Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Имеются две урны: в первой а белых шаров и 6 черных; вовторой с белых и d черных. Из первой урны во вторую переклады­вается один шар; шары перемешиваются и затем из второй урны впервую перекладывается один шар. После этого из первой урныберут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет бе­лым.Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — состав шаров в первой урне не изменился;# 2 — в первой урне один черный шар заменен белым;# 3 — в первой урне один белый шар заменен черным.сd + lР(Я,)-5-±±- + ba + bc + d + 1 a + bc + d + 1Р(Я,) = —; Р(Я,) = —:2a + bc + d + 1a + bc + d + 155[a + bc + d + 1 a + bc + d + l j a + b6сa+ 1ada—1 _a + bc + ^H-laH-ba + b с + d + 1a + ba (a + 6)(c + d + 1) + be — ad _ abe — ad{a + b)2(c + d + l)(a + 6)2(c + d + 1)a+bПолученное решение показывает, что вероятность вынуть бе­лый шар не изменится, если доли белых и черных шаров в обеихс dурнах одинаковы: — = — (be — ad = 0).а Ъ3.15.

Из чисел 1, 2, ... , п одно за другим выбирают наугад двачисла. Какова вероятность того, что разность между первым вы­бранным числом и вторым будет не меньше т (га > 0).Р е ш е н и е . Событие А состоит в том, что разность между пер­вым выбранным числом к и вторым выбранным числом I будет неменьше т (т.е. к — I > га).Гипотезы Нк— первым вынуто число А;(А; = m + 1,..., п);Р(Я,) = 1; Р(А\Нк) =ппу-l.[lп (п — 1)+1с _ гг)Кт^И±;п —1п1=12+...+ ( n - m ) ] =у( n-(jfe_ m ) =m ) ( n-m +2п(п — 1)1)3.16*.

Из Nстрелков можно выделить четыре группы: ах отлич­ных стрелков, U2 хороших, % посредственных и аА плохих. Вероят­ность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка г-йгруппы равна pi (г = 1, 2, 3, 4). Вызываются наугад два стрелка истреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя быодного попадания в мишень.Р е ш е н и е . Событие А — хотя бы одно попадание в мишень.Гипотезы Е{ — первым вызван стрелок г-й группы (г = 1, 2, 3, 4).Р(Я4) = ^ ;Р(А)^^-Р(А\Н,),где P(A\Hi ) снова находим по формуле полной вероятности при че­тырех гипотезах о том, какой стрелок был вызван вторым:Р(А\Н { ) = ^ = 1 [1 - (1 - p. f} + Е т ^ т [ 1 - (1 - Pi )(1 - Pi)]•563.17. Производится п независимых выстрелов зажигательнымиснарядами по резервуару с горючим.

Каждый снаряд попадает врезервуар с вероятностью р. Если в резервуар попал один снаряд,горючее воспламеняется с вероятностью рх; если два снаряда — сполной достоверностью. Найти вероятность того, что при п вы­стрелах горючее воспламенится.Р е ш е н и е . Гипотезы:Н{ — в резервуар попал один снаряд;Н2 — в резервуар попало два или более снарядов.Р(Я 1 ) = п р ( 1 - р ) " - 1 ; Р ( Я 2 ) = 1 - ( 1 - р ) »-пр(1-Ру-\Искомая вероятность равнаР(Л) = Р ( Я 1 ) р 1 + Р ( Я 2 ) 1 == пр{1 - р)п-1р1 + 1 - (1 - р)п - пр(1 - р)п~1 == l-(l-p)n-npil-py-^l-p,).3.18.

Группа студентов состоит из а отличников, Ь хорошо ус­певающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящемэкзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успе­вающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошиеи отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с рав­ной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетво­рительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад одинстудент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или от­личную оценку.Р е ш е н и е .

Гипотезы:# t — вызван отличный студент;# 2 — вызван хороший студент;# 3 — вызван слабый студент.P(#i)=, ? , ; Р(я 2 )=а+ Ь+ с, ?.; Р(#з):a -f Ь + са+Ъ +сИскомая вероятность равнаР(Л) = Р(Я 1 )1 + Р(Я 2 )1 + Р ( Я 3 ) 1 =о_а+6a+b+с1с_За+Ь+сза+Ь+с3.19. В условиях предыдущей задачи вызываются наугад тристудента. Найти вероятность того, что они получат отметки: от­лично, хорошо и удовлетворительно (в любом порядке).57Р е ш е н и е . Событие А — получение отличной, хорошей иудовлетворительной отметок — возможно только при одной изследующих гипотез:Н{ — вызваны один слабый студент, один хороший и один от­личник;# 2 — вызваны один слабый студент и два хороших;# 3 — вызваны два слабых студента и один хороший;# 4 — вызваны два слабых студента и один отличник.СЬ Ь-1саbР ( Я ^ = 6 £ - ^ — - ^ •2'- ; Р(# 2 ) = 3N N - 1NNN-1N-21С гР(Я.) = з3—А - 1" "с ~—" ; Р (к Я 44 /) = 3 — °~3NN-1N-2NN-1N-2(N = а + Ь + с).Р(А) = Р ( Я 1 ) 1 .

| . 1 + Р ( Я , ) | . | + Р ( Я , ) 1 . | + Р ( Я 4 ) 1 . | .3.20. В автобусе едут п пассажиров. На очередной остановкекаждый из них выходит с вероятностью р; кроме того, в автобус свероятностью р0 не входит ни один новый пассажир; с вероятно­стью 1 - р0 — один новый пассажир.

Найти вероятность того, чтокогда автобус снова тронется в путь после очередной остановки, внем будет по-прежнему п пассажиров.Р е ш е н и е . Событие А — после остановки снова п пассажи­ров. Гипотезы:Я0 — не вошел никто;Щ — вошел один пассажир.Р(Я0) = р0;Р(Я1) = 1 - р 0 ;Р(Л|Я 0 ) = ( 1 - р ) " ; Р ( Л | Я 1 ) - п р ( 1 - р ) п - 1 ;Р(Л) = р 0 ( 1 - р ) п+(1-Ро)пр(1-р)п-1.3.21*. Условия предыдущей задачи сохраняются, но надо най­ти вероятность того, что после двух остановок в автобусе будетпо-прежнему п пассажиров (при расчете учесть, что новый пасса­жир также выходит с вероятностью р на последующей остановке).Р е ш е н и е .

Гипотезы:# 0 о — за две остановки не вошел никто;Нг 0 — на первой остановке вошел один пассажир, а на вто­рой — ни одного;Я 0 г — на первой остановке не вошел ни один пассажир, а навторой — один;Нг г — на каждой остановке вошло по пассажиру.58Р ( Я 0 , О ) = РО2;P(ff l i 0 ) = ( i - P o ) P o ;Р(Я 0 1 1 ) = р 0 ( 1 - р 0 ) ; P(ff l i l ) = ( l - p 0 ) 2 .Чтобы при гипотезе Я 0 0 число пассажиров осталось п, нужно,чтобы ни один из п пассажиров не вышел ни на первой, ни на вто­рой остановках:[(1-рГ}2=(1-р)2п.Р(А\Н0г0) =Чтобы при гипотезе Я х 0 число пассажиров осталось прежним,нужно, чтобы или на первой остановке вышел один пассажир, а навторой — никто, или на первой остановке не вышел никто, а навторой — один пассажир:T>(A\Hh0) = np(l-p)n-1(l-p)n+ 1)р(1-р)п+(1-ру(п= р(1-р)2п-1[п+ (п +=№-Р)]-Аналогично, но учитывая, что вошедший на второй остановкепассажир не выходит:P(4|ff0il)=np(l-p)-1(l-p)n + (l-p)"np(l-p)-1=2np(l-p)2-1.Чтобы при двух вошедших пассажирах число их после двухостановок оставалось неизменным, нужно или чтобы на первойостановке вышли два пассажира, а на второй — никто; или на пер­вой — никто, а на второй — два; или чтобы вышло по пассажируна каждой остановке:Р(Л|Ям) = С 2 р 2 ( 1 - р ) - 2 ( 1 - р ) - 1 ++ (l-p)-C2+1pa(l-p)-1+C7ip(l-p)"-|Cip(l-p)-1 ==п(пР2/1' ( 1 - Р^ \) 2 п - 3— 1)2/-1+ n2(l-p)+\п(пv+ 1)''(1-р)Р(А) = Р(Я 0 , о) Р(Л|Я 0 , 0 ) + P(Hh 0 ) P(A\Hh 0 ) ++ Р ( Я 0 , : ) Р(Л|Я 0 ,,) + P(Hh,) P ^ l ^ , , ) .3.22.

Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждоеорудие выбирает себе цель случайным образом и независимо отдругих. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероят­ностью р. Найти вероятность того, что из трех целей две будут по­ражены, а третья нет.Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — обстреляны все три цели;# 2 — все орудия стреляют по одной цели;59Н3 — две цели из трех обстреляны, а третья нет.Р(Я 11) = 1-^-1 = - ;3 3 921 1 11 2Р ( Я 22) = 1.^-± = - ; Р ( Я 3 ) = 1 - - — = - ;3 3 99 9 3Р(А\Нг) = Зр2(1-р)]Р(А\Н2)Р(А\Н3) = [1-(1-р)2]р== 0]р2(2-р);Р(А) = 2р'3.23. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов Iи II (рис.

3.23) и может случайным образом работать в одном издвух режимов: благоприятном и неблагоприят­ном. В благоприятном режиме надежность каж­Iдого из узлов равна pv в неблагоприятном р2.Вероятность того, что прибор будет работать вjnблагоприятном режиме, равна Pv в неблаго­приятном 1 — Pj. Найти полную (среднюю) на­Рис. 3.23дежность прибора р.Ответ. p =P1[l-(l-p1)2]+(l-P1)[l-(l-p2)2}.3.24. На телефонную станцию поступает случайный потоквызовов; вероятность приема к вызовов за время t равна pk(t)(к = 0,1, 2, ...). Число вызовов, принятых за промежуток времениt, не зависит от того, сколько вызовов поступило до или после это­го промежутка.

Найти вероятность того, что за промежуток време­ни 21 будет s вызовов.Р е ш е н и е . Разделим промежуток 2£ на две части: первую ивторую, каждая длительности t Гипотезы Нк — на первый участокпопало А;вызовов (&= 0, 1, ..., s).Р(Нк)=Pk(t)(к = 0,1,--,S).Для того чтобы при гипотезе Нк на промежуток It попало s вы­зовов, нужно, чтобы на второй участок поступило s — к вызовов.Условная вероятность этого равна ps_k (t). Полная вероятность со­бытия А — за время 21 поступит s вызовов — равнаР(А) = £ Р ( Я , ) Р(А\Нк ) = £ > (ОР^ь (*)•к=0к=03.25. В ящике находится а новых теннисных мячей и Ъ игран­ных. Из ящика наугад вынимается два мяча, которыми играют.После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из60ящика снова берут наугад два мяча.

Найти вероятность того, чтоони будут новыми (а > 2; Ь > 2).Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — оба вынутых первый раз мяча были новыми;# 2 — оба вынутых первый раз мяча были игранными;# 3 — один из мячей был новым, а другой — игранным.Р(Я1) =Ь{Ь 1)^ ^;Р(Яа)=•(а + Ь)(о + Ь - 1 )'(а + Ь)(а + Ь - 1 ) 'Р(Я3)J>(A)2аЪ(а + Ъ)(а + Ъ-1)'(п — 1)(а1 ^ (п.- —2)(а - 3) + Ьф - 1)а (а - 1) + 2ab(a - 1)(а - 2)аа (а(а + 6)2(а + 6 - 1 ) 2'3.26. Имеется п экзаменационных билетов, каждый из которыхсодержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2пвопросов, а только на к< 2 п.

Определить вероятность р того, чтоэкзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба во­проса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один(по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — экзаменующийся знает оба вопроса своего билета;# 2 — экзаменующийся из двух вопросов своего билета знаетодин.к(к-1)р= —2п (2гс - 1)2к(2п -к)1 -j_к-12п (2п - 1) 2п - 23.27*. Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью рх на­ходится в пункте I, а с вероятностью р2 = 1 — рх в пункте ll\pl > - LВ нашем распоряжении имеется п снарядов, каждый из кото­рых может быть направлен в пункт I или в пункт II.

Характеристики

Список файлов книги