Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Найти вероятность того,что во время воздушного налета будет поражено: А — ровно трисамолета; В — не менее двух самолетов.О т в е т . Р ( Л ) = С%[1 - (1 - p)2f(l - р) 2 ( "" 3 ) ;Р(В) = 1 - (1 - p)2N - АГ(1 - р)21"-1>[1 - (1 - р)2).4.9. По самолету производится п независимых выстрелов; каж­дый из выстрелов с вероятностью рх попадает в зону, где он пора­жает самолет немедленно; с вероятностью р2 попадает в топлив­ный бак и с вероятностью р3 не попадает в самолет вообще.

Сна­ряд, поразивший топливный бак, оставляет в нем пробоину, через74которую вытекает А; литров горючего в час. Потеряв М литров го­рючего, самолет становится небоеспособным. Найти вероятностьтого, что через час после обстрела самолет не будет боеспособен.Р е ш е н и е . В результате каждого выстрела может произой­ти одно из трех событий:Ах — самолет поражен;А2 — пробоина в баке;А3 — нет попадания.Вероятности этих событий pv р2, р3. Вероятность того, что в ре­зультате п выстрелов событие Ах произойдет т1 раз, А2 — га2 раз иА3 — т3 раз, равна3 р •Р3=п\Г\11—j=T ™ j 'Самолет может быть поражен двумя способами: или произош­ло хотя бы одно попадание в зону безусловного поражения, илине произошло ни одного попадания в эту зону, но зато самолетвыведен из строя за счет вытекания горючего (для чего должнобыть m2k> M).

Обозначая —\ = 1 наибольшее целое число, co-lit Jдержащееся в М/к («целая часть» от числа М/к), находим вероят­ность поражения самолета:p(4) = i - ( i - P l ) " + £__*!—-Р^Г""1-4.10. Производится три опыта, каждый из которых заканчива­ется результатом Ах с вероятностью ри> А2 — с вероятностью p2i7А3 — с вероятностью p3i и АА — с вероятностью pAi (г = 1, 2, 3 — но4мер опыта; Y^Pji = -О- Требуется найти вероятность р того, что вмрезультате этих трех опытов событие Ах произойдет один раз,А2 — два раза, а А3 и АА не произойдут совсем.Написать производящую функцию и указать, коэффициентпри каком члене ее разложения будет равен искомой вероятности.Ответ, р = pnp22p2Z + P2lPl2P23 + P2lP22Pl3. Производящаяфункция3Ч^(*1»*2>*3>*4) = П ( Р Ь " * 1 + ^ 2 i * 2 +P*iZ3+Piizi)\75вероятность р представляет собой коэффициент при гхг\ъ разложе­нии ср3 (zi » z2 > z3> z4)по степеням аргументов.4.11.

Первый прибор состоит из щ узлов, второй из п2 узлов.Каждый из приборов работал в течение времени t За это время ка­ждый из узлов первого прибора выходит из строя, независимо отдругих, с вероятностью qv второго — с вероятностью q2. Найти ве­роятность р того, что за время t в первом приборе выйдет из строятх узлов, а во втором — щ узлов.Ответ. p =C^q^(l-qi)ni-miC^q^(l-q2)n^mK4.12*. В условиях задачи 4.11 найти вероятность того, что впервом приборе выйдет из строя больше узлов, чем во втором.Р е ш е н и е . Вероятность события В — в первом приборе вышлоиз строя больше узлов, чем во втором — находим по формуле пол­ной вероятности с гипотезами Я{ — в первом приборе вышло изстроя г узлов [г — 1,2, ...^п^).pWni=Ciiqi(l-qiyi-i;P(Hi) =P(B\Ht ) = g p j 2 > 2 = £ С ^ а ' ( 1 - в,)"»"' (i <n2+J=01),3=0Р ( В Д ) = 1(х>п2+1).Еслип 1 < n 2 + 1,тоP(B) = JZC^q* (1 - ffl )•'"' Y.C{tqi{\ - q2)n*-j;i=\j=0еслигг1 > n2 + 1,тоP(B)= E 1 C7i 1 g 1 '(l-fli)" , "'ec'W(l-« a )" 1 " i +i=l,7=0г=п2+24.13.

Монета бросается m раз. Найти вероятность р того, чтогерб появится не менее А:раз и не более /раз (к < I < ш).I1(Л\т(Л \t=*i=*V^yV^yт1i=kАЛА. Прибор, состоящий из А; узлов, работал в течение времениt Надежность (вероятность безотказной работы) каждого узла завремя t равна р. По истечении времени t прибор выключается, тех­ник осматривает его и заменяет узлы, вышедшие из строя. На за­мену одного узла ему требуется время т. Найти вероятность Р76того, что через время 2т после выключения прибор будет готов длянормальной работы.Р е ш е н и е . Для этого нужно, чтобы за время t вышло из строяне более двух узлов:Р = Рк + к(1 - р)Рк-' + * ^ 1 > (1 -Р)У-2.4.15. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:1) три партии из четырех или пять из восьми? 2) не менее трехпартий из четырех или не менее пяти партий из восьми?Решение.1) ^з,4 - ^ 4 2~~ 7 ' ^ 5 ' 8 ~~ С*(1)Ы~32 ;PM> JVТри партии из четырех выиграть более вероятно.42) Д , , 4 = С »5~16'ч8#5,8 = ^ 8~г+<{2}\2)Ж]Д5,8>Лз,4-Не менее пяти партий из восьми выиграть более вероятно.4.16.

Человек, принадлежащий к определенной группе населе­ния, с вероятностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностью0,3 — шатеном, с вероятностью 0,4 — блондином и с вероятностью0,1 — рыжим. Выбирается наугад группа из шести человек. Найтивероятности следующих событий:А — в составе группы не меньше четырех блондинов;В — в составе группы хотя бы один рыжий;С— в составе группы равное число блондинов и шатенов.Решение.Р(А) = 1 - [0,66 + 6 • 0,4 • 0,65 + 15 • 0,42 • 0,64] « 0,455;Р(5) = 1 - (1 - ОД)6 «0,468; С = С0 + С 1 + С 2 + С 3 ,где С0 — в группе нет ни блондинов, ни шатенов;Сх — в группе по одному блондину и шатену, а остальные — нито, ни другое;С2 — в группе по два блондина и шатена, а остальные — ни то,ни другое;С3 — в группе по три блондина и шатена.р(С 0 ) = ( 1 - 0 , 7 ) 6 «0,0007;77Р(с,) = Yifb 0 ' 3 ' °' 4 ( 1 " °' 7)4 * °' 0292;P(<?2) = ^ | ^ 0 , 3 2 .

0 , 4 2 ( l - 0 , 7 ) 2 «0,1166;Р(^з) = ^ 0 > 3 3 • 0,43 « 0,0346; P(C) « 0,181.4.17. Мишень состоит из яблока и двух колец. При одном вы­стреле вероятность попадания в яблоко равна р0, в первое коль­цо — Pv BO второе — р2', вероятность непопадания в мишень р3. Помишени произведено пять выстрелов. Найти вероятность того,что они дадут два попадания в яблоко и одно — во второе кольцо.5!2 0 1 2ол 22О Т В е Т Р г>P PlPlPS= 3 0 P o l ,' 2 , 0 , 1 , 2 ; 5 = 2\0\l\2\ °2P3-4.18. Производится стрельба по цели тремя снарядами. Снаря­ды попадают в цель независимо друг от друга. Для каждого снаря­да вероятность попадания в цель равна 0,4.

Если в цель попалодин снаряд, он поражает цель (выводит ее из строя) с вероятно­стью 0,3; если два снаряда — с вероятностью 0,7; если три снаря­д а — с вероятностью 0,9. Найти полную вероятность пораженияцели.Р е ш е н и е . Гипотезы#г — в цель попало г снарядов (г = 1, 2, 3);Р(Я 1 ) = 3-0,4-0,6 2 = 0,432;Р ( # 2 ) = 3-0,4 2 -0,6 = 0,288;Р ( # 3 ) = 0,43 =0,064.Событие А — поражение цели,Р(Л) = 0,432 • 0,3 + 0,288 • 0,7 + 0,064 • 0,9 w 0,389.4.19.

Производится стрельба по цели п независимыми выстре­лами. При одном выстреле попадание в цель происходит с вероят­ностью р. Если в цель попало т снарядов (га = 1,2,..., тг), то ус­ловная вероятность поражения цели выражается формулойР(Л|га) = 1 - 5 т , г д е 0 < 5 < 1 .Определить полную вероятность поражения цели.Р е ш е н и е . Гипотезы Нт — попало га снарядов (га = 1, ..., п).Р(Л) = ]ГР(Я т ЩА\т) = £tfn"*pm (1 - рГ~т (1 - sm )•га = 1га=1Упростим это выражение; так как 1 — s° = 0, то78Р(Л)= £ c n m p m ( l - p ) " - m ( l - s m ) =m=0m£ c ; > ( i - р)-т - ^c n m ( P5 ) m (i - р)'m=0m=0НО£c7„ m p m (i-p) n - m =i;m=0далее, по формуле бинома£ с : (Ps)m (1 - Ру-т= [ре + 1 - р]" = [1 - Р (1 - 5)]";т=0поэтомуР(Л) = 1 - [ 1 - р ( 1 - * ) ] " .Этот же результат получается проще, если заметить, чтор (1 - s) есть вероятность поражения цели при одном выстреле ичто из формулы Р(А\т) = 1 — sm следует независимость пораже­ний цели при любом заданном числе попаданий.4.20.

Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему по­следовательно и независимо одна от другой п торпед. Каждая тор­педа попадает в корабль с вероятностью р. Каждая попавшая в ко­рабль торпеда с одинаковой вероятностью попадает в любой из котсеков, на которые разделена подводная часть корабля. Торпеда,попавшая в отсек, приводит к его заполнению водой. Корабль идетко дну, если водой заполнено не менее двух отсеков. Найти веро­ятность того, что корабль будет затоплен.Р е ш е н и е . Эту задачу удобно решать по формуле полной ве­роятности с гипотезами Нт — в корабль попало т торпед(т = 1,2, . . .

, п ) .:СИ> Т О (1-р) П -Р ( Я т ) = Р|ЯНайдем Р(А\Нт ). По условию Р(А\Нг) = 0. При т > 2 попав­ших торпедах корабль не затопляется, только если все торпедыпопали в один отсек; следовательно,тР ( Л | Я т ) = 1 - к\(1)= х_ _J_(т > 2).Полная вероятность потопления корабля:Р(А)=^2СпРт(1-РГ.го-1m=2794.21. В течение времени t эксплуатируется N приборов. Каж­дый из приборов имеет надежность р и выходит из строя незави­симо от других.

Найти вероятность Р(Л) того, что мастер, вызван­ный по окончании времени t для ремонта неисправных приборов,не справится со своей задачей за время т, если на ремонт каждогоиз неисправных приборов ему требуется время т 0 .Р е ш е н и е . Событие А равносильно тому, что число вышед­ших из строя приборов больше чем / =гдеобозначаетнаибольшее целое число, заключенное в тТпР(Л)=£С£(1тРГР„N-rnт=1+14.22.

Имеется N неисправных приборов, которые подвергаютсяиспытаниям (тестам) с целью локализации неисправности. Каж­дый тест независимо от других с вероятностью р приводит к лока­лизации неисправности. Если неисправность локализована, при­бор передается на ремонтную станцию, а обследованию подверга­ются другие приборы. Если во всех N приборах неисправностьлокализована, то тесты прекращаются. Всего имеется возмож­ность произвести п тестов (п > N). Найти вероятность того, чтонеисправности во всех N приборах будут локализованы.Р е ш е н и е .

Характеристики

Список файлов книги