Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для закона постоянной плотности на участке (а, (3)<* + (3.2пР-а2л/3Решая эти уравнения относительно а и (3, имеема = гах - а ^ л / 3 ;(3 = т х -Ьс^л/З.5.59. Производится стрельба по наземной цели снарядами,снабженными радиовзрывателями.
Номинальная высота подрываснаряда, на которую рассчитан взрыватель, равна а, но фактически имеют место ошибки в высоте, распределенные по нормальноа ,му закону со средним квадратическим отклонением а = — (систематической ошибки нет). Если взрыватель не сработает над землей, взрыва снаряда вообще не происходит. Найти вероятностиследующих событий:А — при стрельбе одним снарядом точка разрыва окажется навысоте, превышающей 1,2 а;В — при стрельбе тремя снарядами ни один снаряд не разорвется на высоте более чем 1,2 а;121С— хотя бы один из трех снарядов не разорвется;D — один из трех снарядов не разорвется, а два другие разорвутся.Решение.Р(А) = Р(Х>1,2а) = 1 - Ф 51,2а= 1 - Ф * (2,4) = 0,0082;аI 2 )Р(В) = 0,976.Вероятность того, что один отдельный снаряд не разорвется:р 0 = Р ( Х < 0 ) = Ф = —а = 0,023;а2 )Р(С) = l-(l-Pof= 0,068;P(I>) = С£ • 0,023 • 0,9772 = 0,066.5.60.
Производится стрельба тремя независимыми выстреламипо цели, имеющей вид полосы (мост, автомобильная дорога,взлетно-посадочная полоса). Ширина полосы 20 м. Прицеливаниепроизводится по средней линии полосы; систематическая ошибкаотсутствует; среднее квадратическое отклонение точки попаданияв направлении, перпендикулярном полосе, 16 м. Найти вероятность р попадания в полосу при одном выстреле, а также вероятности следующих событий при трех выстрелах:А — хотя бы одно попадание в полосу;В — не менее двух попаданий в полосу;С — один снаряд попадет в полосу, один ляжет с недолетом иодин с перелетом.Р е ш е н и е .
р = 2Ф* —1 = 0,468;U6JР(А) = 1 - (1 - pf =0,849;Р(5) = 1 - (1 - pf - Зр(1 - р)2 = 0,452;Р(С) = ЗЫ122jd-rt= 0,199.5.61. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d0 = 5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр — случайная величина,распределенная по нормальному закону со средним значениемdo и средним квадратическим отклонением od = 0,05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм.
Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.Р е ш е н и е . Вероятность того, что шарик не будет забракован:( 01 )р = 2Ф* I —?— — 1 = 0,954. Вероятность того, что он будет забрако%0,05,ван: q = 1 — р = 0,046. Следовательно, около 4,6 % шариков будетбраковаться.ГЛАВА6СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН(СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ)Совокупность двух случайных величин (X, У), рассматриваемых совместно, называется системой двух случайных величин. Система двухслучайных величин (X, У) геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (X, У) на плоскости хОу (рис.
6.0.1, а) или какслучайный вектор, направленный из начала координат в точку (Xf У),составляющие которого представляют собой случайные величины Хи Y(рис. 6.0.1, б).уАХ, Y)УОXX, Y)?1X1оРис. 6.0.1Система трех случайных величин (X, У, Z) изображается случайнойточкой или случайным вектором в трехмерном пространстве; система пслучайных величин (Х1, Х2,..., Хп) — случайной точкой ИЛИ случайнымвектором в пространстве п измерений.Функцией распределения F (я, у) системы двух случайных величин (X,У) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств:X < х и У < у:F(x,y) =P((X<x)(Y<y)).Геометрически F(x, у) интерпретируется как вероятность попаданияслучайной точки (X, У) в квадрант с вершиной (х, у), заштрихованный нарис. 6.0.2, а.
Функция распределения F (х, у) обладает свойствами:1) F ( - o o , - оо) = -Р(-оо, у) = F{x-oo) • 0;2 ) F ( + o o , + oo) = l;1243) F(x, + со) = Fx(x); F(+oo, y) = F2(y)9 где Fr(x), F2(y) - функциираспределения случайных величин Хи Y;4) F(x}y) — неубывающая функция хи г/.Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R состоронами, параллельными осям координат, включающий свою нижнююи левую границы, но не включающий верхнюю и правую (рис.
6.0.2, б),выражается через функцию распределения формулойР ((X, Y) € К) = F ((3, 6) - F ( а , 6) - F ((3, ч) + F (а, ч).61ОУа13Рис. 6.0.2Плотностью распределения f(x, у) системы двух случайных величин(X, У) называется предел отношения вероятности попадания случайнойточки в элементарный участок плоскости, примыкающий к точке (х7 у), кплощади этого участка, когда его размеры стремятся к нулю. Плотностьраспределения выражается через функцию распределения формулой/(а?, У)d2F(x, у)= F»(x,y).дх дуПоверхность, изображающая функцию f(x, у), называется поверхностью распределения.Элементом вероятности для системы двух случайных величин называется величина /(#, у) dx dy, приближенно выражающая вероятностьпопадания случайной точки {X, Y) в элементарный прямоугольник состоронами dx, dy} примыкающий к точке (х, у).Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольную область D выражается формулойP((X,Y)eD)=fff(x,y)dxdy.Свойства плотности распределения1)/(*,2/)>0;002) J J f{x, у) dx dy = 1.125Функция распределения системы выражается через плотность распределения формулойF{x, y)= J J f{x, у) dx dy(интегрирование производится сначала по у, а потом по х).Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему,выражаются через плотность распределения системы формулами0000/ i ( z ) = Jf(x,y)dyj2{y)=-00J f(x,y)dx.-OOУсловным законом распределения случайной величины, входящей всистему, называется ее закон распределения, вычисленный при условии,что другая случайная величина приняла определенное значение.Условные функции распределения случайных величин X и Y, входящих в систему, обозначаются i<] (х\ у) и F2(у \ х), а условные плотности распределения - /j (х\ у) и /2 (у | х).Теорема умножения плотностей распределения/ ( * , У) = /i(z) 12{У\Х) или f(x, у) = f2{y)£{х\у).Выражения для условных плотностейраспределения через безусловныеА(У1*) = ^ Н Г при J5(x)*0;А(х)Случайные величины (X, Y) называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значениепримет другая:х илиАЫУ) = А()Л (У к) = ЛЫ-Начальным моментом порядка к + s системы (X, Y) называется величинаcckJX,Y}=M[XkYs].Центральным моментом порядка к+ s системы (X, Y) называется величина»kJX,Y}126=M[Xkr}.Расчетные формулы для определения моментова) Для дискретных случайных величин*3V-k,s[X, Y] = £ £ ( * ' - тх)\у,i-mjp,,3г д е ^ = Р ( ( Х = * ; ) ( Г = у,.));б) для непрерывных случайных величин00*кг.=[X, Y) = ffxkysf(x,У) dx dy;—0000Vk,s[X>Y) = ff(x-™>x)k(y-™yYf(x,y)dx dy,—ooгде/(ж, у) — плотность распределения системы.Корреляционным моментом К^ двух случайных величин (X, У) называется центральный момент порядка 1+1, т.
е. р,п (X, У) (второй смешанныйцентральный момент):^=цп[Х,Г]=М[ХГ].Для независимых случайных величин корреляционный момент равеннулю.Коэффициентом корреляции гщ двух случайных величин (X, У) называется безразмерная величинаКоэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейнойзависимости между случайными величинами.Случайные величины (X, У) называются некоррелированными, если ихкорреляционный момент (или, что равносильно, коэффициент корреляции) равен нулю.Из независимости случайных величин следует их некоррелированность; напротив, из некоррелированности случайных величин еще не следует их независимость.Если случайные величины (X, У) связаны линейной функциональнойзависимостью вида У = аХ -Ь Ь, то их коэффициент корреляции г^ = ±1,где знак + или — берется в соответствии со знаком коэффициента а.Для любых двух случайных величин | гщ \ < 1.127Функцией распределения системы п случайных величин (Хг, Х2,...,Хп) называется вероятность совместного выполнения п неравенств видаХ{ <х(:F(xl,x2,...,xn)= P((X1 <xl){X2 <х2)...(Хп<хп)).Плотностью распределения системы п случайных величин называетсясмешанная частная производная n-го порядка функции распределения:дп#2,/(Xj,• • • , Хп)=*Т--ох^ ох2 ...
охпF(Х1,Х2,..•,Хп).Функция распределения F{ (x{) одной из величин Xit входящих в систему, получается из F(x1, х 2 ,..., хп), если положить в ней все аргументы,кроме xit равными +оо:Fi(xi) = F (+00, + со, . . . , а г п . . . , + со).Плотность распределения отдельной величины Х{, входящей в систему (Хг, Х2,..., Хп), выражается формулойооfi(xi)оо= J - ff{xi>x2>->xn)—00dxi ..-dxi^dxi^...dxn.—00Плотность распределения отдельной подсистемы (Xi9 X2i.--, Xk),входящей в систему (Хг, Х2,..., Хк, Хк+1,..., Хп), выражается формулой00ХХf \ j •••> к \ П '••> к) — J00• ' • J / ( X l ' •••> Ж*> - " J Ж п) ^Jfc+l '•• ^ П *-ОО- 0 0Условная плотность распределения подсистемы Хг,..., Хк при фиксированных значениях всех остальных случайных величин выражаетсяформулойf(~Т|тт) —Если случайные величины (Х1, Х2,...,/ С 3 ! ? Х2> ' " » Хп)Хп) независимы, то/ f o , х 2 ,..., хп) = ^(ai)/ 2 (x 2 )...
/ п (я п ).Вероятность попадания случайной точки ( ^ , . . . , Хп) в пределы п-мерной области D выражается n-кратным интеграломP((XU...,128XJ € Я) = /.„ / / ( * , , . . . , * J <*r, ... dxn.Корреляционной матрицей системы п случайных величин (Хи Х2,...,Хп) называется таблица, составленная из корреляционных моментов всехэтих величин, взятых попарноКп К121**11 =...К1п* 2 1 * 2 2 •*• * 2 пкп1 кп2 ...кпгде K{j = Кх.х.
= М[Х{ Xj] — корреляционный момент случайных величин Х{,Xj.Корреляционная матрица симметрична: К- = Kj{, поэтому обычнозаполняется лишь половина таблицы,Ки К12кгг...К1п-~К2пК„По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин (Хг, Х2,..., Хп):Ки=В[Х{].Нормированной корреляционной матрицей системы п случайных величин называется таблица, составленная из коэффициентов корреляциивсех этих величин, взятых попарно,1Г1211М=к.где г- = —Г13 * * • Г1 пг23 ... г 2п1...г,Зпкоэффициент корреляции величин Х{, ХуНормальный закон распределения для двух случайных величин (X, Y)(нормальный закон на плоскости) имеет плотность вида(х-тх)22г(х-тх)(у-ту)(у-ту)2(1-г 2 )/ ( * , У) =ст„л/12жг3ж.аул/1 - г "где т^ ту — математические ожидания случайных величин X, Y; сгх, ъу —их средние квадратические отклонения; г— их коэффициент корреляции.129Для случайных величин, распределенных по нормальному закону, некоррелированность равносильна независимости.
Если случайные величины (X, У) некоррелированы (независимы), то г = 0 и(х-тх)2/ ( * , У) =(у-гпу)2™хоуВ этом случае оси Ох, Оу называются главными осями рассеивания, аах, ау — главными средними квадратическими отклонениями.Если при этом тх = ту — 0, то нормальный закон принимает канонический вид:/ ( * , У) =2а£х2aJ2тгата„Вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону, в прямоугольник R (см.
рис. 6.0.2, б) с осями, параллельными главным осям рассеивания, выражается формулойР((Х, Y) e R) = <JH0-m,lф*OL— т„(а\о — т„ф*ф1Эллипсом равной плотности (эллипсом рассеивания) называется эллипс, во всех точках которого плотность распределения f(x, у) нормального закона постоянна: f(x, у) = const.Полуоси эллипса рассеивания пропорциональны главным среднимквадратическим отклонениям:а = к ах,Ъ = к оу.Вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону, в область Ек, ограниченную эллипсом рассеивания,равнаР((Х, У) € £ , ) = 1 - е2,где к— размеры полуосей эллипса в средних квадратических отклонениях.Если ах = ау = <т, рассеивание по нормальному закону называетсякруговым.При круговом нормальном рассеивании стх — ту = 0 расстояние Rот точки (X, У) до начала координат (центра рассеивания) распределяется по закону Рэлея:130/(г) = а20приг >0,приг <0.Нормальный закон в пространстве трех измерений для независимыхслучайных величин (X, У, Z) выражается формулойjx-mx)2/(*, У, *)^У-тПу)2^z-m,)2(2ir)3/2aacxzВероятность попадания случайной точки (X, Y, Z) в область Ек1 ограниченную эллипсоидом равной плотности с полуосямиа — к Gx,b — к ау, с = к о2,равнаPV.X, Y, Z) 6 Е.) - 2Ф» (t)-.-£."*6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
