Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Выигравшим соревнование считается тот стрелок, в мишеникоторого будет больше пробоин. Найти вероятность Рх того, чтовыиграет первый стрелок.Ответ.Р1=р21(1-р2)2+ 2р21р2(1-р2) +2р1(1--р1)(1-р2)2.2.27. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимаются 2кшаров (2к < а; 2к < Ь). Найти вероятность того, что среди них бу­дет больше белых, чем черных.Р е ш е н и е . Данную задачу проще решить, комбинируя методынепосредственного подсчета вероятностей с теоремой сложения.Событие А — больше белых шаров, чем черных — можно предста­вить в виде суммыА=Ак+1 + Ак+2 + •*• + ^2к=Z^^i >27где А{ — появление г белых шаров (г = к + 1,..., 2к).p( ^ ) = ~ 2 — ,откудаР(Л) =£ ^ — •2.28.

В партии, состоящей из iV изделий, имеется М дефектных.Из партии выбирается для контроля п изделий. Если среди кон­трольных окажется более т дефектных, бракуется вся партия.Найти вероятность того, что партия будет забракована.Р е ш е н и е . Событие А — партия забракована — можно пред­ставить в виде суммыпА = Ат+1 + Ат+2+ ... + Ап =2-^^г •>г'=га + 1где А{ — событие, состоящее в том, что среди контрольных изделий iдефектных.\>(Л ) —МN M~• Р(А)=У^ °М°ЛГ-М2.29. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновре­менно четыре карты.

Рассматриваются события:А — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновой масти;В — среди вынутых карт будет хотя бы одна червонной масти.Найти вероятность события С = А + В.__Р е ш е н и е . Переходя к противоположному событию С — неткарты ни бубновой, ни червонной масти, имеем26та/?7чJriC ) = —25 24 23 ,52 51 50 49откудаР(С) = 1 - Р ( С ) «0,945.2.30. При одном цикле обзора радиолокационной станции, сле­дящей за космическим объектом, объект обнаруживается с веро­ятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит не­зависимо от других. Найти вероятность того, что при п циклахобъект будет обнаружен.Ответ.1-(1-р)п.2.31.

Имеется га радиолокационных станций, каждая из кото­рых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью р(независимо от других циклов и от других станций). За время Ткаждая станция успевает сделать п циклов.28Найти вероятности следующих событий:А — объект будет обнаружен хотя бы одной из станций;В — объект будет обнаружен каждой из станций.О т в е т. Р(А) = 1 - (1 - р)тп ; Р ( £ ) = [1 - (1 - р)п ]т .2.32.

Имеется группа из к космических объектов, каждый из кото­рых независимо от других обнаруживается радиолокационной стан­цией с вероятностью р. За группой объектов ведут наблюдение неза­висимо друг от друга т радиолокационных станций. Найти вероят­ность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.Р е ш е н и е . Переходим к противоположному событию А — всеобъекты будут обнаружены:Р(А) = [1 - (1 - р)т }к; Р(А) = 1 -[1 - (1 - р)т ?.2.33.

Над изготовлением изделия работают последовательно крабочих; качество изделия при передаче следующему рабочему непроверяется. Первый рабочий допускает брак с вероятностью pvвторой — р2 и т.д. Найти вероятность того, что при изготовленииизделия будет допущен брак.кО т в е т. 1 — Y\ (1 - Pi,) •2.34. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках раз­резной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другойи укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятностьтого, что получится слово «конец».1 1 1 1 1 27!Ответ.= —.32 31 30 29 28 32!2.35. Те же условия, но вынутые пять карточек можно менятьместами произвольным образом. Какова вероятность того, что извынутых пяти карточек можно сложить слово «конец».Р е ш е н и е . Существует 5! перестановок из 5 букв; вероят­ность каждой из них вычисляется, как в предыдущей задаче; ис5!27!1комая вероятность равна= ——.32!С*22.36.

В лотерее п билетов, из которых I выигрышных. Некто по­купает к билетов. Определить вероятность того, что он выиграетхотя бы на один билет.Ответ.n-ln-l-1n-i-fc + 1(n - l)\(n - к)\хпп— 1п— к+1п! (п — I — к)!2.37. Два шарика разбрасываются случайно и независимо другот друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой попрямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 по29падает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что шарики по­падут в соседние ячейки.Р е ш е н и е .

Событие А — шарики попали в соседние ячейки —разобьем на столько вариантов, сколько можно образовать пар со­седних ячеек; получимА=Аг+А2+Аз>где Аг — шарики попали в первую и вторую ячейки;А2 — шарики попали во вторую и третью ячейки;Аг — шарики попали в третью и четвертую ячейки.Вероятность каждого из вариантов одна и та же и равна1.1.2 = ±; Р(4) = -.4 4882.38.

Пусть к шариков разбрасываются случайным образом инезависимо друг от друга по п ячейкам, расположенным одна задругой по прямой линии (к <га).Найти вероятность того, что онизаймут к соседних ячеек.Р е ш е н и е , к соседних ячеек из га можно выбрать га — к +1способами. Вероятность попадания А; шариков в каждую из группксоседних ячеек равна (1)— к\ (так как их можно разбросать по\п)этим ячейкам к\ способами).

Вероятность события А — шарикикпопали в к соседних ячеек — равна Р(А) = (1)— к! (га - к + 1).\п)2.39. Производится стрельба по самолету зажигательными сна­рядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, рас­положенных в фюзеляже один за другим. Площади баков одина­ковы. Для того чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумяснарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Извест­но, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятностьтого, что самолет загорится.Р е ш е н и е . Событие А — воспламенение самолета — есть сум­ма двух несовместных вариантов:А = Аг + л 2 ,где Аг — оба снаряда попали в один и тот же бак; А2 — снаряды попа­ли в соседние баки.P(A) = ^ f = i.30Вероятность события А2 находим согласно задаче 2.37:Р(Л 22 )/ = - ; отсюда Р(А) = - + - = -.84 8 82.40.

Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу че­тыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты бу­дут разных мастей.Р е ш е н и е . Первая карта может быть какой угодно масти; вто­рая должна быть не такой, как первая; третья — не такой, как пер­вая и вторая; четвертая — не такой, как три первые. Искомая ве, 39 26 13 п п п _ vроятность равна р = 1«0.106.51 50 492.41. Та же задача, но каждая карта после вынимания возвра­щается в колоду.О т в е т .

р = 1«— •— . Н ^ 0 , 0 9 4 .52 52 522.42. Вычислительная машина состоит из п блоков. Надеж­ность (вероятность безотказной работы) в течение времени Т пер­вого блока равна pv второго — р2 и т. д. Блоки отказывают незави­симо друг от друга.

При отказе любого блока отказывает машина.Найти вероятность того, что машина откажет за время Г.пОтвет. l - f | P t *=i2.43. При включении зажигания двигатель начинает работать свероятностью р. 1) Найти вероятность того, что двигатель начнетработать при втором включении зажигания; 2) найти вероятностьтого, что для ввода двигателя в работу придется включить зажига­ние не более двух раз.О т в е т . 1) (1 - р)р\ 2) 1 - (1 - р)2 = (2 - р)р.2.44.

Производится обстрел некоторой цели с к позиций; с г-йпозиции производится щ выстрелов; каждый выстрел независимоот других попадает в цель с вероятностью р{ {% = 1,2,..., к). Найтивероятности следующих событий:А — хотя бы один выстрел попадет в цель;В — не все выстрелы попадут в цель.О т в е т . Р(Л) = 1 - П ( 1 г=1р.)»<; Р(В) = 1 -f\p?<.г=12.45. По некоторой цели одновременно производится п выстре­лов.

Каждый выстрел независимо от других поражает цель (выво­дит ее из строя) с вероятностью р. Найти вероятность того, чтопосле п выстрелов цель будет поражена. Изменится ли эта вероят­ность, если выстрелы производятся последовательно, результаткаждого выстрела наблюдается и после поражения цели стрельба31немедленно прекращается? Сколько надо произвести выстрелов,чтобы поразить цель с вероятностью не менее Р(Р > р)?Р е ш е н и е . Обозначим А поражение цели; переходя к собы­тию А, получим Р(А) = 1 — Р(А) = 1 - (1 - р)п; при наблюдениивероятность не изменится.Полагая 1 — (1 — р) п > Ри решая это неравенство относительlg (1 - Р)но п, получим п > —-.

В качестве решения задачи беретсяlg(l-p)наименьшее целое число п, удовлетворяющее этому условию.2.46. Истребитель, вооруженный двумя ракетами, посылаетсяна перехват воздушной цели. Вероятность вывода истребителя втакое положение, из которого возможна атака цели, равна рг. Еслиистребитель выведен в такое положение, он выпускает по цели оберакеты, каждая из которых независимо от другой выводится вокрестность цели с вероятностью р2.

Характеристики

Список файлов книги