Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Условия предыдущей задачи изменены так, что точки X, Упадают не на смежные,а на противоположные стороны квадрата(рис. 7.28). Найти математическое ожиданиеквадрата расстояния между точками Хи Y.Решение.Д2 = 1 + ( У _ Х ) 2 ;к1АYXт1h*-•Рис. 7.28М[Л2] = 1 + a2[Y] + а2[Х] - ЩХ]M[Y] = 1 +767.29. Условия предыдущих задач (7.27 и 7.28) изменены так,что точки X и Y случайным образом и независимо друг от другазанимают с постоянной плотностью любое положение на периметре квадрата К.
Найти математическое ожидание квадрата расстояния между ними.Р е ш е н и е . Выберем три гипотезы:#! — точки Х} У легли на одну и ту же сторону квадрата;# 2 — точки X, У легли на смежные стороны квадрата;# 3 — точки X, F легли на противоположные стороны квадрата.Математическое ожидание величины В2 найдем по формулеполной вероятности:М [ Л 2 ] - Р ( Я 1 ) М [ Л 2 | Я 1 ] + Р(Я 2 )М[Д 2 |Я 2 ] + Р(Яз)М[Л 2 |Я 3 ] )гдеМ[Л2 \Н1 ] ,M[R2 \H2 ],M[i?2 \H3 ] — условные математические ожидания величины R2 при соответствующих гипотезах.Из ранее решенных задач 7.25, 7.27, 7.28 имеемМ[Д 2 |Я Х ] =2М[Д 2 |Я 2 ] = ±; М[Д |Я 3 ] = .Находим вероятности гипотез:P ( ^ ) = i ; P(ff2) = i; Р(Яз) = 74Отсюда2L4 62 31 7_ = 24 6~3'7.30*.
З а д а ч а Б ю ф ф о н а . Игла длиной /бросается на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, разделеннымирасстояниями L(L> l) (рис. 7.30, а). Все положения центра иглы ивсе ее направления одинаково вероятны.Найти вероятность р того, что игла пересечет какую-нибудь излиний.1697Г</ tАe20L «L»_7TЩ2wL*22Рис.
7.30Р е ш е н и е . Положение и ориентация иглы определяются двумя случайными величинами: X и 6, где X — расстояние от центраиглы до ближайшей к нему линии и в — угол, образованный иглой с направлением перпендикуляра к параллельным линиям(рис. 7.30, б). Эти случайные величины распределены равномерно:X — на участке от 0 до —;Z*9 — на участке отдо —.JLZtПоэтому /(я, 6) = — при х € 0; — и 0 €; — ; /(я, 0) = 0 приLit\ 2)v 2 2)или 0^1;—12 2)Рассмотрим на плоскости хОу прямоугольник возможных значений величин X и в (рис. 7.30, в). Пересечение иглы с линиейпроисходит, если выполняется условие'*Н)X < -cos0,2т.е. если случайная точка Х> 6 попадает в область Д заштрихованную на см. рис. в; отсюда>-ss-— dxdQ = —где SD — площадь области D:-к/2SD = j-•к/2%откуда р = — .170-тс/2-cos0d0 = / j c o s 0 d 0 = Z,7.31.
В условия предыдущей задачи внесено изменение, состоящее в том, что ограничение I < Ь снимается. Найти математическое ожидание числа пересечений иглы с параллельными линиями, которыми разграфлена плоскость.Р е ш е н и е . Разделим иглу на п элементарных участковM = -<L.пРассмотрим случайную величину Y — число пересечений иглыс линиями; она равна сумме п случайных величин:пгде Y{ — число пересечений с линиями для г-го участка иглы. Так какД/ < Ь, то случайная величина У- может иметь только два значения:1 и 0 с вероятностямии1Ь'к. Математическое ожиданиеЬ-кэтой величины равноМ[Г,] = ^ 1LIT+2ДП0_2А/Ь'к )ЬъПо теореме сложения математических ожиданийM ryi_ v ^ 2 A [ _ 2пЫ _ %_fr^ Ь-кЬ-кL^7.32. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми,фигурирующую в предшествующих задачах, бросается случайнымобразом любой контур (выпуклый или невыпуклый, замкнутыйили незамкнутый) длиной £ Определить математическое ожидание числа пересечений этого контура с прямыми.Р е ш е н и е .
Как и в предыдущей задаче,2/M[Y] = JL.Ь -КЧтобы доказать это, нужно разделить контур на п элементарных, практически прямолинейных участков длины AI; для каждо„ .го из них математическое ожидание числа пересечении будета для всего контура%2AI,Ь тт.Ь -к7.33. На плоскость, разграфленную параллельными прямымина расстоянии L, бросается случайным образом выпуклый замк171нутый контур длиной I, наибольший размер которого а не превосходит L (рис. 7.33).Найти вероятность того, что он пересечетсяс какой-либо из прямых.Р е ш е н и е .
Обозначим р — искомую вероятность, Y — число точек пересечения контурас прямыми. Так как контур выпуклый и замкнутый, а его наибольший размер меньше L, токонтур может иметь либо две точки пересечения с прямыми, либо ни одной. Ряд распределения случайной величины У имеет видРис. 7.33Уг02Рг1-РРНа основании задачи 7.32М[7] = 0 (1 - р) + 2р = 2р •21откудар = L-к7.34.
Плоскость разграфлена на прямоугольники со сторонамиL и М(рис. 7.34). На плоскость случайным образом бросается игладлиной I (l< L, I <М). Найти вероятность того, что игла пересечется хотя бы с одной из линий.Р е ш е н и е . Рассмотрим прямые, ограничивающие прямоугольники, как две системы линий — горизонтальных и вертикальных.Рассмотрим события:А — игла пересечется с одной из вертикальных прямых;В — игла пересечется с одной из гориМзонтальных прямых.SТак как положение иглы относительномвертикальных прямых никак не влияет наее положение относительно горизонтальм iных, события А и В независимы; поэтому—: 1,искомая вероятностьLLР{А + В) = Р(Л) + Р(5) - Р(Л) Р ( 5 ) .Рис. 7.34У172На основании задачи 7.302/2/откуда2/4/ 22/7.35.
Игла длиной /случайным образомбросается на плоскость, так что все значения угла в (рис. 7.35), составленного иглой с фиксированной осью /—/, одинакововероятны.Найти математическое ожидание длины X проекции иглы на ось I—LР е ш е н и е . Имеем X = /cos6. Угол враспределен равномерно; поскольку речьидет о длине проекции, можно задать этотугол в интервале от 0 до —:J-""--i^>iii1iii17"1•/иXРис. 7.351при е е ( о , |0при/(в) =6£|0,-М[Х] = - flcosQdQ = - .о7.36.
Прямоугольник размерами 1г х 12 случайным образомбросается на плоскость (рис. 7.36); все значения угла G равновероятны. Найти математическое ожидание длины X его проекции на ось I— I.Р е ш е н и е . Представим X как суммуX = Хг+Х2,где Хх — проекция отрезка lv X2 — проекцияотрезка 1^/—XРис. 7.36173Искомое математическое ожидание равно2/,М[Х] = М[Х1] + М[Х2тс22_2(11+12)тст.е. равно периметру прямоугольника, деленному на тс.7.37. Выпуклый замкнутый контур длиной /бросается случайным образом на плоскость, причем все его ориентации одинакововероятны (рис. 7.37). Найти математическое ожидание длины Хего проекции наось.Р е ш е н и е . Так как контур выпуклый, то каждый элемент проекции Ахполучается проектированием двух итолько двух противолежащих элементов контура: А1г и А12 (см.
рис. 7.37);значит, средняя длина проекции контура вдвое меньше, чем сумма среднихдлин проекций элементарных отрезковД/, на которые можно разбить контур:Рис. 7.37М[Х] = ±^—= тстс7.38. Имеется случайная величина Хс плотностью распределения f(x). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y =\Х\.Р е ш е н и е . Запись Y =\Х\означает, чтоY =га у-Xприпри= М [ Г ] = f\x\f(x)dx—ООООХ<0,Х>0.= -Jxf(x)dx+—ОООО+ \xf{x) dx = J x [f(x) - f(-x)] dx.Dy =a2\Y]-m2y=:J\x\2f(x)dx-m2yDx +mi= a2[X}-ml=-ml.7.39. Найти математическое ожидание и дисперсию модуляслучайной величины X, распределенной по нормальному закону спараметрами тх, ах.174Р е ш е н и е. Из предыдущей задачи1тУ—о(*-т*)2f*9 2х== I хеJ0-0(*-™х)21ах-\cr T V27Tdx.сг V2rcOf»ОТОДелая замену переменных1тп.
= —/=1 °°+-j== /"(*<*,2ai=== г, получим~t22 dt +"гJ (tox+mx)e+mx)e4- ra„л/2кDy =ol+ml1-2Ф*m-ra\.В частности, при mx = О771,-£a, « 0 , 8 0 a , ;Dy =a2x-^-a2x= l-~kTVTW2«0,36cr2.7.40*. Независимые случайные величины Хи У имеют плотности распределения /г(х) и / 2 (у). Найти математическое ожиданиеи дисперсию модуля их разности Z =Р е ш е н и е . Имеем<sNSS{11)m^JJlx-ylf^f^dxdy.ЩПрямая у = х делит плоскость хОу надве области (I) и (И) (рис. 7.40). В области (I) х > у, \х — у\= х — у.
В области(II) у > х, \х — у\= у — х. Отсюдая», = JJ (х - у) / x (i) / 2 (y) dx dy +(i)00X+Jf(y- )[ X1dxd/iW f2(y) y = JViOO) / / 2 ( У ) < Ц <**(П)175OUffi(x)dx•fyf2(y)1УJyf2(y)\Jf1(x)dx dy -dy +-ftfx(x)\ff2(y)dy[ dx.Введем в рассмотрение функции распределенияхуF1(x)=Jf1(x)dx]F2(y) =—OOJf2(y)dy.—OOТогдаOO00mz = jxf^x)F2(x) dx - Jyf2(y)-OO[1 - *i(y)]<fo +—OOOOOO+ fyf2(y)F1(y)dy-f-00xf,(x) [1 - F2(x)]dx.—OOОбъединяя первый интеграл с четвертым, а второй с третьим,получимсооотг = J{2xf1(x)F2(x) - х/г(х)} dx + J{2yf2(y)F,(y) - yf2(y)} dy =-00OO= 2Jxf1(x)F2(x) dx-mx+—002fyf2(y)F^y)dy-my.—OOТак как X, Y независимы, тоа 2 [£] = М [ | Х - У | 2 ] = М [ ( Х - У ) 2 ] == М[Х2) + М[У2] - 2М[Х]М[У] == а2[Х} + *2\У]-2тхту=DX+Dy+{mx-ту)2.Отсюда находимDz=*2[Z}-ml7.41.
Независимые случайные величины Хи Y имеют плотности распределения /г(х) и / 2 (у). Найти математическое ожиданиеи дисперсию минимальной из этих двух величинZ=176mm{X,Y),т.е. случайной величины Z, определяемой следующим образом:[X,Z=\[У,приприX < У,X > У.Р е ш е н и е . Прямая у—х делит плоскость хОу на две области(см. рис. 7.40): (I), где Z= У, и (II), где Z—X (случай не рассматриваем, как имеющий нулевую вероятность).тх = M[Z] = ffxf^x)f2(y) dx dy + JJyfx (x) f2(y) dx dy =(И)UO(i)1 0«JICXJ= J^i(x)\Jf2(y)dy[dx+ Jyf2(y) J f1(x)dx \dy=-CO00= Jxfx{x){\- F2(x)]dx + fyf2(y)[l— CO- *1(у)]dy,—00где FVF2 — функции распределения случайных величин 1 и У.0000a2[Z}=jx2f1(x)[l-F2(x)}dx+Jy'f^il-F.iy^dy;—оо—ооDz=*2[Z)-ml7.42.
Случайное напряжение U распределено по нормальномузакону с параметрами ти и стм . Напряжение [/поступает на ограничитель, который оставляет его равным [/, если U < и 0 и делаетравным г^, если U > и0:Z = min{[/, tz0} = \UприU <и0,UQ ПриU>UQ.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z,Решение.сотz =M[Z]=«оI min {гл, гг0} f(u) du = \ uf (u)du +—oo00«0+ fu0f(u)du = f-^U•*2aidlZ +^ л/2тта177l(+u0J f(u)du =тиФ* Ur, — ra,\u0+U( 1 - Ф *u0-muиu0-mu°u :e 21 „ .+A/2*J—<o 21uo ~°uV2-K« n - ГП.где^0 = •<x2[Z]- fu2f(u)du+fulf(u)du2ст„т„ +CT„f«do.,4'°2= (ml + а 2 )Ф*(*о)e а'+^[1-Ф*(*0)];А/2ТГ1-7*0£ г = а 2 [ £ ] - т 2 = а 2 (1 + <02)Ф*(*0) + * 0 - ^ е ^-Jb.1_7(oV2irЗаметим, что при u0 =mu , ^ = 0 будетuV^'2TV7.43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
