Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Аналогично находим второй начальный момент случайной величины X (заметим, что так можно находить только нач а л ь н ы е безусловные моменты, а не центральные):OL2[X\t]=\pt + (\Pt)2]ООOL2[X] =002\pjtf(t) dt + (\p) Jt2f(t)о= \pmtо+(\p)2(Dtdt = \pmt + (\p)2a2[T} =+mf),где Dt — дисперсия случайной величины Т. Отсюда имеемDx=a2[X]252m2x = \pmt+(\p)2Dt.8.67.
Решить предыдущую задачу для конкретного случая, когда f(t) есть закон Эрланга к-ro порядка с параметром ц:к\Решение.00(^е-*£Же-*Л777. !Л!т!О=h ! «^p.(Xp)m ц*(m + fc)!m!A;! (Xp + p.) т+к+1ч*+1' т+кIXp + pJ[Xp + pjИтак, величина X распределена по «обобщенному закону Паскаля {к + 1)-го порядка» (см. задачу 8.61) с параметром рх =[х f Xp^i=1-PiХр + |л [Хр + М,Математическое ожидание случайной величины Т, распределенной по закону Эрланга &-го порядка, будет mt =Персия Д =, а дис-Jfc + 1. Следовательно, по формулам, полученным впредыдущей задаче,т , =•*£(*+ 1); Dt=±£{k + 1)IH Jчто, как и в задаче 8.61, можно представить в виде_(* + l)glPi_(fc + l ) g lPi8.68.
Найти характеристическую функцию гамма-распределенияiu^a-l/(ж) = Ё 1 ^ _ е - 3 *Г(а)°2. « а - 0с1 - 1Р е ш е н и е . 5(0 = /Р :г(а;>0;(3>0;а>1).е ~3le **<& = •Г(а)253П р и м е ч а н и е . При целом а гамма-распределение превращается враспределение Эрланга (а - 1)-го порядка, так какГ(а) = ( а - 1 ) ! и / ( х ) = № ^ - е ^(а - 1 ) !(х > 0),и характеристическая функция распределения Эрланга имеет такойже вид, как и для гамма-распределения (см. задачу 8.63).8.69*. Случайная величина Z представляет собой сумму случайного числа случайных слагаемыхk=iгде Хк — одинаково распределенные случайные величины с плотностью f(x) и характеристической функцией дх (t), а случайная величина У распределена по сдвинутому на единицу закону Паскаля:P(Y = m) = pqm-1(m=l,2,...).Случайные величины Хк (к = 1, 2,...) и Y независимы междусобой.
Требуется найти характеристическую функцию случайнойвеличины Znee числовые характеристики.Р е ш е н и е . Допустим, что случайная величина Y принялазначение т. При этой гипотезеz = zm=j2xкк=гХарактеристическая функция случайной величины Zm будетравна5™(*) = Ы*)Г,следовательно, характеристическая функция случайной величиныZ будетОО£00«,(О=ЕИ"\(ОГ= ЕЬ».(ОГЯ т=1т=1Т а к к а к 0 < 9 < 1 и 0 < \gx(t)\ < 1,тои\ = £.
^*(0Q 1-«,(*)254_ Р9Л*)l-qgx{t)Отсюдаdgx(t)д (it)dg (t)= yd{it)M[Z) = aupmx—f- =<=<T[i-Q9At)Ymxmy1(=0так как m1= —.ттДалее имеемd29v{t)ыо=Р-д {ay<*2x(1-Q) + 2QmZ<*2xP + 2Qmxоткудаaг,2-2xP + 2Qmx2хУхГ22Dz=*22-m z=Pmxrv2n2-~lP2 = DxTny + m xDy,PПолучили тот же результат, что и в задаче 8.51, но другим методом.8.70. Найти характеристическую функцию случайной величины Ху подчиненной закону Симп°~асона (закону равнобедренноготреугольника) в интервале (а, Ь)(рис.
8.70).РешениеРис. 8.70[04 (х - а )\(Ь- а)/(*) =2прих < а,приа< х <4(6 -х)( 6 - а)02a -\-bприприа+Ьj,< х < о,2х > Ь.255a+b2g(t)= feitxf(x)dx=J e itx4 (x — a)dx +{b-afva+6/+ I e-4 (Ь - ж)(b-«)2L+ 11-е'Й-<£r =+(b - a) 22xa+b.z£-,itb+ •(b - a ) 2Итак,»(*)=, ifa2< (6-a)2V6+2e,«+M2k (6-a)При a-6 (b > 0) имеем(2 . Й—sm-Ut2Сравнивая полученные результаты с решением задачи 8.54, заключаем, что распределение Симпсона можно рассматривать как(а Ь)композицию двух равномерных распределении на интервале - , - .8.71.
При измерении физических величин результат измерения неизбежно округляется в соответствии с минимальной ценойделения прибора. При этом непрерывная случайная величина превращается в дискретную, возможные значения которой отделеныдруг от друга интервалами, равными цене деления. В связи с этимвозникает следующая задача. Непрерывная случайная величинаX, распределенная по закону с плотностью /(х), округляется доближайшего целого числа; получается дискретная случайная величина Y = Ц(Х), где под Ц(Х) подразумевается целое число, ближайшее к X.Найти ряд распределения случайной величины У и ее числовые характеристики: туУ Dy.Р е ш е н и е .
График функции Щх) представлен на рис. 8.71Правило округления в случае, когда расстояния от значения х до256двух соседних целых значений равны, несущественно, так как для непрерывной случайной величины вероятность попадания в любую точкуравна нулю.Вероятность того, что случайнаявеличина Y примет целое значениек, равна**'*'!2-2 5 -1 5 -0 5 1"-] * ]— 0^5 1,Ь 2,5 х; \! -2р 871к+0,5IР(У = к)= J f(x)dx(A; = 0, ± 1, ± 2 , . . . ) ,к-0,5откудаос*+«.*ту = У2 к I f(x)dx]k=-oo* + °> 5осk_05Dy =fc=-oo2Y^ кI f{x)dx — mjfe_0j58.72. Случайные величины Хи Y независимы и распределеныпо законам Пуассона с параметрами а и Ъ. Найти закон распределения их разности Z — X— Уи модуля их разности U = \Х — Y[Р е ш е н и е . Случайная величина Z может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Вероятность того,что Z примет значение к > 0, равна сумме вероятностей того, что Xи Y примут два значения, различающиеся на к (причем X — больше или равно У):оо imт+кptZ = к) = У-е- ( о + 6 )-(к > о).Вероятность того, что Z примет отрицательное значение -к,будетоотim+k{a+b)P(Z = -k)=Y-e-£?0т\(т(к>о).+ к)\Для случайной величины U получимm=o{™>4P(U = k)=J2{ )ntf [e-<a+bHak+bk)(k>0).Если единица измерения (цена деления прибора) мала по сравнению с диапазоном возможных значений случайной величины X, то го кз mx;Dy ss Dx.257Эти вероятности могут быть записаны с помощью модифицированных цилиндрических функций 1-го рода:/ \к+2т1X )О(* = 0,1,2,...)'[2)При этомP(Z = k) = Ik(2-Jri) а(ь)V+»I0(2-Jab)e-{a+b);P(U = 0) =/P(U = k) =к/ \—2la]Ik(2jab)\\—UJ(* = 0 , ± 1 , ± 2 , .
. . ) ;к\/ \ —2,+а—,-<«+*)(*>0).UJ8.73. Грибник вышел собирать грибы в лесу. Радиус обзора егоравен R. Перемещаясь по лесу, он обнаруживает каждый гриб, находящийся в пределах круга обзора, с вероятностью p(v), котораязависит от скорости v передвижения грибника по лесу. Считается,что грибы в лесу образуют пуассоновское поле точек с плотностьюX (X — среднее число грибов на единицу площади).Определить оптимальную скорость движения грибника по лесу, при которой он за время t обнаружит в среднем наибольшееколичество грибов, если вероятность p(v) задана формулойр(у) = е-™(а>0,<;>0),и грибник не возвращается на уже пройденные им места.Р е ш е н и е . За время t грибник просмотрит полосу, площадькоторой 5 = 2vtR, и обнаружит в среднем количество грибов, равное т = S X p(v) = 2vt ДХе"аг;.Для нахождения оптимальной скорости движения продифференцируем величину т по v и приравняем производную нулю:— = 2*ДХе-аг; ( l - w t ) = 0,dvоткуда оптимальное значение скорости будет г/* = — .а8.74.
В условиях задачи 8.73 грибник идет со скоростью v и собирает все обнаруженные им грибы. Массы отдельных грибовпредставляют собой независимые случайные величины Y{J распределенные по одному и тому же закону с математическим ожиТаблицы цилиндрических функций можно найти в справочниках.258данием ту и дисперсией Dy. Найти математическое ожидание общей массы Z всех собранных грибов за время t и (приближенно,считая число грибов большим) вероятность того, что эта величинапревзойдет заданную вместимость корзинки z0.Р е ш е н и е . Число собранных грибов X будет случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметромтх = 2vtR \ e ~ a v . Общая масса всех собранных грибов будетг=1В соответствии с решением, изложенным в задаче 8.51 или8.69, имеем т z =mxmy.
ДалееDz = ™>xDy +™>2yDX = ™>ADy + ™y) : =™s '<*2y>так как для распределения Пуассона Dx —rnx. Считая приближеннослучайную величину Z распределенной нормально, получимтп ^P(Z > z0) = 1 - F(z0) « 1 - Ф"гдеа2 = л / 0 7 .8.75. Известна плотность распределения /(х, у) системы случайных величин (X, Y). Найти закон распределения их разности:Z=X- Y.Р е ш е н и е . Для системы (X, — Y) плотность распределенияесть/(х, — у), поэтому из X — Y = X + (—30 находим00g(z) = G'(z)=Jf(x,x-z)dx.—00Если случайные величины (X, Y) независимы, то009{z)= J/г(х)СО/2(а? - z) dx =ff1(y-z)f2(y)dy.—00—СО8.76. Найти плотность распределения разности двух независимых показательно распределенных случайных величин с параметрами Xи\i]Z = X - YJ^x) = \e-XxJ2(y)= \ie~™ (x>0,y> 0).ooР е ш е н и е .
g(z)=J /г(х) f2(x — z) dx\ f^x)отлично от нуля—ooпри х > 0; / 2 (x — z) отлично от нуля при х - z > 0.259Xp,e~a) z > 0; g(z) = J Xe"x V " ^ * " ^\ + M< '6)z<0]g(z) = J\e-Xx[ie~^x-Z)dxо=Следовательно,Xjjie*(*) =X + p,X[ie^Х + |1приz > 0,приz < 0.Параметры этого закона:1X1|лц-ХХр,п1 1X2 |JL^Х2+ц2(X|i)2Рис. 8.76Кривая распределения будет иметь вид, изображенный нарис. 8.76, а.При \ = \х получаем g{z) = — е~х|г| (рис.
8.76, 5). Такой законраспределения называется законом Лапласа.ГЛАВА 9СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИСлучайной функцией X(t) называется функция, которая в результатеопыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее,какой именно.Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результатеопыта, называется реализацией случайной функции.При фиксированном t случайная функция X(t) обращается в случайную величину X(t), называемую сечением случайной функции.Одномерным законом распределения случайной функции X(t) называется закон распределения f{x, t) сечения X{t) случайной функции.Двумерным законом распределения случайной функции X(t) называется закон распределения системы двух ее сечений: X(tt), X(^), представляющий собой функцию четырех аргументов: f(xu a^, tv t2).Случайная функция X{t) называется нормальной, если закон распределения системы любого числа п ее сечений представляет собой гс-мерный нормальный закон.Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция mx(t), которая при каждом £ представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции:mx(t) = М [X («)].Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется неслучайная функция двух аргументов Кх( t, t'), которая при каждой паре значений аргументов t, t' равна корреляционному моменту соответствующихсечений случайной функции:*,(*, О = м [х (t) х (*')].тд,е X (t) — X (t) — т x(t) — центрированная случайная функция.При tf = t корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции:Kx(t,t) = Dx(t) =D[X(t)}=:[ox(t)}2-Основные свойства корреляционной функции:l)Kx(t, t') = Kx(tf, t), т.е.
функция Kx(t, t') не меняется при замене t наt (симметричность).2612)\Kx(t,t>)\<ox(t)ox(t>).3) Функция Kx(t, t') — положительно определенная, т.е.fSKx(t,t')4>(t)4>(t')dtdt'>V,(В) (В)где tp (t) — любая функция; (В) — любая область интегрирования, одинаковая для обоих аргументов.Для нормальной случайной функции характеристики mx(t), Kx{t, t')являются исчерпывающими и определяют собой закон распределениялюбого числа сечений.Нормированной корреляционной функцией случайной функции X(t)называется функцияU t') =К'& 1>) =ax(t)ax(t')К^'^jDx(t)Dx(t>)'т.е. коэффициент корреляции сечений X(t) и X (t'); при t=t' функцияrx(t, t') равна единице: rx(t, t) = 1.При прибавлении к случайной функции X(t) неслучайного слагаемогоФ (t) к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайноеслагаемое, а корреляционная функция не меняется.При умножении случайной функции X(t) на неслучайный множительФ (t) ее математическое ожидание умножается на тот же множитель ф (t),а корреляционная функция — на Ф (t) ф (£').Если случайную функцию X(t) подвергают некоторому преобразованию Ар то получается другая случайная функцияУ(*) = Л {*(<)}.Преобразование 4°^ называется линейным однородным, еслиi)4 0)£**(*)к=\к=\(т.е.
преобразование к сумме может применяться почленно);2) 40){сХ(*)} = с40) {*(*)}(т. е. множитель с, не зависящий от аргумента t, по которому производится преобразование, можно выносить за знак преобразования).Преобразование Lt называется линейным неоднородным, если/ , { * ( * ) } = 4 0 ) { * ( * ) } + Ч>(*),где ф (t) — любая функция, никак не связанная с X(t).Если случайная функция Y(t) связана со случайной функцией X(t)линейным преобразованиемY(t) = Ц{Х (t)},то ее математическое ожидание ту (t) получается из mx(t) тем же линейным преобразованием262а для нахождения корреляционной функции Ку (t, t') нужно дважды подвергнуть функцию Kx(t, t1) соответствующему линейному однородномупреобразованию, один раз по t, другой раз по t':Ky(t,t') =^{^{Kx(t,t')}}.Взаимной корреляционной функцией R^ (£, tr) двух случайных функцийX(t) и Y(t) называется функцияRxy(t,t')=M[X(t)Y(t')}.Из определения взаимной корреляционной функции вытекает, чтоНормированной взаимной корреляционной функцией двух случайныхфункций X(t), Y(t) называется функцияЯWV*&Уг плтК')o,(i>o,(f)px{t)Dv{t'YСлучайные функции X(t) и Y(t) называются некоррелированными, если Л^ (МО = 0.Если Z(t) = X(t)+Y(t),тоKx{t, t') = Kx(t, t') + Ky (t, if) + R„ (t, t') + Я*» {if, t).Для некоррелированных случайных функций X(t) и Y(t)K2(t,t') = Kx(t,t') +Ky(t,t').ЕслиZ(t) = Y,Xk(t),где Xx (t),..., Xn(t) — некоррелированные случайные функции, то"»,(*) = Е mXk (t), K,(t, f) = £ *«» (*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
