Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Легко видеть, что случайнаяРVвеличина X выражается через Y следующим образом: X = Y + 1.Распределение случайной величины X можно назвать «сдвинутымна 1 распределением Паскаля».5.16. Производится два независимых выстрела по мишени. Ве­роятность попадания при каждом выстреле равна р. Рассматрива­ются случайные величины:X — разность между числом попаданий и числом промахов;Y— сумма числа попаданий и числа промахов.Построить для каждой из случайных величин Х} Уряд распре­деления. Найти их характеристики: тх,DxJmy,Dy.Р е ш е н и е . Ряд распределения величины X имеет видi-202Pii2pqP2xгде? = 1 - p.mx = -2q2 + 2p2 = 2(p - q); a2[X} = 4(q2 + p2);Dx=a2[X]-m2=8pq.Случайная величина Y фактически не случайна и имеет однозначение 2; ее ряд распределения:97Vi2;m.Dy=0.Pi5.17. В нашем распоряжении имеется п лампочек; каждая изних с вероятностью р имеет дефект.

Лампочку ввинчивают в па­трон и подают напряжение; после чего дефектная лампочка сразуже перегорает и заменяется другой.Рассматривается случайная величина X — число лампочек, ко­торое будет испробовано. Построить ее ряд распределения и най­ти математическое ожидание тх.Р е ш е н и е . Ряд распределения величины Xъ123PiQpqp2qпгp'-'qРгдед = 1- р.п-1^-^г=1ар+ прп-11-Р5.18.

Случайная величина X подчинена закону Пуассона с ма­тематическим ожиданием а = 3. Построить многоугольник рас­пределения и функцию распределения случайной величины X.Найти: а) вероятность того, что случайная величина X примет зна­чение меньшее, чем ее математическое ожидание; б) вероятностьтого, что величина X примет положительное значение.О т в е т : а) 0,423; б) 0,950.5.19.

Поток заявок, поступающих на телефонную станцию,представляет собой простейший (стационарный пуассоновский)поток. Математическое ожидание числа вызовов за час равно 30.Найти вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вы­зовов.О т в е т : 0,0902.5.20. При работе электронной вычислительной машины времяот времени возникают неисправности (сбои). Поток сбоев можносчитать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно 1,5. Най­ти вероятности следующих событий:А — за двое суток не будет ни одного сбоя;В — в течение суток произойдет хотя бы один сбой;С— за неделю работы машины произойдет не менее трех сбоев.О т в е т . Р(А) = 0,050; Р(5) = 0,777; Р(С) = 0,998.985.21. При заданном положении точки разрыва снаряда цельоказывается накрыта пуассоновским полем осколков с плотно­стью X = 2,5 [оск./м ].

Площадь проекции цели на плоскость, на ко­торой наблюдается осколочное поле, равна 5 = 0 , 8 [м2]. Каждыйосколок, попавший в цель, поражает ее с полной достоверностью.Найти вероятность того, что цель будет поражена.О т в е т . 0,865.5.22. Та же задача, но каждый осколок, попавший в цель, пора­жает ее не с полной достоверностью, а с вероятностью 0,6.Р е ш е н и е .

Рассмотрим вместо заданного поля осколков «полепоражающих осколков» с плотностью Х*=Х -0,6 = 1,5 [пор. оск./м2].Математическое ожидание числа поражающих осколков, попавшихв цель, будет а* = X* s = 1,2 [пор. оск.]; отсюда вероятность пораже­нияRx = 1 - е~а* = 1 - 0,301 = 0,699.Другое решение: по формуле полной вероятности с гипотезами Нт — вль попало га осколков (га = 1,2, ...).

РР((##тт)) = Рт = — е а , а = Xs = 2.цельга !А - поражение цели,Р(Л|Я ) = 1 - (1 - 0,6)т;т1Р(А) = ЕР~ [!-(!- °>6)т 1 = 1 " Ро ~ £ [ а (га!°' 6)Ге " а =га=1т—\= 1 - е - а е а ( 1 -°' 6 ) = 1 - е"1'2 = 0,699.5.23. Электронная лампа работает исправно в течение случай­ного времени Г, распределенного по показательному закону:/(*) =0приt < 0,|ле"^приt > 0.По истечении времени Г лампа выходит из строя, после чего еенемедленно заменяют новой. Найти вероятность того, что за вре­мя т: а) лампу не придется заменять; б) лампу придется заменятьровно три раза; в) лампу придется заменять не менее трех раз.Р е ш е н и е .

Отказы ламп образуют простейший поток с плот­ностью |л. Математическое ожидание числа отказов X за время травно а = |п\а)Р0=е-^;б)Р3=^-е^;в)/гз=1-[Р0+Р1+Р2] = 1-е-"т[1-рт-1(^т)2].995.24. Техническое устройство состоит из трех узлов; в первомузле щ элементов, во втором п2 элементов, в третьем щ элементов.Первый узел безусловно необходим для работы устройства; вто­рой и третий дублируют друг друга. Время исправной работы каж­дого элемента распределено по показательному закону; среднеевремя работы элемента, входящего в первый узел, равно t^t вовторой или третий узлы — t^K Первый узел выходит из строя,если в нем отказало не менее двух элементов; второй узел (так же,как и дублирующий его третий) выходит из строя при отказе хотябы одного элемента. Для выхода из строя устройства в целом до­статочно, чтобы отказал первый узел или второй и третий вместе.Найти вероятность того, что за время т устройство выйдет изстроя.Р е ш е н и е .

Вероятность выхода из строя одного элементапервого, второго или третьего узлов за время т равна соответст­веннорг = 1 — ехр*(1)V2 = Рз = 1 -еХР/(2)гдеехрх = е .Вероятность выхода из строя первого узла за время т:12, пгl-ci-pj-i-n^a-ft)*"-1.Вероятности выхода из строя второго и третьего узлов:Р2=1-(1-р2)"*;Pz=l-(l-p3)nKВероятность выхода из строя всего устройства:Р=Р1 + (1-Р1)Р2Р3.5.25. Искусственный спутник земли, движущийся по своей ор­бите в течение п суток, может случайным образом сталкиваться сметеоритами.

Метеориты, пересекающие орбиту и сталкивающие­ся со спутником, образуют пуассоновский поток с плотностью х(метеоритов в сутки). Метеорит, попавший в спутник, пробиваетего оболочку с вероятностью р0. Метеорит, пробивший оболочку, свероятностью рх выводит из строя аппаратуру спутника. Найтивероятности следующих событий:А — за время полета спутника его оболочка будет пробита;В — за время полета спутника его аппаратура будет выведенаиз строя;С — за время полета спутника будет пробита только оболочкаспутника, а аппаратура будет действовать.100Р е ш е н и е . Математическое ожидание числа метеоритов, про­бивающих оболочку: а0 = хпРо- Математическое ожидание числаметеоритов, пробивающих оболочку и поражающих аппаратуру:а^хпРгРоР(А) = 1-е~а°=1-е-хпр°;P(5) = l - e " a i = 1 - e " X W l ;Р(С) = Р(А) - Р(В) = е-*™- е~хпро.5.26.

Число атак истребителей, которым может подвергнутьсябомбардировщик над территорией противника, есть случайная ве­личина, распределенная по закону Пуассона с математическиможиданием а = 3. Каждая атака с вероятностью 0,4 заканчиваетсяпоражением бомбардировщика. Определить: а) вероятность пора­жения бомбардировщика; б) ту же вероятность, если число атакистребителей — не случайная величина и в точности равна трем.О т в е т , а) 0,699; 6) 0,784.5.27. При работе некоторого прибора в случайные моментывремени возникают неисправности.

Время Т работы прибора отего включения до возникновения неисправности распределено попоказательному закону с параметром У:ve/(*)=0vtприприt > 0,t < 0.При возникновении неисправности она мгновенно обнаружи­вается, и прибор поступает в ремонт. Ремонт продолжается время<Q, после чего прибор снова включается в работу.Найти плотность распределения / * (t) и функцию распределе­ния F* (t) промежутка времени Г* между двумя соседними неис­правностями. Найти его математическое ожидание и дисперсию.Найти вероятность того, что время Г* будет больше 2t0.Р е ш е н и е .

T* = T + t0,ve~v{t~to)0V{Zl0)М*-*о)F*(*)H l-e~-0M[T*] = ± + t0;приприприприt>t0,t <t о*>t0,t < t0.D[T*] = \ ;P ( r * > 2 * 0 ) = l - F * ( 2 * 0 ) = e -Vtn1015.28. Время Т между двумя сбоями вычислительной машиныраспределено по показательному закону с параметром X:f(t\ _ { Х е ~ Х 'П[ОРИ * > 0 >приt < 0.Решение определенной задачи требует безотказной работымашины в течение времени т. Если за время т произошел сбой,то задачу приходится решать заново.

Сбой обнаруживаетсятолько через время т после начала решения задачи. Рассматри­вается случайная величина 0 — время, за которое задача будетрешена. Найти ее закон распределения и математическое ожида­ние (среднее время решения задачи).О т в е т . Случайная величина 0 дискретна и имеет ряд распре­делениятдер = ев,т2тгхPiрpqpq''1; q = 1- р = 1- ет;ттреХт5.29. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,что за данное время t = кт будет решено не менее га задач (ш < к).Р е ш е н и е .

Обозначим Pm k вероятность того, что за времяt = кт будет решено ровно га задач. Pm k есть вероятность того,что из к промежутков времени т ровно га будет таких, в которыхне будет сбоев. Вероятность того, что за время т не будет сбоя:р = Р(Г > т) = е" Хт . По теореме о повторении опытовPifTm „т „к—тст,к= к/огтЛ—тХт/-|е=скР 9Л— Хт(1-е\к—т)Вероятность того, что будет решено не менее т задач:Rm,k = X X * = Е^е-* т (1-е- Хт ) А -%i—m%—тили, если это удобнее,г=05.30. ОХОТНИКИ, собравшиеся для охоты на волка, выстраива­ются в цепь случайным образом так, что расстояние между двумясоседними охотниками D не зависит от других расстояний и рас102пределено по показательному закону с параметром X.

Волк бежитперпендикулярно цепи. Любой охотник стреляет по волку тольков случае, если волк пробегает от него не дальше чем на расстоянииД0, и, выстрелив, убивает его с вероятностью р. Определить веро­ятность того, что волк будет убит, если он не знает, где расположе­ны охотники, и цепь достаточно длинна для того, чтобы волк сдостоверностью не пробежал за пределами цепи.Р е ш е н и е . Цепь охотников (рис. 5.30) может рассматриватьсякак пуассоновская последовательность точек на оси Ох. Волк, бегу­щий по направлению, указанному стрелкой, обстреливается в слу­чае, если в полосу шириной 2Д0, связанную с его траекторией, по­падает хотя бы один охотник.

Характеристики

Список файлов книги