационарной.Р е ш е н и е . Имеемmx(t) = mx=(-l)-±Dx(t) = Dx={-\?l-+ l-± = 0;+ {lf - 1 = 1.Найдем корреляционную функцию Kx(t,t').Если точки t и t' относятся к одному и тому же интервалу (п,п+ 1), где п — целое, то Kx(t, t') = Dx = 1, в противном случаеKx(t,t') = 0. Этот результат можно записать в более компактнойформе, если обозначить через b(t) целую часть числа t (см.рис. 9.28, а). Тогда получаем*,(М;) =290[1 при| т | < 1 -6(min{M'})>[0 при|T|>l-b(min{M;}).Эта функция зависит не только от т = t' — t, но также и от того,где на оси 0£ находится участок (£, tf); следовательно, случайнаяфункция X(t) стационарной не является.Поверхность Kx{t,t') выглядит как ряд кубов с ребром, равным 1, поставленных на плоскости tOt' вдоль биссектрисы первого координатного угла, на которой t =t', так что диагонали оснований совпадают с биссектрисой (рис.
9.28, б).9.29. Случайная функция X(t) формируется так же, как и в предыдущей задаче, с той разницей, что точки, в которых происходит«розыгрыш» нового значения случайной функции, не закрепленына оси 0 £, а занимают на ней случайное положение, сохраняя междусобой постоянное расстояние, равное единице (рис.
9.29, а). Все положения начала отсчета относительно последовательности моментов «розыгрыша» одинаково вероятны.-10V16Рис. 9.29Найти характеристики случайной функции X(t) — математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию; определить, является ли случайная функция X(t) стационарной.Р е ш е н и е . Как и в предыдущем случае,mx{t) = ™>x = 0 ;Dx(t) = Dx=l.Найдем корреляционную функцию. Зафиксируем момент t(рис. 9.29, а).
Этот момент случаен относительно точек, в которыхслучайная функция X(t) принимает новые значения. Обозначим7" промежуток времени, отделяющий точку tor ближайшей точки,в которой будет «разыгрываться» новое значение X(t). Случайнаявеличина Т будет распределена равномерно на участке от 0 до 1.Пусть t'>t]r = t' -t > 0 . Если т < T,ToKx(t,t')= l; если т > Г,то Kx(t,t') = 0. Поэтому1Г,('|* / ) = Р ( Г > т ) - 1 + Р ( Г < т ) - 0 == Р ( Т > т ) = 1 - т при 0 < т < 1 .Аналогично при т < 0 получимKx(t,t')=l+rпри-1<т<0;291отсюда[1-|т|= kx(r) = \ОKx(t,t')припри|т| < 1|т | > 1(9.29)График этой функции представлен на рис. 9.29, б.
Так какКх (МО = kx(т), то случайная функция X(t) стационарна.Корреляционную функцию (9.29) можно записать в более компактном виде с помощью единичной функции 1(х):*,(т) = ( 1 - | т | ) 1 ( 1 - | т | ) .9.30. Условия предыдущей задачи изменены в том отношении,что в каждый из случайных моментов t{, разделенных единичнымиинтервалами, случайная функция X(t) принимает (независимо отдругих) значение Uif являющееся случайной величиной с математическим ожиданием ти и дисX(t)\Персией DuJ и сохраняет его до• | tследующей точки. Одна из реали, | | ;зации такой случайной функцииt^?°°Jпоказанана рис.
9.30. Найти ха0'•рактеристики этой случайнойфункции: математическое ожидаРис. 9.30н и е ^ дИСперсию и корреляционную функцию и определить, является ли случайная функция стационарной, а если стационарна,то какова ее спектральная плотность.Р е ш е н и е . Рассуждая точно так же, как и в предыдущей задаче, найдемm,(t) = M[X(t)] = m , ;*,(*) =WU(1-\T\)|0£>,(*) = D[*(i)] = Du ;припри|т|<1,|т|>1,или, в другой записи,Ая(т) = £ > „ ( Н т | ) 1 ( 1 - | т | ) ,где 1(х) — единичная функция.Случайная функция X(t) стационарна. Ее спектральная плотность5;(ы) = - ^ ( 1 - с о 8 ы ) .TV CJ9.31. Случайная функция X(t) представляет собой ступенчатую знакопеременную функцию (рис. 9.31, а), которая через еди292X(t)1-I1 ^I» IIIIIIIIIIL.J» J L ; M l»»^1^; J L iоAt1 2tt + т-1+1111— t3456ничные интервалы принимает попеременно значения: +1 и — 1.Положение ступенчатой функции относительно начала отсчетаслучайно; случайная величина Г, характеризующая сдвиг первойточки перемены знака относительно начала координат, есть случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 1).Найти характеристики случайной функции X: математическоеожидание тпх, дисперсию Dx и корреляционную функцию.Р е ш е н и е .
Рассмотрим сечение случайной функции X(t); онос равной вероятностью может попасть как на участок, где случайная функция равна единице, так и на участок, где она равна минусединице.Следовательно, ряд распределения любого сечения имеет видХ{-11Pi1212откудаm„1 . 1 + 1 . 1 = 0, Л ж = ( - 1 ) » . 1 + 1 » .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
