Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найти вероятность того, что после пуска хотя бы один узел устройства будет неисправным.Ответ. ( 1 - Q )381i-Ш-^)г=1+Ql-na-ot=i2.67. N стрелков независимо один от другого ведут стрельбукаждый по своей мишени. Каждый из них имеет боезапас к патронов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле дляг-го стрелка равна р{ (г = 1, 2,..., N). При первом же попадании всвою мишень стрелок прекращает стрельбу. Найти вероятностиследующих событий:А — у всех стрелков вместе останется неизрасходованным хотябы один патрон;В — ни у кого из стрелков не будет израсходован весь боезапас;С — какой-либо один из стрелков израсходует весь боезапас, авсе остальные — не весь.
__Р е ш е н и е . Событие А — весь боезапас израсходован — требует, чтобы у всех N стрелков первые к - 1 выстрелов дали промах:Р(Л) = П ( 1 - л ) ' - 1 ;Р(А) =г=11-Ц(1-Р{)кг=1Событие В требует, чтобы у каждого стрелка хотя бы один изпервых к— 1 выстрелов дал попадание:Р(5) = П [ 1 - ( 1 - Р * ) *Событие С может осуществиться в N вариантах: С = Сг ++ ... + CN, где С{ — г-й стрелок израсходовал весь боезапас, а остальные — не весь (г = 1,..., N).Р(С) = Р(С 1 ) + ... + Р(СЛГ) == (1-р1)*-1[1_(1-р2)'-1]...[1_(1-^)*-1]+...++(1 - pNf-'[lЕ- (1 -1Plf-}...[1 - (1 -рн^]=игГО-а-^Пi-a-p.-r1^2.68. Для стрельбы по некоторой цели выделено п снарядов.Каждый снаряд попадает в цель независимо от других с вероятностью р. Сразу же после попадания дается команда о прекращениистрельбы, но за время передачи команды установка успевает произвести еще s выстрелов (s< n- 1).
Найти вероятности следующих событий:А — в запасе останется не менее га неизрасходованных снарядов^ < га < n — s);39В — к-й по порядку выстрел не будет осуществлен (s + 1 <<к<п)._Р е ш е н и е . Событие А означает, что при первых п — s — твыстрелах попадание не произойдет; поэтомуР(А) = (1 - р)п~*-т;Р(А) = 1 - (1 - v)n-s-m.Событие В означает, что не позже, чем за s выстрелов до(к- 1)-го, произошло попадание в цель; вероятность события Вравна вероятности хотя бы одного попадания при первых(к - 1) - s = к - (s + 1) выстрелах. Р(5) = 1 - (1 - p)k~{s+1).2.69*.
N стрелков стреляют поочередно по одной мишени.Стрельба ведется до первого попадания. Вероятность попасть вмишень для каждого стрелка равна р{ (г = 1 , 2 , . . . , N). Выигравшимсчитается тот стрелок, который первым попадет в мишень. У каждого стрелка в запасе имеется п патронов. Определить вероятность того, что выиграет г-й стрелок.Р е ш е н и е . Рассмотрим событие Aijy состоящее в том, что г-йстрелок выиграет соревнование, израсходовав ./патронов.k=iU=iJгдегk=iВероятность выиграть г-му стрелку равнаi=ij=iL-4N2.70*. По некоторому объекту ведется стрельба п независимыми выстрелами.
Объект состоит из Участей (элементов). Вероятность попадания в г-й элемент при одном выстреле равнар. (г = 1,..., к). Найти вероятность Р{ ? l ? t того, что в результате стрельбы будет L промахов, 1Х попаданий в первый элемент икт.д., вообще /• попаданий в г-й элемент (г = 1, 2,..., к), V X = п.г=0Р е ш е н и е .
Число способов, какими можно из п снарядов выбрать IQ таких, которые дадут промахи; 1Х таких, которые попадут в1-й элемент, и т.д., равно(см. задачу 1.45).г=040Вероятность каждого конкретного варианта расположения покпаданий равна р1£, р1^ ,..., р1кк, где р 0 = 1 - ^ рг(вероятностьпромаха).
Умножая эту вероятность на число вариантов, получим14 -гЧ1»»—'liftТ~П . И =°г =0 6 г *2.71*. В условиях предыдущей задачи найти вероятность поражения (вывода из строя) объекта, если для этого требуется поразить не менее двух элементов, а для поражения элемента достаточно одного попадания.Р е ш е н и е . Обозначим А — поражение объекта. Противоположное событие А может осуществиться в (к + 1) вариантах:А^Во+Bi+...+ Bi + . .
. + 5 , ,где В0 — ни один элемент не поражен;В{ — поражен только г-й элемент, остальные не поражены(г = 1,2,...,А;).Р(В 0 ) = Ро ( в с е выстрелы дали промах).Вероятность события В{ подсчитаем, разложив его на ряд слагаемых: В{ =В\1] +В\2) +... + В\а) +...
+ В\п),тдеВ\ё) -элементпоражен ровно sснарядами (s = 1, 2,..., п).Р(Я,.) = £ О : Р 0 П Л5=1откудаР(Л) =РО"+££0:РОП^;г=15=1-^2ЕСПР'РГ-р(А)=1-р-0г=15=12.72. Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу двекарты. Одну из них смотрят — она оказалась дамой; после этогодве вынутые карты перемешивают, и одну из них берут наугад.Найти вероятность того, что она окажется тузом.41Р е ш е н и е .
Чтобы событие А — появление туза при второмвынимании — имело место, нужно прежде всего, чтобы мы вынули не ту карту, которую вынули первый раз (вероятность этого1 421/2 ) ; затем, чтобы вторая карта была тузом. Р(А) == —.Z01012.73. Условия опыта те же, что в предыдущей задаче, но первая(посмотренная) карта оказалась тузом; найти вероятность того,что при втором вынимании мы получим тоже туз.Р е ш е н и е . Событие А — туз при втором вынимании — можетпроизойти в двух вариантах:Ах — второй раз появился тот же туз, что первый раз;А2 — второй раз появился не тот, а другой туз.Р(Л) = Р(Л 1 ) + Р(Л 2 );Р(А1w) = ~; Р(Л 2 ) = ! . — ; Р(А) = —.22 51512.74.
Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу п карт(п< 52); одну из них смотрят; она оказывается тузом, после чегоее перемешивают с остальными вынутыми. Найти вероятностьтого, что при втором вынимании карты из этих п снова получимТУЗ*1_ i*О т в е т . Р(Л) = - + - — - • —.пп512.75. Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его свероятностью рх.
Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит,он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью р2. Еслиистребитель этим выстрелом не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью р3. Найти вероятности следующих исходов боя:А — сбит бомбардировщик;В — сбит истребитель;С — сбит хотя бы один из самолетов.О т в е т . Р ( Л ) =Pl+ (1 - P l ) ( l - p2)p3;P(B) = (l-Pl)p2]P(C)== Р(А) + Р(В).2.76.
Происходит воздушный бой между бомбардировщиком идвумя атакующими его истребителями. Стрельбу начинает бомбардировщик; он дает по каждому истребителю один выстрел исбивает его с вероятностью pv Если данный истребитель не сбит,то он независимо от судьбы другого стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью р2.42Определить вероятности следующих исходов боя:А — сбит бомбардировщик;В — сбиты оба истребителя;С— сбит хотя бы один истребитель;D — сбит хотя бы один самолет;Е — сбит ровно один истребитель;F — сбит ровно один самолет.Р е ш е н и е .
Вероятность того, что один истребитель собьетбомбардировщик, равна (1 — рг )р2; вероятность того, что хотя быодин из них собьет бомбардировщика:P(A) = 1-[1-(1-Pl)p2}2;P(C) = l-(l-Pl)2;P(B) =;l-(l-Pl)2(l-p2)2;P(D) =P(E) =2Pl2Pl(l-Pl).Событие F представляется в видегде Fx — сбит бомбардировщик, а оба истребителя целы;F2 — первый истребитель сбит, а второй истребитель и бомбардировщик целы;F3 — второй истребитель сбит, а первый истребитель и бомбардировщик целы.(l-Pl)2[l-(l-P2)2};P(F1) =P(F2) = P(F3) =P(F) - (1 -2Pl)[l - (1 -Pl(l-Pl)(l-p2);P2f}+ 2 P l (l -Pl)(l- p 2 ).2.77.
Условия и вопросы те же, что в задаче 2.76, но с тем изменением, что истребители идут в атаку только попарно: если сбитодин из них, то другой выходит из боя.О т в е т . Р(Л) = ( 1 - Р 1 ) 2 [ 1 - ( 1 - р 2 ) 2 ] ; Р(В) = рх2; Р(С) == 1 - (1 - Plf; P(D) = 1 - (1 - Pl)2(l - Р2)2; P(E) = 2Pl(l - Pl);P(F) = (l-Pl)2[l-(l-P2)2}+2Pl(l-Pl).2.78. Прибор состоит из трех узлов; один из них безусловно необходим для работы прибора; два других дублируют друг друга.В результате работы устройства в нем появляются неисправности;каждая неисправность с одной и той же вероятностью появляетсяв любом из элементов, составляющих узлы. Первый узел состоитиз щ элементов; второй — из п2 элементов, третий — из щ элемен43тов (п1 Л- п2 + п 3 = п). При неисправности хотя бы одного элемента узел выходит из строя.Известно, что в приборе имеется четыре неисправности (в четырех разных элементах). Найти вероятность того, что наличиеэтих неисправностей делает невозможной работу прибора.Р е ш е н и е .
Событие А — невозможность работы прибора —распадается на два варианта:Л. = Л^ -г А ^ 5где А{ — вышел из строя первый узел;А2 — первый узел не вышел из строя, но второй и третий — вышли.Чтобы произошло событие Av нужно, чтобы хотя бы одна изчетырех неисправностей пришлась на первый узел:Р(А1) = 1-Р(А1)=п1-П-П>П-П>-1П-П>-2П-П>-*.п—1/г—2п —3Для определения вероятности события А2 надо вероятностьсобытия Ах — первый узел не вышел из строя — умножить на вероятность того, что второй и третий узлы вышли из строя (с учетом того, что все четыре неисправности приходятся на второй итретий узлы). Последнее событие может осуществиться в трех вариантах: или одна неисправность будет во втором, а три других —в третьем узле, или наоборот: три во втором и одна в третьем; илиже во втором и третьем узлах будет по две неисправности.Вероятность первого варианта:ciп2Пзп3 - 1п3 - 2n2+ra3_Вероятность второго варианта:С1П3П2~1^2П2~2П2 + 723 П2 + 7lz — 1 П2 4" П 3 — 2 П2 + 723 — 3Вероятность третьего варианта:С2П2П2 -1^3П3-1п2 + п 3 п2 + пг — 1 п2 + п3 — 2 п2 + пг — 3Отсюда44Р(А2) =Р(Аг)хп2пг[С\{пг- 1)(п 3 - 2)+ С\{п2- 1)(п2 - 2)+ СЦп2- 1)(п 3 - ! ) ] _(п 2 + п3 ){п2 + п3- 1)(п2 + п3 2 )(п 2 + п 3 - 3 )2n2n3[2(n3 - 1)(п, - 2) + 2(п 2 - 1)(п5 - 2 ) + 3 ( п 2 - 1 ) ( п , - 1 ) ]п(п - 1 ) ( п - 2 ) ( п - 3 )Р(А) = Р(А1) + Р(А2).2.79.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
