Главная » Просмотр файлов » Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей

Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 10

Файл №1115276 Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей) 10 страницаЕ.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276) страница 102019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Имеются две урны: в первой а белых шаров и 6 черных; вовторой с белых и d черных. Из первой урны во вторую переклады­вается один шар; шары перемешиваются и затем из второй урны впервую перекладывается один шар. После этого из первой урныберут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет бе­лым.Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — состав шаров в первой урне не изменился;# 2 — в первой урне один черный шар заменен белым;# 3 — в первой урне один белый шар заменен черным.сd + lР(Я,)-5-±±- + ba + bc + d + 1 a + bc + d + 1Р(Я,) = —; Р(Я,) = —:2a + bc + d + 1a + bc + d + 155[a + bc + d + 1 a + bc + d + l j a + b6сa+ 1ada—1 _a + bc + ^H-laH-ba + b с + d + 1a + ba (a + 6)(c + d + 1) + be — ad _ abe — ad{a + b)2(c + d + l)(a + 6)2(c + d + 1)a+bПолученное решение показывает, что вероятность вынуть бе­лый шар не изменится, если доли белых и черных шаров в обеихс dурнах одинаковы: — = — (be — ad = 0).а Ъ3.15.

Из чисел 1, 2, ... , п одно за другим выбирают наугад двачисла. Какова вероятность того, что разность между первым вы­бранным числом и вторым будет не меньше т (га > 0).Р е ш е н и е . Событие А состоит в том, что разность между пер­вым выбранным числом к и вторым выбранным числом I будет неменьше т (т.е. к — I > га).Гипотезы Нк— первым вынуто число А;(А; = m + 1,..., п);Р(Я,) = 1; Р(А\Нк) =ппу-l.[lп (п — 1)+1с _ гг)Кт^И±;п —1п1=12+...+ ( n - m ) ] =у( n-(jfe_ m ) =m ) ( n-m +2п(п — 1)1)3.16*.

Из Nстрелков можно выделить четыре группы: ах отлич­ных стрелков, U2 хороших, % посредственных и аА плохих. Вероят­ность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка г-йгруппы равна pi (г = 1, 2, 3, 4). Вызываются наугад два стрелка истреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя быодного попадания в мишень.Р е ш е н и е . Событие А — хотя бы одно попадание в мишень.Гипотезы Е{ — первым вызван стрелок г-й группы (г = 1, 2, 3, 4).Р(Я4) = ^ ;Р(А)^^-Р(А\Н,),где P(A\Hi ) снова находим по формуле полной вероятности при че­тырех гипотезах о том, какой стрелок был вызван вторым:Р(А\Н { ) = ^ = 1 [1 - (1 - p. f} + Е т ^ т [ 1 - (1 - Pi )(1 - Pi)]•563.17. Производится п независимых выстрелов зажигательнымиснарядами по резервуару с горючим.

Каждый снаряд попадает врезервуар с вероятностью р. Если в резервуар попал один снаряд,горючее воспламеняется с вероятностью рх; если два снаряда — сполной достоверностью. Найти вероятность того, что при п вы­стрелах горючее воспламенится.Р е ш е н и е . Гипотезы:Н{ — в резервуар попал один снаряд;Н2 — в резервуар попало два или более снарядов.Р(Я 1 ) = п р ( 1 - р ) " - 1 ; Р ( Я 2 ) = 1 - ( 1 - р ) »-пр(1-Ру-\Искомая вероятность равнаР(Л) = Р ( Я 1 ) р 1 + Р ( Я 2 ) 1 == пр{1 - р)п-1р1 + 1 - (1 - р)п - пр(1 - р)п~1 == l-(l-p)n-npil-py-^l-p,).3.18.

Группа студентов состоит из а отличников, Ь хорошо ус­певающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящемэкзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успе­вающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошиеи отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с рав­ной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетво­рительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад одинстудент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или от­личную оценку.Р е ш е н и е .

Гипотезы:# t — вызван отличный студент;# 2 — вызван хороший студент;# 3 — вызван слабый студент.P(#i)=, ? , ; Р(я 2 )=а+ Ь+ с, ?.; Р(#з):a -f Ь + са+Ъ +сИскомая вероятность равнаР(Л) = Р(Я 1 )1 + Р(Я 2 )1 + Р ( Я 3 ) 1 =о_а+6a+b+с1с_За+Ь+сза+Ь+с3.19. В условиях предыдущей задачи вызываются наугад тристудента. Найти вероятность того, что они получат отметки: от­лично, хорошо и удовлетворительно (в любом порядке).57Р е ш е н и е . Событие А — получение отличной, хорошей иудовлетворительной отметок — возможно только при одной изследующих гипотез:Н{ — вызваны один слабый студент, один хороший и один от­личник;# 2 — вызваны один слабый студент и два хороших;# 3 — вызваны два слабых студента и один хороший;# 4 — вызваны два слабых студента и один отличник.СЬ Ь-1саbР ( Я ^ = 6 £ - ^ — - ^ •2'- ; Р(# 2 ) = 3N N - 1NNN-1N-21С гР(Я.) = з3—А - 1" "с ~—" ; Р (к Я 44 /) = 3 — °~3NN-1N-2NN-1N-2(N = а + Ь + с).Р(А) = Р ( Я 1 ) 1 .

| . 1 + Р ( Я , ) | . | + Р ( Я , ) 1 . | + Р ( Я 4 ) 1 . | .3.20. В автобусе едут п пассажиров. На очередной остановкекаждый из них выходит с вероятностью р; кроме того, в автобус свероятностью р0 не входит ни один новый пассажир; с вероятно­стью 1 - р0 — один новый пассажир.

Найти вероятность того, чтокогда автобус снова тронется в путь после очередной остановки, внем будет по-прежнему п пассажиров.Р е ш е н и е . Событие А — после остановки снова п пассажи­ров. Гипотезы:Я0 — не вошел никто;Щ — вошел один пассажир.Р(Я0) = р0;Р(Я1) = 1 - р 0 ;Р(Л|Я 0 ) = ( 1 - р ) " ; Р ( Л | Я 1 ) - п р ( 1 - р ) п - 1 ;Р(Л) = р 0 ( 1 - р ) п+(1-Ро)пр(1-р)п-1.3.21*. Условия предыдущей задачи сохраняются, но надо най­ти вероятность того, что после двух остановок в автобусе будетпо-прежнему п пассажиров (при расчете учесть, что новый пасса­жир также выходит с вероятностью р на последующей остановке).Р е ш е н и е .

Гипотезы:# 0 о — за две остановки не вошел никто;Нг 0 — на первой остановке вошел один пассажир, а на вто­рой — ни одного;Я 0 г — на первой остановке не вошел ни один пассажир, а навторой — один;Нг г — на каждой остановке вошло по пассажиру.58Р ( Я 0 , О ) = РО2;P(ff l i 0 ) = ( i - P o ) P o ;Р(Я 0 1 1 ) = р 0 ( 1 - р 0 ) ; P(ff l i l ) = ( l - p 0 ) 2 .Чтобы при гипотезе Я 0 0 число пассажиров осталось п, нужно,чтобы ни один из п пассажиров не вышел ни на первой, ни на вто­рой остановках:[(1-рГ}2=(1-р)2п.Р(А\Н0г0) =Чтобы при гипотезе Я х 0 число пассажиров осталось прежним,нужно, чтобы или на первой остановке вышел один пассажир, а навторой — никто, или на первой остановке не вышел никто, а навторой — один пассажир:T>(A\Hh0) = np(l-p)n-1(l-p)n+ 1)р(1-р)п+(1-ру(п= р(1-р)2п-1[п+ (п +=№-Р)]-Аналогично, но учитывая, что вошедший на второй остановкепассажир не выходит:P(4|ff0il)=np(l-p)-1(l-p)n + (l-p)"np(l-p)-1=2np(l-p)2-1.Чтобы при двух вошедших пассажирах число их после двухостановок оставалось неизменным, нужно или чтобы на первойостановке вышли два пассажира, а на второй — никто; или на пер­вой — никто, а на второй — два; или чтобы вышло по пассажируна каждой остановке:Р(Л|Ям) = С 2 р 2 ( 1 - р ) - 2 ( 1 - р ) - 1 ++ (l-p)-C2+1pa(l-p)-1+C7ip(l-p)"-|Cip(l-p)-1 ==п(пР2/1' ( 1 - Р^ \) 2 п - 3— 1)2/-1+ n2(l-p)+\п(пv+ 1)''(1-р)Р(А) = Р(Я 0 , о) Р(Л|Я 0 , 0 ) + P(Hh 0 ) P(A\Hh 0 ) ++ Р ( Я 0 , : ) Р(Л|Я 0 ,,) + P(Hh,) P ^ l ^ , , ) .3.22.

Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждоеорудие выбирает себе цель случайным образом и независимо отдругих. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероят­ностью р. Найти вероятность того, что из трех целей две будут по­ражены, а третья нет.Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — обстреляны все три цели;# 2 — все орудия стреляют по одной цели;59Н3 — две цели из трех обстреляны, а третья нет.Р(Я 11) = 1-^-1 = - ;3 3 921 1 11 2Р ( Я 22) = 1.^-± = - ; Р ( Я 3 ) = 1 - - — = - ;3 3 99 9 3Р(А\Нг) = Зр2(1-р)]Р(А\Н2)Р(А\Н3) = [1-(1-р)2]р== 0]р2(2-р);Р(А) = 2р'3.23. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов Iи II (рис.

3.23) и может случайным образом работать в одном издвух режимов: благоприятном и неблагоприят­ном. В благоприятном режиме надежность каж­Iдого из узлов равна pv в неблагоприятном р2.Вероятность того, что прибор будет работать вjnблагоприятном режиме, равна Pv в неблаго­приятном 1 — Pj. Найти полную (среднюю) на­Рис. 3.23дежность прибора р.Ответ. p =P1[l-(l-p1)2]+(l-P1)[l-(l-p2)2}.3.24. На телефонную станцию поступает случайный потоквызовов; вероятность приема к вызовов за время t равна pk(t)(к = 0,1, 2, ...). Число вызовов, принятых за промежуток времениt, не зависит от того, сколько вызовов поступило до или после это­го промежутка.

Найти вероятность того, что за промежуток време­ни 21 будет s вызовов.Р е ш е н и е . Разделим промежуток 2£ на две части: первую ивторую, каждая длительности t Гипотезы Нк — на первый участокпопало А;вызовов (&= 0, 1, ..., s).Р(Нк)=Pk(t)(к = 0,1,--,S).Для того чтобы при гипотезе Нк на промежуток It попало s вы­зовов, нужно, чтобы на второй участок поступило s — к вызовов.Условная вероятность этого равна ps_k (t). Полная вероятность со­бытия А — за время 21 поступит s вызовов — равнаР(А) = £ Р ( Я , ) Р(А\Нк ) = £ > (ОР^ь (*)•к=0к=03.25. В ящике находится а новых теннисных мячей и Ъ игран­ных. Из ящика наугад вынимается два мяча, которыми играют.После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из60ящика снова берут наугад два мяча.

Найти вероятность того, чтоони будут новыми (а > 2; Ь > 2).Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — оба вынутых первый раз мяча были новыми;# 2 — оба вынутых первый раз мяча были игранными;# 3 — один из мячей был новым, а другой — игранным.Р(Я1) =Ь{Ь 1)^ ^;Р(Яа)=•(а + Ь)(о + Ь - 1 )'(а + Ь)(а + Ь - 1 ) 'Р(Я3)J>(A)2аЪ(а + Ъ)(а + Ъ-1)'(п — 1)(а1 ^ (п.- —2)(а - 3) + Ьф - 1)а (а - 1) + 2ab(a - 1)(а - 2)аа (а(а + 6)2(а + 6 - 1 ) 2'3.26. Имеется п экзаменационных билетов, каждый из которыхсодержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2пвопросов, а только на к< 2 п.

Определить вероятность р того, чтоэкзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба во­проса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один(по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — экзаменующийся знает оба вопроса своего билета;# 2 — экзаменующийся из двух вопросов своего билета знаетодин.к(к-1)р= —2п (2гс - 1)2к(2п -к)1 -j_к-12п (2п - 1) 2п - 23.27*. Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью рх на­ходится в пункте I, а с вероятностью р2 = 1 — рх в пункте ll\pl > - LВ нашем распоряжении имеется п снарядов, каждый из кото­рых может быть направлен в пункт I или в пункт II.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6310
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее